4.1 函数&4.2 认识一次函数-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

第四章 一次函数 1函数 课内基础闯关 课外拓展提高 知识点①函数的概念 7.下列图象中，表示y是x的函数的有( 1.下列关系式中，y不是x的函数的是( A.y=-z B.y2=x 是不头 C.y=lx D.y=-x8+1 第7题图 知识点②函数的表示方式 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.(2024一2025乐平期中)某救援队在一次救 8.(教材变式)如下图，y表示某人一昼夜的体 援活动前往灾区的途中遇到竭方路段，经过 温，x表示时间，根据图象回答下列问题： 一段时间的清障，该救援队加速前进，最后 (1)该图象反映了哪两个变量之间的关系？ 到达救灾地点，则该救援队行进路程y与行 (2)根据图象填写下表： 进时间x的函数关系的大致图象是( x/时 2 8 12 16 18 20 22 w/km / (3)y可以看成x的函数吗？为什么？ B D C 3.某文具店开展促销活动，销售总价y与卖出 笔记本数量x的关系如下表： 36 数量x/本 1 2 3 4 5 024681012141618202224x/ 销售总价y/元81420 26 32 当x=7时，y= 4.油箱装满45L油，油从油箱的管道均匀流 出，90min可以流尽.油箱中利油量y(单 位：L)与流出时间x(单位：min)之间的表达 式是 知识点③ 函数值及自变量的取值范围 知识要点归纳 5.(2025吉安峡江期末)函数y x+3 2x-1 中，自变 1.一救地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y,并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯 量x的取值范图是 一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其 6.已知函数y=2x十5，当x=0时，y 中x是有变量 2.盖数的三种表示方式：(1)表格：(2)关系式： :当x= 时，y=0. (3)图象. 41 上册第四章 2认识一次函数 第1课时 一次函数的认识及简单应用 冠课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 一次函数与正比例函数的概念 5.新定义题规定：[k,b]是一次函数y=x十 1.下列函数是一次函数的是 b(,b为实数，≠0)的“特征数”.若“特征 A.y=2 数”是[4，一m]的一次函数是正比例函数，则 B.y=-2x十1 点(2-m,2十m)所在的象限是 () C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 A.第一象限 B.第二象限 2.若y=3x十2a一1是关于x的正比例函数， C.第三象限 D.第四象限 则a的值是 ( ) 6,某天通过某高速公路收费站的汽车中，共有 1 A.0 B.2 D.-2 3000辆缴纳了路桥费，其中大车每辆平均 缴纳100元，小车每辆平均缴纳50元.设这 3.已知函数y=(m-5)x24+m十1. 天路桥费总收入为y元，小车缴纳路桥费的 (1)若它是一次函数，求m的值， 辆数为x (2)是否存在m使它是正比例函数？若存 (1)y关于x的函数表达式为 在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出 k,b的值，并写出自变量的取值范围；若不 是，请说明理由. (3)如果这一天大车缴纳路桥费的有1000 辆，求路桥费的总收入. 知识点②一次函数的简单应用 4.(教材变式)写出下列各题中y与x的关系 式，并判断：y是不是x的一次函数？y是不 是x的正比例函数？ (1)匀速行驶的汽车的速度是80km/h,汽车 行驶时间x(单位：h)与行驶路程y(单位： km)之间的关系， (2)某村耕地面积为10m2,该村人均占有 耕地面积y(单位m2)与人数x之间的关系. 知识要点归纳 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y x十b(k,b为常数，≠0)的形式，则称y是x的 二炎函数.特别地，当b=0时，称y是无的正比 创品数 八年级数学BS版 第2课时 一次函数的分段应用 已课内基础闯关 课外拓展提高 知识点①行程问题中的分段应用 3.