1.3 勾股定理的应用-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

3勾股定理的应用 已课内基础闯关 知识点① 勾股定理在折叠问题中的应用 1.如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=8,BC=6.将 第4题圆 第5题周 △ADE沿DE翻折，使点A 5.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻 与点B重合，则CE的长是 第1题围 璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中.已知烧 ( 杯高8cm,玻璃棒被水淹没部分长10cm,则 A号 c号 0. 这只烧杯的直径约是 () A.9 cm B.8 cm C.7cm D.6 cm 2.如下图，在Rt△ABC中，AB=18,BC=12, 6.如右图，小巷左右两侧是 ∠B=90°.将△ABC折叠，使点A与BC的 竖直的墙壁，一架梯子斜 2.4 中点D重合，折痕为MN,求线段BN的长. 靠在左墙时，梯子底端到 0.7m 左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面 2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜 靠在右墙，则顶端距离地面1.5m,求小巷的 宽度 3.如下图，把长方形ABCD折叠，使点C与点 A重合，折痕为EF,若AB=4,BC=8,求 7.(2024一2025抚州东乡区期中节选}一天傍 BE的长. 晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图 所示.小方观察发现，她站直身体时，牵绳的 手离地面的高度AB=1.3m,小狗的高CD= 0.3m,小狗与小方的距离AC=2.4m.求此 时牵狗绳BD的长（绳子一直是直的）. 知识点②勾股定理在实际生活中的应用 4.如图，在高为3m、斜坡长为5m的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少为 () A.5 m B.6 m C.7m D.8 m 上册第一章 已课外拓展提高 @综合能力提升 8.古代数学文化《九章算术》是古代东方数学 11.台风是一种自然灾害，它以 代表作，书中记载：今有开门去阃(kǔn,门槛 风眼为圆心在周围上百千米 的意思)一尺，不合二寸，问门广几何.题目 的范围内形成极端气侯，有 大意是如图①、图②（图②为图①的平面示 极强的破坏力，如右图，有一台风沿东西方 意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2 向由点A向点B运动.已知点C为一海 寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(DE 港，点C与直线AB上的两点A,B的距离 =1尺，1尺=10寸)，则AB的长是( 分别为AC=300km,BC=400km,且AB =500km,以风眼为圆心周围250km以内 为受影响区域。 (1)求∠ACB的度数. Eo (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ 细① 图② 第8题期 (3)若台风的速度为20km/h,则台风影响 A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸 该海港持续的时间有多长？ 9.如图，长方形ABCD中，AB =3,BC=4,E是BC边上一 点，连接AE.把∠B沿AE折 叠，使点B落在点B处，连接第9题图 B'C.当∠CB'E=90°时，BE的长为 10.小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A, 小王的赛车从点C出发，以4/s的速度由 西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 3m/s的速度由南向北行驶（如下图）.已知赛 车之间的距离小于或等于25m时，遥控信号 会相互干扰，AC=40m,AB=30m (1)出发3s时，遥控信号是否会相互干扰？ (2)当两赛车距点A的距离之和为35m 时，遥控信号 相互干扰（填“会” 或“不会”). 知识要点归纳 解决与勾殿定理及其逆定理相关的实际应用题 时，如求一些高度、长度、宽度等量，一般先要结 合题意隔出符合要求的三角形，也就是把实际问 题转化为数学问恩，再把涉及的量转化成三角形 的边长，最后利用勾股定理及其逆定理解决问题」 48 /八年级数学BS版所以PM=PN-MN=2.8-2.3=0.5(m), 所以0A2=0P2=PM2+0M=0.52+1.2=1.69, 所以OA=1.3m, 所以桥洞的宽至少增加到1,3×2=2.6(m). 0 D 23 图① 明② 2一定是直角三角形吗 1.B2.合格3.60变式题120 4.解：小充的解答不正确.正确的解答过程如下： △ABC是直角三角形，理由如下： 因为+=2+（受）”=4+号-要，6=（受）-5 所以a2十c2=2,所以△ABC是直角三角形. 5.解：(1)在△ABD中，因为AD2+BD2=242+322=1600, AB2=402=1600, 所以AD2十BD2=AB,所以△ABD是直角三角形，且 ∠ADB=90',所以AD⊥BC. (2)因为AD⊥BC,所以∠ADC=90 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2=AD2+CD=24 +182=900,所以AC=30 因为BD=32, 所以BC=BD十CD=5Q, 所以5Aac-专BC·AD=号×50×24=0e (3)△ABC为直角三角形.理由如下： 因为AB2+AC2=402+302=2500,BC2=50=2500, 所以AB2十AC=BC3,所以△ABC是直角三角形. 6.D 7.解：(1)①1213②2425③4041 2n,01,2+1 2 2 8.A9.18 10.解：(1)因为在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=5, △ABE的面积为25， 所议5ar=名A极，呢=号AB·5=5, 所以AB=10. (2)因为在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10, 所以AC2+BC8=82+62=100,AB2=102=100, 所以AC十BC=AB2,所以△ABC是直角三角形， 所以S△Ac=2 ×6×8=24 所以S益泰ACmE=S△A8C十S△ABE=24十25=49. 11.解：(1)如图①，连接DP. 由题意可知，CD=CP=8,∠PCD=60°，所以∠CPD= ∠CDp=1s0°-60 =60°， 所以△DCP为等边三角形， 所以DP=DC=&. 