16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 一、分式的基本性质 1.已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　） A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为﹣1 2.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值(　　) A.不变 B.是原来的2倍 C.是原来的4倍 D.是原来的 3.把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的 4.已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为　  　．（填数字） 5.已知x2﹣3xy﹣4y2＝0，则的值是　  　． 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 7.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 二、分式值为零的条件 1.若分式的值为0，则x的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1 2.分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣时，分式的值为零 D.若a≠时，分式的值为零 3.已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.1或﹣2 4.若分式的值为零，则x＝　  　． 5.若分式的值为0，则x＝　  　． 6.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 7.已知分式，求满足下列条件的x的值： （1）分式无意义； （2）分式有意义； （3）分式的值为零． 三、分式有（无）意义的条件 1.已知分式有意义，则x满足的条件是（　　） A.x≠0 B.x≠1 C.x＝1 D.任何实数 2.若分式无意义，则（　　） A.x≠﹣1 B.x＝2 C.x＝﹣1 D.x＝1 3.使分式有意义的x的取值范围是（　　） A.x≠1 B.x≠－1 C.x＜1 D.x＞1 4.x的值为________时，分式无意义． 5.对于分式来说，当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值是 　 　． 6.当x为何值时，分式有意义？ 7.x为何值时，分式有意义？ 四、最简公分母 1.分式，，的公分母是（　　） A.36a3b4c3  B.3a3b4c3 C.36a6b8c6 D.3a6b8c6 2.分式，，的最简公分母是（　　） A.5abx B.15abx5 C.15abx D.15abx3 3.下列各题中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.最简公分母是6x2 B.的最简公分母是3a2b3c C.的最简公分母是m2﹣n2 D.的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 4.分式，，的最简公分母是               . 5.分式与的最简公分母是________． 6.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 五、通分 1.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 2.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 3.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 4.把通分，则＝_____＝_____. 5.将分式和进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为　             　，分母9﹣3a可因式分解为　            　，因此最简公分母是　             　． 6.小强昨天做了一道分式题“对下列分式通分：”． 他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：＝x﹣3． ＝3（x＋1）． 7.下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　         步进行的是分式的通分，通分的依据是 　                                　．即为：　                                                      　； ②第 　           　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　去括号没有变号　； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 六、约分与最简分式 1.将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A.5m B.5mx C.mx D.5mx2 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 3.若是一个最简分式，则k可以是（　　） A.x B.﹣3 C.3 D.3x 4.请你写出一个最简分式，同时满足以下三个条件：x＝2时，分式无意义；x＝3时，分式值为0；x＝4时，分式值为4．这个分式是　             　． 5.学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 　　（用含a、b、m的最简分式表示）． 6.若分式A，B的和化简后是整式，则称A，B是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，M＝，直接写出两个符合题意的分式N． 7.问题：当a为何值时，分式无意义？ 小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3＝0，得a＝3，所以当a＝3时，分式无意义． 你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因． 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固（参考答案） 一、分式的基本性质 1.已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　） A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为﹣1 【答案】B 【解析】根据题意：用x、y的相反数代入这个分式b﹣a， 所以a、b关系是互为相反数. 故选：B． 2.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值(　　) A.