第17章 因式分解-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学重难题型练（人教版2024）

真题圈数学八年级上RU2N 第十七章因式分解 题型一因式分解的方法 类型1提公因式法 7.(期末·长沙长郡教育集团)因式分解： 1.(期中·西工大附中)把5(a一b)+m(b-a) (1)25m2-n2. (2)y-4y2+4y. 提公因式后一个因式是(a一b),则另一个因 式是() A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 2.(期中·长春朝阳区)分解因式：a2一2a 3.因式分解： 8.(期末·武汉江汉区)因式分解： (1)(期末·广州白云区)15a3+10a2. (1)(m+n)2-4(m十n)+4. (2)(x-3)2-2x+6. (2)2x2-18. 类型3特殊方法 9.方法探索阅读下列材料：根据多项式的乘 法，我们知道(x一2)(x一5)=x2一7x+10. 反过来，就得到x2一7x十10的因式分解形 类型2公式法 式，即x2-7x+10=(x-2)(x一5).把这个 4.(期末·天津河北区)下列各式，不能用完全 多项式的二次项系数1分解为1×1，常数项 平方公式进行因式分解的是() 10分解为（一2）×（一5），先将分解的二次项 A.x2-2x+1 B.1-2x+x 系数1,1分别写在十字交叉线的左上角和 C.a2+b2-2ab D.4x2+4x-1 左下角，再把一2，一5分别写在十字交叉线 5.将下列多项式分解因式，所得结果为(2x一 的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉 y)(2x+y)的是( ) 相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系 A.4x2+y2 B.4x2-y2 数一7（如图①） C.-4x2-y D.y2-4c2 像上面这样，先分解二次项系数，把它们分 6.情境题小明在抄分解因式的题目时，不小心 别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分 漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10 解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右 的正整数，并且能利用平方差公式分解因 上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使 式，他抄在作业本上的式子是x☐一4y2 其正好等于一次项系数，我们把这种借助 (“口”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的 “十字”方式，将一个二次三项式分解因式的 情况共有( 方法，叫作十字相乘法 A.2种 B.3种 例如，将二次三项式4x2+x一3分解因式， C.4种 D.5种 它的“十字”如图②， 24 重难题型练 所以4x2十x一3=(x+1)(4x-3) 11.(期中·福州三牧中学)整体思想是数学解 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： 题中常见的一种思想方法，下面是某同学 (1)x2+5.x+6= 对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行 (2)2x2-7x+3= 因式分解的过程.将“x2十2x”看成一个整 (3)x2+(2-m)x-2m= 体，令x2+2x=y,则原式=y(y十2)+1= y2+2y+1=(y+1)2,再将“y”还原即可. 解：设x2+2x=y,原式=y(y+2)+1=y2 -2-5=-7 4-3=1 +2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2 ① ② 问题： 第9题图 10.(期末·天津河西区)八年级课外兴趣小组 (1)该同学完成因式分解了吗？如果没完 活动时，老师提出了如下问题：将2a一3ab 成，请你直接写出最后的结果 一4十6b因式分解.