因为∠DCP=∠ACB=a,即∠DCA+∠ACP=∠PCB +∠ACP, 所以∠DCA=∠PCB. 4444 172 /八年级数学BS版 (CA=CB, 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, CD-CP, 所以△CDA2△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD-BP-6, 所以AD2+DP2-62+82=100=102-AP2, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+0°=150°， 所以∠BPC=150° 因公 (2)如图②，连接DP. 由题意，得△DCP为等腰直角三角形， 所以∠CDP=45" (CA=CB, 在△CDA和△CPB中，X∠DCA=∠PCB, CD-CP, 所以△CDA2△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=1, 所以AD2+DP2=AD2+(CD2+CP2)=12+(2+2) =9. 因为AP=9,所以AD2十DP=AP, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+45=135°， 所以∠BPC=135 3勾股定理的应用 1.B 2.解：设BN=x.因为AB=18,所以AN=18-x 由折径的性质，得DN=AN=18一x. 因为D是BC的中点，BC=12,所以BD=6 在R△NBD中，x3+62=(18-x)2,解得x=8. 做线段BN的长为8. 3.解：设BE=x,则EC=BC一BE=8一x. 由折叠的性质，得AE=EC=8一x, 因为四边形ABCD为长方形，所以∠B=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2, 即42+x2=(8-x》2,解得x=3. 故BE的长为3. 4.C5.D 6.解：设梯子底端与右墙之间的距离为xm.由勾股定理可知， 2.42十0.7=x2+1.52,所以x2=4,所以x=2,所以小巷的 宽度为0.7+2=2.7(m) 7.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, B 则DE=AC=2.4m,AE=CD=0.3m,所以BE=AB-AE =1.3-0.3=1(m). 在Rt△BDE中，BD2=BE十DE2=12+2.42=6.76, 所以BD=2.6m, 所以此时牵狗绳BD的长为2.6m, 8.C9.2 10.解：(1)如图，出发3s时，CC1=12m, BB1 =9 m. 因为AC=40m,AB=30m, 所以AC1=28m,AB,-21m, 所以B1C=282+212=1225, 则B1C1=35m>25m, 所以出发3s时，遥控信号不会相互干扰 (2)会 11.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 所以AC+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90'. (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D 因为△ABC是直角三角形， 所以SaAc=2AC,BC= 2 CD· AB, 1 所以2×300X400=2X500CD, 所以CD=240km 放风眼离海港C最近的距离是240km. (3)如图，E,F为AB上两点，且CE=CF=250km. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=EC-CD2=250 -2402=4900,所以ED=70km. 同莲可得DF=T0km, 所以EF=ED+DF=140km.140÷20=7(h) 故台风影响该海港持续的时间为7山 解题技巧专题勾股定理与面积问题 1.C2.B 3.解：如图，连接AC. 因为∠ADC-90°，所以△ADC为直角 三角形 由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=402+302=2500, 所以AC=50m. 因为BC=120m,AB=130m, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ACB=90”, 所以这块空地的面积为S△sc一SAMc=豆BC·AC- 2AD:CD=7×120X50-7X40X30=240(m, 所以在这块空地上种植草皮共需要100×2400=240000 (元). 4.A5.B6.C 7,解：因为∠ABC=90°，∠CAD=90°， 所以根据勾股定理，得AC2=AB2十BC=CD-AD2, 图为S=是×x(侵AB)广=君AB, 同理可得S,-名BCS,-名CD,S-有AD2, 所以S:+S:=S,一S4: 又因为51=3,5：-1,5。=7， 所以S,=3. ☆问题解决策略：反思 1,D变式题132.53.244.B 5.解：可供滑行部分辰开图如图所示。 由题意，得AD=3x9(m),DE=CD-CE=45一 5=40(m). 在Rt△ADE中，AE=AD2十DE=g°十40 =412, 即AE=41m 故他滑行的最短距离的是41m 章末对点导练 1.C2.D 3.解：由题意，得SE方形D=S的格Ag=S△AE十S△BFg, 所以=++-@，整要，得。+6=c 2 4.A5.D6.B 7.解：(1)△DFE为直角三角形.理由如下： 设正方形ABCD的边长为a,则AD=DC=BC=AB=a. 因为AF:FB=3:1,E是BC的中点， 所以FB=aAF-是，BE=EC=4 1 在R△DAF中，DE=AD+AP-急， 在△cDE中，DE-cD+CE- 在R△EFB中，EF=FB+BE-60, 5 所以DE+BF-器02=DF, 所以△DFE为直角三角形. (2)因为正方形的面积为16， 听以g=16,所以DF-票-答X16=5,所以DF=5 8.D9.244 10.解：(1)旗杆的高度为m,则绳子的长度为(h十1)m 在R△ABC中，由勾股定理，得h2+4=(h十1)2， 解得h=7.5.故旗杆的高度h为7.5m. (2)由题意可知，BD=BC=7.5m,DE=4.5m. 在Rt△BDE中，由勾殷定理，得BE2十4.53=7.58， 解得BE=6m,所以EC=BC-BE=7.5-6=1.5(m), 所以DF=EC=1,5m 11.C12.D13.x2+2=(x+0.5)2 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数 1.B2.B变式题23.34.B5.C 6.解：(1)无理数 (2)由题意，得x·x=10x,所以x2=10. 因为32=9<10,4=16>10，所以3<x<4,即x的整数部 分是3. (3)因为3.12=9.61<10,3.2=10.24>10， 所以3.1<x<3.2. 又因为3.162=9.9856<10,3.172=10.0489>10，所以3. 16<x<3.17,所以将x精确到十分位的值是3.2. 第2课时实数 1.D 1 2.解：(1)有理数集合：32，-0.5,0,3.115，-0.612， 0.03003000,…- 44 上册参考答案 173