不变 B.是原来的2倍 C.是原来的4倍 D.是原来的 【答案】B 【解析】分式中的x，y同时扩大2倍，则分子扩大4倍，分母扩大2倍，所以分式的值扩大2倍. 故选：B. 3.把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的 【答案】A 【解析】根据分式的基本性质，分式的分子扩大3倍，分母也扩大3倍，分式的值不变. 故选：A． 4.已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为　  　．（填数字） 【答案】3 【解析】3. 5.已知x2﹣3xy﹣4y2＝0，则的值是　  　． 【答案】4或﹣1 【解析】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0，则（x﹣4y）（x＋y）＝0， 则x﹣4y＝0或x＋y＝0， 当x﹣4y＝0时，x＝4y，则4， 当x＋y＝0时，x＝﹣y，则﹣1． 故已知x2﹣3xy﹣4y2＝0，则的值是4或﹣1． 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 【答案】解：设A， ∴a﹣3， ∵A， ∴a为最小值时A最小，a为最大值时A最大， ∴a是正整数， ∴当26﹣b＝20时，a取最小值，此时Amin＝＝， 当26﹣b＝1时，a取最大值，此时Amax＝＝15， ∴Amax﹣Amin＝15﹣＝． 7.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 【答案】解：材料一：一个人实际才能为n，自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值，他自己对自己的估计越大，那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下，分母越大，分数值越小．人越高估自己，就是越自负，即使才能再高，也会因为分母大而使自己的总体分数下降． 简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高，就越容易产生自满的心理，就越不容易取得进步，做出成绩． 材料二：人数变少了，减少了得分中较小的数字，但平均分增大了． 二、分式值为零的条件 1.若分式的值为0，则x的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1 【答案】B 【解析】根据题意得：，解得：x＝﹣2． 故选：B． 2.分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣时，分式的值为零 D.若a≠时，分式的值为零 【答案】C 【解析】由3x﹣1≠0，得x≠， 故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a≠时，即a≠﹣时，分式的值为零． 故选：C． 3.已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.1或﹣2 【答案】B 【解析】∵分式的值为0，∴（x﹣1）（x＋2）＝0且x2﹣1≠0，解得：x＝﹣2． 故选：B. 4.若分式的值为零，则x＝　  　． 【答案】0或2 【解析】由题意得x3﹣3x2＋2x＝0且x﹣1≠0，解得x＝0或x＝2. 5.若分式的值为0，则x＝　  　． 【答案】﹣1 【解析】若分式的值为0，则x2﹣1＝0且x﹣1≠0，所以x＝﹣1． 6.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 【答案】解：（1）由题意得，m2﹣3x＋2≠0， 解得，m≠1且m≠2. （2）由题意得，（m﹣1）（m﹣3）＝0，m2﹣3x＋2≠0， 解得，m＝3， 则当m＝3时，此分式的值为零． 7.已知分式，求满足下列条件的x的值： （1）分式无意义； （2）分式有意义； （3）分式的值为零． 【答案】解：（1）当分母（x﹣2）（x＋3）＝0时，x2＋x﹣6＝0， 即x＝2或x＝﹣3时，分式无意义. （2）当分母（x﹣2）（x＋3）≠0时，x2＋x﹣6≠0， 即x≠2且x≠﹣3时，分式有意义. （3）当分子x﹣5＝0时，即x＝5时，分式的值为零． 三、分式有（无）意义的条件 1.已知分式有意义，则x满足的条件是（　　） A.x≠0 B.x≠1 C.x＝1 D.任何实数 【答案】D 【解析】∵分式有意义，而x2＋1≥1，∴x满足的条件是：x为全体实数. 故选：D． 2.若分式无意义，则（　　） A.x≠﹣1 B.x＝2 C.x＝﹣1 D.x＝1 【答案】C 【解析】∵分式无意义，∴x＋1＝0，解得x＝﹣1． 故选：C． 3.使分式有意义的x的取值范围是（　　） A.x≠1 B.x≠－1 C.x＜1 D.x＞1 【答案】A 【解析】∵分式有意义，∴x－1≠0，解得x≠1． 故选：A． 4.x的值为________时，分式无意义． 【答案】－1 【解析】由分式无意义，得x＋1＝0，解得x＝－1． 5.对于分式来说，当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值是 　 　． 【答案】﹣1 【解析】当分式无意义时，x﹣a＝0，而此时x＝﹣1．所以a＝﹣1． 6.当x为何值时，分式有意义？ 【答案】解：由分式有意义可得：1≠0且1＋x≠0， 因为＞0，故1＞0，只需要满足1＋x≠0即可，所以求得x≠﹣1， 即当x≠﹣1时，该分式有意义． 7.x为何值时，分式有意义？ 【答案】解：由题意得：3x－4≠0，3x－4≠4，解得：x≠或． 四、最简公分母 1.分式，，的公分母是（　　） A.36a3b4c3  B.3a3b4c3 C.36a6b8c6 D.3a6b8c6 【答案】A 【解析】因为6、9、12的最小公倍数是36，ab2c、a3bc2、a2b4c3最小公分母是a3b4c3， 所以分式的公分母是36a3b4c3. 故选：A． 2.分式，，的最简公分母是（　　） A.5abx B.15abx5 C.15abx D.15abx3 【答案】D 【解析】分式，，的最简公分母是15abx3. 故选：D． 3.下列各题中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.最简公分母是6x2 B.的最简公分母是3a2b3c C.的最简公分母是m2﹣n2 D.的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 【答案】D 【解析】D中中字母最高次幂的积为一次，所以最简公分母是ab（x﹣y）. 故选：D． 4.分式，，的最简公分母是               . 【答案】（a－1）（a＋3） 【解析】分式，，的分母分别是a－1、a＋3、（a＋1）2－4＝（a＋3）（a－1）， 故最简公分母是（a－1）（a＋3）. 5.分式与的最简公分母是________． 【答案】6a3b4c 【解析】先分离出两个分式的分母2a3b2c，6a2b4c， 其中a，b，c的最高次幂分别为3，4，1， 故分式与的最简公分母是6a3b4c. 6.