16.1 分式及其基本性质 暑假巩固练习2024-2025学年 华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 一、分式有（无）意义的条件 1.要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝ B.x＝﹣ C.x≠ D.x≠﹣ 2.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A.﹣3 B. C. D.3 3.要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≠4 B.x＞4 C.x＜4 D.x≠±4 4.若式子有意义，则实数x的取值范围是 　  　． 5.使分式有意义的x的取值范围是 　  　． 6.当x是什么数时，分式没有意义？ 7.学习了分式后，小明遇到了“当x为何值时，分式有意义？”这样一道题，他的做法是：因为所以当x＋3≠0，即x≠﹣3时，分式有意义，请问它的解法正确吗？如果不正确，应该如何改正？ 二、分式值为零的条件 1.若分式的值为0，则（　　） A.x＝﹣2 B.x＝0 C.x＝1 D.x＝1或﹣2 2.若a、b是实数，且分式＝0，则3a＋b的值是（　　） A.10 B.10或2 C.2 D.非上述答案 3.若分式的值为0，则x的值为（　　） A.0或1或2 B.0或﹣2或2 C.0或1 D.0或﹣2 4.若分式的值为零，则x＝　　． 5.当x＝　  　时，分式的值为零． 6.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 7.小刚同学编了下面这样一道题：对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，求的值．请你帮小刚同学求出答案． 三、分式的基本性质 1.若把分式中的m和n都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A.缩小5倍 B.扩大5倍 C.扩大25倍 D.不变 2.将分式中的x、y的值同时扩大到原来的2024倍，则分式的值（　　） A.扩大到原来的2024倍 B.缩小到原来的 C.保持不变 D.无法确定 3.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值(　　) A.不变 B.是原来的2倍 C.是原来的4倍 D.是原来的 4.若成立，则x    ． 5.若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则分式前后值的比是　　． 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 四、约分与最简分式 1.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 3.若是一个最简分式，则k可以是（　　） A.x B.﹣3 C.3 D.3x 4.下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”． ①　  　（ ）；②　  　（ ）；③　  　（ ）；④　  　（ ）；⑤　  　（ ）． 5.不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是　　． 6.若分式A，B的和化简后是整式，则称A，B是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，M＝，直接写出两个符合题意的分式N． 7.综艺类节目《奔跑吧》火爆荧幕，给观众带来激情和欢乐的同时，也启示我们，团队合作互助友爱是成功的重要因素，瞧！“撕名牌”游戏正在火热进行，下列“名牌”上的分式中，哪些是最简分式，哪些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式． 五、最简公分母 1.分式与的最简公分母是（　　） A.2（x＋2）（x﹣2） B.x2﹣4 C.2（2﹣x） D.（x2﹣4）（4﹣2x） 2.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 3.下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（　　） A.与的最简公分母是m2﹣n2 B.与的最简公分母是ab（x﹣y） C.与的最简公分母是12a2b（a﹣b）（b＋3） D.与的最简公分母是（x﹣1）2 4.分式，，的最简公分母是             . 5.分式，，的最简公分母为         . 6.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 4.分式与通分后的结果是　             与                　． 5.已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数＝　　． 6.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 7.甲完成一项工作需要（2a﹣6）天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分． 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固（参考答案） 一、分式有（无）意义的条件 1.要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A.x＝ B.x＝﹣ C.x≠ D.x≠﹣ 【答案】D 【解析】由题意可知：2x＋3≠0，∴x≠﹣. 故选：D． 2.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A.﹣3 B. C. D.3 【答案】B 【解析】∵当x＝3时，分式没有意义，∴x＝3时，x＋2b＝0，∴b＝﹣． 故选：B． 3.要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≠4 B.x＞4 C.x＜4 D.x≠±4 【答案】D 【解析】根据题意得：|x|﹣4≠0，∴x≠±4． 故选：D． 4.若式子有意义，则实数x的取值范围是 　  　． 【答案】x≠3 【解析】由题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3. 