经过小组合作交流，得 (2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2 到了如下的解决方法： 4x)(x2一4x十8)+16进行因式分解. 解法一：原式=(2a一3ab)-(4-6b) =a(2-3b)-2(2-3b) =(2-3b)(a-2). 解法二：原式=(2a-4)一(3ab-6b) =2(a-2)-3b(a-2) =(a-2)(2-3b). 小明由此体会到，对项数较多的多项式无 法直接进行因式分解时，我们可以将多项 式分为若干组，再利用提公因式法、公式法 等方法达到因式分解的目的.这种方法可 以称为分组分解法.（温馨提示：因式分解 一定要分解到不能再分解为止)》 清品图书 请你也试一试利用分组分解法进行因式 分解： (1)因式分解：x2-a2+x十a. (2)因式分解：ax+a2-2ab-bx+b. 25 真题圈数学八年级上RU2N 题型二 因式分解的应用 1.若a,b,c是三角形的三边长，则式子c2一(a 4.方法探索对于形如x2一2ax十a这样的二次 一b)2的值( 三项式，可以用公式法将它分解成(x一a) A.大于0 B.小于0 的形式.但对于二次三项式x2-2a.x一3a2, C.等于0 D.不能确定 就不能直接运用公式了.此时，我们可以在 2.(期中·清华附中)已知实数a满足a2一 二次三项式x2一2ax-3a2中先加上一项a2, 2a-1=0,则代数式2a3-a2-8a十4的 使它与x2一2a.x的和成为一个完全平方式， 值为 再减去a,整个式子的值不变，于是有x2一 3.(期中·长沙长郡教育集团)阅读材料，解决 2ax-3a2=(x2-2ax+a2)-a2-3a2=(x 后面的问题 -a)2-4a2=(x-3a)(x十a).像这样，先添 若d+2m+22-6m+9=0,求m-n的值. 加一个适当项，使式中出现完全平方式，再 解：，m2+2mm十2n2-6n十9=0， 减去这个项，使整个式子的值不变的方法称 .(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0, 为配方法.利用以上配方法解决下列问题： 即(m+n)2+(n-3)2=0, (1)利用配方法分解因式a2一4a-5. ∴.m十n=0,n-3=0, (2)求二次三项式m2十6m十1的最小值. 解得m=一3，n=3, (3)已知x是实数，试比较x2一5.x+5与 ∴.m-n=-3-3=-6. 一x2十3x一4的大小，请说明理由. (1)若x2+y2+6x-8y+25=0,求x十2y 的值。 (2)已知等腰△ABC的两边长a,b满足a2+ b=10a+12b一61，求该△ABC的周长. (3)已知正整数a,b,c满足不等式a2十b+ c2+36<ab+6b+10c,求a+b-c的值 26∴ab=3,十b=5, .(8-xy护+(x-32=d+=(a+b2-2ah=25-2×3=19. (2)设2025-x=a.x-2021=b. .a+b=2025-x十-2021=4. .(2025-x)2+(x-2021)2=10,.a2+6=10. 又a+=(a+b)2-2alh. ∴.2ab=(a+b)2-(a2+)=4-10=6, .ab=3,即(2025-x)(x-2021)=3. (3)216. 分析：AE=x,则CD=AE=x,:BE=4,B=12, BD=BC-CD=12-x,AB=AE+BE=x4. S8m=2AB:BD=10.(I2-D)(x+4)=20. 令12-x=a,x十4=b,则a十b=16.ab=20, ∴，正方形ABFG和正方形BDMN的面积和=a十N=(a十 b)*-2ab=16-2×20=216. 第十七章因式分解 题型一因式分解的方法 L.A【解析】原式=5(a一)一m(a-b)=(a一)(5-m),另一个 因式是(5一m).故选A 2.a(a-2) 3.【解】(1)原式=5a2(3a+2). (2)原式=(r-3)2-2(x-3)=(x-3)(x-3-2)=(.x-3)(x -5). 4.D【解析】Ax2-2x十1=(x-1),故不符合题意：B1-2x+ x=(1-x)2,故不符合题意：C.a2+-2ab=(a-b),故不符 合题意；D.4x+4x一1不能用完全平方公式进行因式分解，符 合题意.