第16章 整式的乘法-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学重难题型练（人教版2024）

真题圈数学八年级上RU2N 第十六章 整式的乘法 题型一化简求值 类型1直接代入 类型2整体代入 1.先化简，再求值：(12a3一6a2+3a)÷3a,其中 4.已知m十n=2,mn=一2，则(1十m)(1+n) a=-1. 的值为() A.-3B.-1 C.1D.5 5.(期中·首师大附中)已知a2十a=2,求代数 式(a+2)(a-2)+a(a+2)的值. 2.(期中·长沙一中教育集团)先化简，再求 值：(2x十1)(3x-2)-(x-1)(2x-3)- (2x)2,其中x=1. 6.(期末·北京海淀区)已知a2一2a一1=0，求 代数式(2a+1)(2a-1)+(a-5)2的值. 3.(期末·天津红桥区节选)先化简，再求值： (2x+3)2-(2z+02x-0,其中x=号， 7.(期末·北京东城区)已知3mn=5m2一2，求 代数式(m十n)(m一n)+(3m-n)2的值. y=-2 20 重难题型练 题型二 无关项、错解问题 类型1无关项问题 类型2错解问题 1.(期中·大连中山区)(mx十8)(2-3x)展开后 4.(期中·成都外国语学校)已知A=2x,B 不含x的一次项，则m的值为 是多项式，在计算B十A时，小马虎同学把 2.程序框图任意给定一个非零数m,按如图所 B+A看成了B÷A,结果得x2十x,则B十 示的程序计算， A- 四一平方一网一网一m可 结果 5.以下是小华同学做的整式运算一题的解题 过程： 第2题图 计算：2b2-(a+b)(a-2b) (1)当m=2时，求输出结果 原式=2b2-(a2-2b2) 第①步 (2)嘉琪认为“不论m为何非零数，其结果均 =2b-a2+2b …第②步 为0”，嘉琪的观点正确吗？请说明理由 =4b-a2.… 第③步 老师说：“小华的过程有问题”.请你指出计 算过程中错误的步骤，并改正 3.有7张如图①所示的小长方形，长为a,宽为 b,按照图②所示的方式不重叠地放在大长 方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个 6.情境题在一次测试中，甲、乙两同学计算同 部分都是长方形.设右上角长方形的面积为 道整式乘法：(2x+a)(3x+b),甲由于抄 S,左下角长方形的面积为S2,当AB的长 变化时，S,一S,的值始终保持不变，求a与 错了第一个多项式中a的符号，得到的结果 b的数量关系。 为6.x2+11x一10；乙由于漏抄了第二个多项 式中x的系数，得到的结果为2x2一9x+10. (1)试求出式子中a,b的值 (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果 ② 第3题图 21 真题圈数学八年级上RU2N 题型三 乘法公式的运用 类型1平方差公式 5.阅读游戏玩法并回答问题： 1.(期末·哈尔滨道外区)如图，从边长为a的 (1)如图①，有一个边长为a的大正方形纸 正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然 板，在正中心剪下边长为b的正方形.则阴 后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操 影部分面积是 作能验证的等式是( (2)将图①沿虚线剪开后重新拼接成图 ②，得到一个平行四边形，则这个平行四 边形的底是 ,高是 ,面 积是 (3)由图②到图①可以得到等式 (4)运用你所得到的公式，计算(a十2b一c)· 第1题图 (a-2b-c). A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+ab=a(a+b) 2.当m2十2m一2=0时，代数式(m+1)(m ① ② 1)+2m的值为 第5题图 3.方法探究利用乘法公式有时能进行简便计算. 例：102×98=(100+2)×(100-2)=1002 22=10000-4=9996. 请参考给出的例题，通过简便方法计算： (1)31×29. (2)195×205. 类型2完全平方公式 6.(期中·济南历下区)如 d 图，正方形中阴影部分的 4.化简： 面积为( (2+1)(22+1)(2+1)(28+1)(216+1). A.a2-62 B.a2+62 a C.ab 第6题图 D.2ab 7.(期末·广州越秀区)已知(x十2y)2=10, (x-2y)2=18,那么xy的值为() A.-1B.1C.-2D.2 8.(期末·广州白云区)计算9992= 22 重难题型练 9.数形结合（期中·首师大附中）“数形结合”是 我们把这种方法叫作换元法.利用换元法 一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习 达到简化计算的目的，体现了转化的数学 “整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用 思想。 “等积法”直观地推导出了完全平方和公式： 【理解应用】(1)若(8一x)(x一3)=3，则 (a十b)2=a2+2ab+(如图①).利用“数形结 (8-x)2+(x-3)2= 合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问 (2)若x满足(2025-x)2+(x一2021)2 题，也可以用图形关系解决代数问题， 10,求(2025-x)(x-2021)的值， 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： 【拓展】(3)如图，在△ABC中，∠ABC= (1)由图②可得等式 90°，BC=12,点D是边BC上的点，在边 利用图②得到的结论，解决问题：若a十b AB上取一点E,使AE=CD,设AE=x(x +c=15,ab+ac+bc=35,a2+62+c2 >0).分别以AB,BD为边在△ABC外部 作正方形ABFG和正方形BDMN,连接 (2)如图③，若用其中x张边长为a的正方 AD.若BE=4,△ABD的面积为10，直接 形，y张边长为b的正方形，x张边长分别为 写出正方形ABFG和正方形BDMN的面 a,b的长方形纸片拼出一个面积为(2a十b)· 积和. (a十2b)的长方形（无空隙、无重叠地拼接）， G 则x十y十= 6 ab 第10题图 ab b ① ② 金星教自 清品图书 ③ 第9题图 10.思维探索（期中·长春朝阳区改编） 【阅读理解】题目：若(10一x)(x一5)=2，求 (10一x)2+(x一5)2的值， 由观察，得(10一x)与(x一5)中的x与一x 互为相反数， 我们不妨设a=10一x,b=x一5. .(10-x)(x-5)=2, .ab=2. .(10-x)+(x-5)=5, ∴.a+b=5. ∴.(10-x)2+(x-5)2=a2+b =(a+b)2-2ab =52-2×2=21. 23答案与解析 7.【解】如图，连接PB,,AB=AC,BD=CD, ∴.AD⊥BC ∴PB=PC, .PC+PE=PB十PE PE+PBBE. ∴P,B,E共线时，PB+PE的值最 p 小，最小值为BE的长度， B D ∴.PC+PE的最小值是6， 第7题答图 第十六章 整式的乘法 题型一化简求值 1.【解】原式-12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a-4a2-2a+1, 当a=一1时， 原式=4×(-1)2-2×（一1）+1=4×1+2+1=4+2+1=7. 2.【解】原式=6x2-4x十3x-2-(2x2-3x-2x+3)-4x2 =6x2-4x+3x-2-2x2+3x+2x-3-4x2=4x-5, 当x=1时，原式=4×1-5=4-5=-1. 3.【解】原式=(4x2+12xy+9)-(42-y)=4x2+12xy+9y -4+y=12xy叶10时，当x=号y=-合时，原式=12×号 ×(-2)+10x(2)》=安 4.C【解析】，m十n=2,mn=一2， ,.(1十m)(1十n)=1++m+mm=1+2一2=1. 故选C 5.【解】，a2十a=2,.(a十2)(a-2)十a(a十2)=a2一4十a2十2a =2a2+2a-4=2(a2+a)-4=2×2-4=0. 6.【解】原式=4a2-1+a-10a十25=5a2-10a十24 =5(a2-2a)+24. :a2-2a-1=0,.d2-2a=1.∴.原式=5×1+24=29. 7.【解】，3mm=5m2-2,∴。6mn=102-4, 原式=m2-2+9m-6mm+=10m2-6mm =10m2-(10m2-4)=10m2-10m2+4=4. 题型二无关项、错解问题 1.12【解析】(mz+8)(2-3z)=2mx-3mx2+16-24x= -3mx2+(2m-24)x+16, (mx十8)(2-3x)展开后不含x的一次项， .2m一24=0，.m=12.故答案为12. 2【解(1)当m=2时，输出结果为(2+2)÷2-2-1=3-2-1=0. (2)正确.理由如下：(2十m)÷m一m一1=m十1一m一1=0. 3.【解】设AB=x,由题图可知S,=a(x一3b),S=2b(x一2a) ∴.S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab. ,当AB的长变化时，S一S的值始终保持不变， S一S的值与x的取值无关， ∴.a-2b=0,∴.a=2b. 4.2x3十2x2十2x【解析】由题意，得B÷A=x2+x, ∴.B=2x(x2+x)=2x2+2x2, ∴B+A=2x+22+2x 故答案为2x2+2x2+2x. 5.【解】错误的步骤是第①步，改正：原式=2-(a2-2ab+ab- 26)=2b6-a2+2ab-ab+26=4b+ab-a2. 