5.使分式有意义的x的取值范围是 　  　． 【答案】x≠2024 【解析】要使分式有意义，则x﹣2024≠0，即x≠2024． 6.当x是什么数时，分式没有意义？ 【答案】解：依题意得：2x2﹣5x＋2＝0， 整理，得（x﹣2）（2x﹣1）＝0 解得x1＝2，x2＝． 综上所述，当x＝2或时，分式没有意义． 7.学习了分式后，小明遇到了“当x为何值时，分式有意义？”这样一道题，他的做法是：因为所以当x＋3≠0，即x≠﹣3时，分式有意义，请问它的解法正确吗？如果不正确，应该如何改正？ 【答案】解：他的解法不正确． 由题意得，（x＋3）（x﹣3）≠0， 所以，x＋3≠0且x﹣3≠0， 解得x≠﹣3且x≠3． 二、分式值为零的条件 1.若分式的值为0，则（　　） A.x＝﹣2 B.x＝0 C.x＝1 D.x＝1或﹣2 【答案】C 【解析】∵分式的值为0，∴，解得x＝1． 故选：C． 2.若a、b是实数，且分式＝0，则3a＋b的值是（　　） A.10 B.10或2 C.2 D.非上述答案 【答案】A 【解析】∵分式＝0，∴，∴b≠﹣4． 又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0，∴a＝2，b＝4． ∴3a＋b＝3×2＋4＝10． 故选：A． 3.若分式的值为0，则x的值为（　　） A.0或1或2 B.0或﹣2或2 C.0或1 D.0或﹣2 【答案】C 【解析】∵的值为0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1． 故选：C． 4.若分式的值为零，则x＝　　． 【答案】1 【解析】根据题意，得x2﹣1＝0且x2＋3x＋2≠0． 所以（x＋1）（x﹣1）＝0且（x＋1）（x＋2）≠0． 所以x﹣1＝0． 所以x＝1． 5.当x＝　  　时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】依题意得：x2﹣9＝0且|x＋3|≠0，解得x＝3． 6.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 【答案】解：（1）由题意得，m2﹣3m＋2≠0， 解得，m≠1且m≠2. （2）由题意得，（m﹣1）（m﹣3）＝0，m2﹣3m＋2≠0， 解得，m＝3， 则当m＝3时，此分式的值为零． 7.小刚同学编了下面这样一道题：对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，求的值．请你帮小刚同学求出答案． 【答案】解：∵对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义， ∴﹣3＋b＝0，解得b＝3； ∵当x＝4时，分式的值为0，∴8﹣a＝0，解得a＝8， ∴＝． 三、分式的基本性质 1.若把分式中的m和n都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A.缩小5倍 B.扩大5倍 C.扩大25倍 D.不变 【答案】D 【解析】把分式中的m和n都扩大到原来的5倍，则分式的值不变． 故选：D． 2.将分式中的x、y的值同时扩大到原来的2024倍，则分式的值（　　） A.扩大到原来的2024倍 B.缩小到原来的 C.保持不变 D.无法确定 【答案】A 【解析】x，y同时扩大原来的2024倍时，2024（）， ∴扩大为原来的2024倍． 故选：A． 3.分式中的x，y同时扩大2倍，则分式的值(　　) A.不变 B.是原来的2倍 C.是原来的4倍 D.是原来的 【答案】B 【解析】分式中的x，y同时扩大2倍，则分子扩大4倍，分母扩大2倍，所以分式的值扩大2倍. 故选：B. 4.若成立，则x    ． 【答案】≠1 【解析】由题意得：要想等式成立则x－1≠0，即x≠1． 5.若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则分式前后值的比是　　． 【答案】1：9 【解析】分式中的x、y的值都变为原来的3倍，得． 分式前后值的比是：1：9. 6.甲将数A用两个不同形式的分数来表示，不巧，这两个数均有一部分被墨水挡住，如图．乙看见这个被污染的表达式，并打算找出所有满足现在关系的A．已知被墨水挡住的数均为正整数，但A不为正数，乙找出了满足图中的A的所有可能值，其中，最大的记作Amax，最小的记作Amin. 求Amax﹣Amin的值． 【答案】解：设A， ∴a﹣3， ∵A， ∴a为最小值时A最小，a为最大值时A最大， ∴a是正整数， ∴当26﹣b＝20时，a取最小值，此时Amin＝＝， 当26﹣b＝1时，a取最大值，此时Amax＝＝15， ∴Amax﹣Amin＝15﹣＝． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 【答案】解：例如：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，有， 则（1）； （2）； （3）， 观察发现各组中的两个分式相等． 现选择第（2）组进行说明证明． 已知a，b，c，d都不等于0，并且，所以有：11，所以有：． 四、约分与最简分式 1.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 【答案】B 【解析】（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确； （2）当x＝﹣1时，分式无意义，错误； （3）是最简分式，正确； （4）当x＝2时，分式的值为0，错误； （5），分式的值是原来的2倍，正确，所以他的得分是60分． 故选：B． 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 【答案】D 【解析】A、分式的值为零，则x的值为﹣1，选项错误，不符合题意； B、当x＝0时，没有意义，≠，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意. 故选：D． 3.若是一个最简分式，则k可以是（　　） A.x B.﹣3 C.3 D.3x 【答案】A 【解析】A、Δ＝x，原式是最简分式，故A符合题意； B、Δ＝，原式不是分式，故B不符合题意； C、Δ＝3，原式不是分式，故，C不符合题意； D、Δ＝3x，原式＝，原式不是最简分式，故D不符合题意． 故选：A． 4.下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”． ①　  　（ ）；②　  　（ ）；③　  　（ ）；④　  　（ ）；⑤　  　（ ）． 