如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B 1.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了 出发，沿B一C一D一A路径匀速运动至点 几分钟后坐上公交车，公交车匀速行驶一段 A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB 时间后到达学校，小刚离家的距离s(单位： 的面积为y,若y关于x的函数图象如图② m)与时间t(单位：min)之间的函数关系的 所示，那么长方形ABCD的周长等于 图象大致是 s/m &/m B 第3总图 4.已知动点P以1cm/s的速度沿如图①所示 t/min t/min 的边框按B→C→D→E→F→A的路径运 动，△ABP的面积S随时间t的变化如图②@ 知识点②收费问题中的分段应用 所示.若AB=4cm,试回答下列问题： 2.某校组织学生到距离学校6km的市科技馆 (1)BC的长是多少？ 参观，学生李明因事没能乘上校车，于是准 (2)a的值是多少？ 备在学校门口乘出租车去科技馆，出租车的 (3)该图形的面积是多少？ 收费标准如下表： S/cm 里程/km 费用/元 3km以下（含3km) 8.00 3km以上，每增加1km 1.80 (1)求出出租车行驶的里程数x(x>3,单 位：km)与费用y(单位：元)之间的函数关 系式 (2)李明身上仅仅有14元，乘出租车到科技 馆的费用够不够？请说明理由. 知识要影点归纳 分段函数是一种特殊的函数，它在不同的范围内 由不同的函数表达式来表示， 上册第四章(2)因为点P在第二象限，坐标为(4,2) 5a=4X4-言×2X4-号×2X4-7X2X2=6 所以Saas=Sa0十5a-壹X1·(-a） 1 ×2X 2 (2)△AB'C是由△ABC先向右平移4个单位，再向下平移 3个单位得到的（或先向下平移3个单位，再向右平移4个单 1=-24+1 位) (3)存在. (3)a+4b-3 1 由题意，得-之a十1-1.5，解得a一1， 9.B1o(行oj 所以点P的坐标为（一1W②）. 11.解：(1)(4,5)(4,2) 解题技巧专题平面直角坐标系中 (2)因为0A=4,OC=5, 所以当点P距离原点5个单位长度时，存在以下两种情况： 点的变化规律 ①点P在线段AB上，如图①. 1.B 由题意，得在Rt△OAP中，∠OAP=90°， 2.解：1)011060 OA=4,OP=5. (2根据图可打，当=1时，A,(2,0):当n=2时，A。(4,0): 由勾股定理，得AP=√OP一OA 当n=3时，A2(6,0),所以点A的坐标为(2m,0. √3-4=3. (3》蚂敏从点A00到点AM的移动方向是向上 因为OA十AP=4十3=7： 图① 3.C 所以点P运动了7个单位长度，运动时间为7÷2=3.5 4.解：(1DA5(-2,-2,A(-2,20.A,(2.2),Ag(2,-2, (s)1 (2)观察发现A1(-1,一1)，A2(一1,1)，A1(1,1),A(1, ②点P与点C重合. -1),A5(-2,-2),A。(-2,2),A,(2,2),A8(2,-2), 因为OA+AB+BC=4十5+4=13， A(-3,-3),…, 所以点P运动了13个单位长度，运动时间为13÷2=6.5 所以A+1(-n-1,-n-1):A.+:(-n一1：n+1), (s). A+3(n十1，n十1)，A(m十1，一一1)，n为自然数. 综上所述，点P的运动时间为3.5s或6,5s, 因为2025=506×4十1， (3)存在.如图@所示，当点P在线段AB 所以点A:s的坐标为（一507，一507）. 上时，设点P的运动时间为1(2<t<4,5) 5.解：点A(a,)经过第1次变换，得(a,一)：经过第2次变 5,则AP=2t一4： 换，得（一a,一）：经过第3次变拱，得(-a,b):经过第4次 所以BP=AB一AP=5-(2t-4)=-21 变换，得(a,b)…,每4次一循环， +9. 因为2025÷4=5061，所以经过第2025次变换后所得的 1 点A2@s的坐标与第1次变换后所得的点的坐标相同，是(a, S6m=2·BP,BC=8, 图② -b). 即号（一2红+9）·4=8，解得=2,5， 章末对点导练 所以AP=2X2.5一4=1，所以点P的坐标为(4,1). 1.D2.B 12.C13.A 3.