故选D 5.B【解析】L4十y无法因式分解，故此选项错误，不符合题意： B.4.一3y=(2.r一y)(2十y),正确，符合题意： C.一4a一y无法因式分解，不符合题意： D.y-4x=(y+2x)(y一2x),与结果不符，不符合题意. 故选B 6.D【解析】该指数可能是2,4,6、8、10.故选D 7.【解】(1D原式=(5m十)(5-n. (2)原式=y(3y一4y十4)=y(y-2) 8.【解】(1)(m十)2-4(m十n)十4=[(m十)-2了=(m十n一2) (2)2z2-18=2(x-9)=2(x+3)(x-3). 9.(1)(x+2)(x+3)(2)(2x-1)(x-3)(3)(x+2)(xm) 12 1入3 【解析】(1)3+2=5，即.x2+5x+6=(x+2)(x十3). (2)-1-6=-7,即2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). (3)-m+2=2-m,即2十(2-)x-2m=(x+2)(x-m. 10,【解】(1).x2-a2+x+a=(.-a)+(x+a)=(x-a)(.x+a)+ (x+a)=(x+a)(r-a+1). (2)ar+a-2ab-br+b =(ax-br)+(a2-2ab+) =x(a-b)+(a-b)=(a-b)(x+a-b). 11.【解】(1)该同学没有完成因式分解。 (x+1)' 分析：设+2x=y,原式=y(y+2)+1=y+2y+1=(y 真题国数学八年级上」2N 1)7=(x2十2x+1)2=(x十1) (2)设x2-4r=y.原式=y(y+8)+16=y+8y+16=(y+ 4)2=(-4x十4)3=(x-2). 题型二因式分解的应用 1.A【解析】由题意可得，十a>b,c十bd, .c+a-b>0,c-a+b>0, .2-(a-b)=(c+a一b(c-a十b)>0.枚选A. 2.7【解析】：d2-2a-1=0,∴ad2-2u=1, .2a3-a2-8a+4=2a3-4a+3a2-6a-2a+4=2a(a2-2a) +3(a2-2a)-2a+4=2a十3-2a+4=7.故答案为7. 3【解】(1D,x2+y+6x-8y+25=0. ,.(x2十6x+9)+(y-8y+16)=0,即(x+3)￥+(y一4)2=0. .x十3=0，y-4=0,解得x=-3,y=4. .x+2y■-3十8=5. (2)a2+7=10a+12h-61, .a2-10a+25+-12h+36=0. .(a-5)2+(h-6)°=0， .a一5=0.b-6=0.解得a=5,b=6. :a,b是等腰△ABC的两边长， ,'.当a是腰，b是底时，△ABC的周长=5+5十6=16： 当b是腰，a是底时，△ABC的周长=5+6+6=17. 综上，△AC的周长为16或17. (3)"a2+i+2+36<ab+6h+10c, .4a2+4+4c2+144<4ab+2h+40c, .∴.4a2+4b+4c2+144-4ah一24h-40<0, ..4a2-4ah+F+3-24h+48+42-40+100-4<0, ,.(2a-b)2+3(b-4)2+4(c-5)2<4. ,a,b.c为正整数， .c5=0,即=5， b-4=0或1或一1，即=4或5或3， 当6=4时，2a-6=0或1或-1，a=2或2.5或1.5 :a,b.c为正整数， '.a=2,b=4c=5 ,.a+b-c=2+4一5=1： 当b=5时，2a一b=0,却a=2.5,与题意不符，舍去： 当b=3时，2a一b=0,即a=1.5,与题意不符，舍去. 综上所述，a十b一c=1. 4.【解】(1Da2-4a-5-a2-4a+4-5-4=(a-2)2-9=(a-2+ 3)(a-2-3)=(a+1)(a-5). (2)m2+6m+1=2+6m+9-9+1=(m+3)2-8, :(m十3)≥0，.当m=-3时.二次三项式m十6m十1取最 小值，最小值为一8. (3)X-5x+5-(-+3x-4) =r2-5x+5+x-3x+4=2x-8x+9 =2(x2-4.x)+9=2(.x-4.x+4)-8+9 =2(x-2)+1>0, ,.x-5x+5>-x2+3x-4. 第十八章分式 题型一分式的化简求值 1C【解1（千兴）·路-器器 当x=6y=3时，原式=3X6X3=6.故选C 6+3 27【标们片六。帝生 1 产+3x希 1 1