【答案】；√；；﹣1；√ 【解析】①； ②是最简分式； ③； ④＝﹣1； ⑤是最简分式. 5.不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是　　． 【答案】 【解析】分子、分母都乘以100得，， 约分得，． 6.若分式A，B的和化简后是整式，则称A，B是一对整合分式． （1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由； （2）已知分式M，N是一对整合分式，M＝，直接写出两个符合题意的分式N． 【答案】解：（1）是一对整合分式，理由如下： ∵＝x， 满足一对整合分式的定义， ∴与是一对整合分式． （2）答案不唯一，如N1＝，N2＝． 7.综艺类节目《奔跑吧》火爆荧幕，给观众带来激情和欢乐的同时，也启示我们，团队合作互助友爱是成功的重要因素，瞧！“撕名牌”游戏正在火热进行，下列“名牌”上的分式中，哪些是最简分式，哪些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式． 【答案】解：（1）是最简分式. （2）＝﹣. （3）＝﹣． 五、最简公分母 1.分式与的最简公分母是（　　） A.2（x＋2）（x﹣2） B.x2﹣4 C.2（2﹣x） D.（x2﹣4）（4﹣2x） 【答案】A 【解析】分式与的最简公分母是2（x＋2）（x﹣2）. 故选：A. 2.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 【答案】B 【解析】分式的分母分别是（a﹣2b）2、（a﹣2b）、（a＋2b）， 所以其最简公分母是（a﹣2b）2（a＋2b）． 故选：B． 3.下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（　　） A.与的最简公分母是m2﹣n2 B.与的最简公分母是ab（x﹣y） C.与的最简公分母是12a2b（a﹣b）（b＋3） D.与的最简公分母是（x﹣1）2 【答案】D 【解析】A.正确； B.正确； C.正确； D.最简公分母应该是（x﹣1）2（x＋1），故错误． 故选：D． 4.分式，，的最简公分母是             . 【答案】24a3b2c3 【解析】3，2，8的最小公倍数为24， a2b，ab2，a3bc3的最小公倍数为a3b2c3， ∴分式的最简公分母为24a3b2c3. 5.分式，，的最简公分母为         . 【答案】36m2n（m＋n）（m－n）2 【解析】分式，，的分母分别是36m2n，4mn（m－n）2，6mn（m＋n）（m－n）， 故最简公分母是36m2n（m＋n）（m－n）2. 6.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 【答案】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x＋1）（x﹣1）， ∴＝3（x＋1）＝3，即x＝0， 则＝﹣，＝＝﹣2． 7.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 【答案】解：（1）①； 由题意可得：最简公分母为：30a2b3c2， 则. ② 由题意可得：最简公分母为：3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 则， ， . ③， 由题意可得：最简公分母为：a（a﹣b）（a＋b）， 则， . （2）3，2，5的最小公倍数是30，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为a2b3c2． （3）分母若是多项式，先分解因式，再通分． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是a（a﹣b）（a＋b）． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分式的最简公分母是（a＋b）（a﹣b）， 所以通分以后的结果是． 故选：B． 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的最简公分母为12a2b2c， ∴分式通分的结果为． 故选：A． 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 【答案】D 【解析】A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2，正确； B、通分正确； C、通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4. 故选：D． 4.分式与通分后的结果是　             与                　． 【答案】 【解析】∵x2﹣3x＝x（x﹣3），x2﹣9＝（x﹣3）（x＋3）， ∴分式 分式． 5.已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数＝　　． 【答案】 【解析】由题意，得﹣＞0，﹣＞0，即＞0＞0， ∵m，n为正整数， ∴2007n﹣2006m＞0，2007m﹣2008n＞0； 设2007n﹣2006m＝x，2007m﹣2008n＝y；（x、y是正整数） 则有：解得； 当m最小时，x＝y＝1；即m＝4015，n＝4013；此时m、n互质，故＝． 6.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 【答案】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质2） 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.（或等式的性质1） 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质） 任务二：①a＝2，b＝5，c＝4，d＝10；（答案不唯一）． ②计算：，；（答案不唯一）． ③猜想：若则． ④证明：∵ ∴ad＝bc， ∵ ＝ ＝ ∴． 7.甲完成一项工作需要（2a﹣6）天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分． 【答案】解：甲队每天完成的工作量为 乙队每天完成的工作量． 学科网（北京）股份有限公司 $$