第：(1)因为C为OP的中点， 第四章一次函数 所以0c=2or=号×4=2km. 1函数 因为QA=2km. 1 所以到小明家的距离相同的是学校和公园， 1.B2.D3.44 4.y=45- x(0<x≤90) (2)学校在小明家北偏东45的方向上，且到小明家的距离为 2km:商场在小明家北偏西30的方向上，且到小明家的距离 5.x≥-3且x≠ 1 6.5- 5 7.B 为3.5km:停车场在小明家南偏东60的方向上，且到小明 8.解：(1)该图象反映了某人一屁夜的体温y与时间x这两个 家的距离为4km. 变量之间的关系 4,D5.C6.-217.(2,-3)13 (2)35.5363736.53737.53736.5 8.解：(1)如图，△ABC即为所求. (3)y可以看成z的函数.因为对于x的每一个值，y都有唯 一的值与它对应 2认识一次函数 第1课时一次函数的认识及简单应用 1.B2.B 3.解：1)因为y=(m-5)x24+m十1是一次函数， 所以m2一24=1，m-5≠0， 解得t=士5，m≠5，所以m=-5. (2)不存在.理由：当y=(m一5)x24十m十1是正比例函 数时，m2一24=1，m一5≠0，m十1=0， 上册参考答案 179 解得m=士5，m≠5，m=一1，所以这样的m不存在 4.解：(1)根据题意，得y=80x,y是x的一次函数，也是x的 大，所以x的取值范用为一号<x<号 正比例函数 15.解：(1)因为点A在第四象限，点A的横坐标为3，且 ②)根据医意，得y设y不是天的一次高衣，也不是：的 △A0日的面积为3， 所以点A的织坐标为一2， 正比例函数 所以点A的坐标为(3，一2). 5.A 6.解：(1)y=-50z+300000 将A(3,一2)代人y-红，得-2-3说，解得克=一名 3 (2)这个函数是一次函数，其中k=一50，b=300000, 自变量x的取值范围是0≤x≤3000，且x为整数 所以这个正比例函数的表达式为y=一名 . (3)因为x=3000-1000=2000, (2)能.设点P的坐标为(a,0), 所以y=一50×2000十300000=200000（元），款路桥费的 则S△0=2·la·1-2=5,解得a=士5， 总收人为200000元 故点P的坐标为（一5,0）或(5,0). 第2课时一次函数的分段应用 1.B 第2课时一次函数的图象与性质 1.B2.C3.C变式题k<34.-2 2.解：(1)由题意，得y=8十1.8(x一3)=1.8x十2.6(x>3) (2)够.理由：当x=6时，y=1.8×6十2.6=13.4<14， 2 5.解：当y=0时，一号x十2=0，解得x=3,则点A的坐标为 所以乘出租车到科技馆的费用够， (3.00: 3.16 4,解：(1)当动点P在BC上运动时，对应的时间为0到45，所 当x=0时，y= ×0+2=2,则点B的坐标为(0,2). 以BC=1×4=4(cm).故BC的长是4cm. 2 函数y=一号x十2的图象如图所示， (2)由（1)可知，BC=4cm.当t=4时，SAAR=2BC·AB =8(cm2),所以a的值是8. (3)CD=(6-4)×1=2(cm),DE=(9-6)X1=3(cm),EF =(11-9》X1=2(cm),则AF=BC十DE=7cm.因为AB =4cm,所以该图形的面积为AB·AF一CD·DE=4X7 2X3=22(cm2). 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象与性质 1.B2.B3.B 6.B7.y1<y:变式题B8.D9.D10.D11.B12.8 4.二变式题1A变式题2一、三变式题3二、四 13.2a 5.解：如图所示. 14.解：(1)①y=x+1 直线y=x十1如图所示 ②y=2x 直线y=2x如图所示. 6.D7.m>-28.< 9.解：由题意，得m-1<0,m3-3=1,解得m=-2. 10.C11.C12.-213.-2 14.解：(1)设y-2=是(3x-4)(是≠0).将x=2,y=3代人表 ③12 达式，得20=1，解得及=号所以y一2=名8x一0，即y (2)y=kx十2-k=表(x-1)十2， 图象过定点，即说明与是的取值无关， 因此x一1=0，解得x=1,此时y=2, ②将Pa,一3》代人y=是，得2a=-3,解得a=-2 所以直线y=kx十2-k必经过点(1,2) 15.解：(1)当y=0时，2z十3=0， （3当y-1时，受x-1,部得x-号：当y-1时。 每得x=-,则A(-言，0小 多=1，解得x=号因为>0，所以y随x的增大而增 3 当x=0时，y=3,则B(0,3). (2)当x=-2时，y=2X(-2)+3=-1: 180 /八年级数学BS版