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 【答案】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x＋1）（x﹣1）， ∴＝3（x＋1）＝3，即x＝0， 则＝﹣，＝＝﹣2． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 【答案】解：（1）①； 由题意可得：最简公分母为：30a2b3c2， 则. ② 由题意可得：最简公分母为：3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 则， ， . ③， 由题意可得：最简公分母为：a（a﹣b）（a＋b）， 则， . （2）3，2，5的最小公倍数是30，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为a2b3c2． （3）分母若是多项式，先分解因式，再通分． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是a（a﹣b）（a＋b）． 五、通分 1.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 【答案】D 【解析】A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2，正确； B、通分正确； C、通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4. 故选：D． 2.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分式的最简公分母是（a＋b）（a﹣b）， 所以通分以后的结果是． 故选：B． 3.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 【答案】A 【解析】 ， ， 所以把通分后， 各分式的分子之和为﹣（a＋1）2＋6（a＋2）＋3a（a＋1）＝2a2＋7a＋11. 故选：A． 4.把通分，则＝_____＝_____. 【答案】　 【解析】． 5.将分式和进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为　             　，分母9﹣3a可因式分解为　            　，因此最简公分母是　             　． 【答案】（a＋3）（a﹣3） ﹣3（a﹣3） ﹣3（a＋3）（a﹣3） 【解析】∵a2﹣9＝（a＋3）（a﹣3），9﹣3a＝﹣3（a﹣3）， ∴分式和的最简公分母为﹣3（a＋3）（a﹣3）． 6.小强昨天做了一道分式题“对下列分式通分：”． 他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：＝x﹣3． ＝3（x＋1）． 【答案】解：＝x﹣3，不能进行去分母， ＝3（x＋1），不能进行去分母， 改正如下： ， ． 7.下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　         步进行的是分式的通分，通分的依据是 　                                　．即为：　                                                      　； ②第 　           　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　去括号没有变号　； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】解：（1）①以上化简步骤中，第二步进行的是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．即为：分式的分子和分母都乘同一个不等于0的式子，分式的值不变； ②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号没有变号. （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. （3）在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算（答案不唯一）． 六、约分与最简分式 1.将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A.5m B.5mx C.mx D.5mx2 【答案】D 【解析】因为，所以将分式约分时，分子分母同时除以5mx2． 故选：D． 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 【答案】B 【解析】（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确； （2）当x＝﹣1时，分式无意义，错误； （3）是最简分式，正确； （4）当x＝2时，分式的值为0，错误； （5），分式的值是原来的2倍，正确，所以他的得分是60分． 故选：B． 3.若是一个最简分式，则k可以是（　　） A.x B.﹣3 C.3 D.3x 【答案】A 【解析】A、Δ＝x，原式是最简分式，故A符合题意； B、Δ＝，原式不是分式，故B不符合题意； C、Δ＝3，原式不是分式，故，C不符合题意； D、Δ＝3x，原式＝，原式不是最简分式，故D不符合题意． 故选：A． 4.请你写出一个最简分式，同时满足以下三个条件：x＝2时，分式无意义；x＝3时，分式值为0；x＝4时，分式值为4．这个分式是　             　． 【答案】（答案不唯一） 【解析】若x＝2时，分式无意义，则分母可以是x﹣2； 若x＝3时，分式值为0，则分子的一个因式可以是x﹣3； 若x＝4时，分式值为4，则分子的另一个因式可以是2． 综上所述，该分式可以是． 5.学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 　　（用含a、b、m的最简分式表示）． 【答案】 【解析】由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣﹣. 6.若分式A，B的和化简后是整式，则称A，B是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，M＝，直接写出两个符合题意的分式N． 【答案】解：（1）是一对整合分式，理由如下： ∵＝x， 满足一对整合分式的定义， ∴与是一对整合分式． （2）答案不唯一，如N1＝，N2＝． 7.问题：当a为何值时，分式无意义？ 小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3＝0，得a＝3，所以当a＝3时，分式无意义． 你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因． 【答案】解：不正确，理由如下： ∵a2﹣9＝0，即a＝±3时，分式无意义，∴小明的解答错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$