6.【解】(1)由题意得 (2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10, (2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10, 所以2b-3a=11,① a+2b=-9.② 由②得2b=-9-a,代入①得-9-a-3a=11, 所以a=一5.所以2b=一4.所以b=一2. (2)当a=一5，b=一2时， (2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10. 题型三乘法公式的运用 1.A 2.1【解析】m2+2m-2=0,∴.m2+2m=2, ∴.(m十1)(m-1)+2m=m2-1+2m=2-1=1.故答案为1. 3.【解】(1)31×29=(30+1)×(30-1)=302-12=900-1=899. (2)195×205=(200-5)×(200+5)=2002-52=40000-25 =39975. 4.【解】原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) =(2-1)(22+1)(2*+1)(2+1)(26+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(24+1) =(2-1)(2“+1)(216+1) =(26-1)(2+1)=2-1. 5.【解】(1)a2-(2)a+ba-b(a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-b)=a2- (4)(a+2b-c)(a-2b-c)=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]=(a c)2-(2b)=d2-2ac十2-4b. 6D【解析】阴影部分的面积为(a+b2-之2×2-之8X2 2ah.故选D 7.A【解析】，(x+2y)2=10,.2+4xy+4y=10.① (x-2y)2=18,∴.x2-4xy+4y2=18.② ②-①，得-8xy=8,.xy=一1.故选A 8.998001【解析999=(1000-1)2=1000-一2000+1=998001. 故答案为998001. 9.【解】(1D(a+b+c)2=a2+6+c2+2ab+2ac+2bc155 分析：由题图②知，大正方形的面积=(a+b+c)', 大正方形的面积=3个边长分别为a,b,c的正方形的面积十2 个长和宽分别为b,a的小长方形的面积十2个长和宽分别为c, a的小长方形的面积十2个长和宽分别为c,b的小长方形的面 积=d2++2+2ab+2ac+2bc, ,.(a+b+c)2=d+b+c2+2ab+2ac+2b. .a2+8+e2=(a+b+c)2-(2ab+2ac+2hc) =(a+b+c)*-2(ab+ac+bc). 把a十b+c=15,ab+ac+bc=35代入，得 d2+8+2=153-2×35=225-70-155. (2)9 分析：(2a+b)(a十2b)=2a2+4ab+ab+2B=2a2+5ab+2B, 2d+5ab+28可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a,b的长方形纸片拼成的大长方形的 面积，如图， 6 第9题答图 .x■2，y=2,x=5, .x十y十z=9.故答案为9. 10.【解】(1)19 分析：令8-x=a,x一3=b, (8-x)(x-3)=3, ∴ab=3,a十b=5, ∴.(8-x2+(x-3y=d+=(a+b2-2ab=25-2X3=19. (2)设2025-x=a,x-2021=b, .a十b=2025-x十x-2021=4. :(2025-x)2+(x-2021)2=10,∴.a2+=10. 又d2+=(a+b)2-2ab, ∴.2ab=(a+b)2-(ad2+)=48-10=6, ∴.ab=3,即(2025-x)(x-2021)=3. (3)216. 分析：AE=x,则CD=AE=x,BE=4,BC=12, .BD=BC-CD=12-x,AB=AE+BE=x+4. ”Sam-zAB·BD=10,(12-x0(x+4)=20. 令12-x=a,x+4=b,则a+b=16,ab=20, ∴.正方形ABFG和正方形BDMN的面积和=a2十=(a十 b)3-2ab=162-2×20=216. 第十七章因式分解 题型一因式分解的方法 1.A【解析】原式=5(a-b)一m(a-b)=(a-b)(5-m),另一个 因式是(5一m).故选A 2.a(a-2) 3.【解】(1)原式=5a2(3a+2). (2)原式=(x-3)2-2(x-3)=(x-3)(x-3-2)=(x-3)(x -5) 4.D【解析】A.x2一2x+1=(x一1)，故不符合题意：B1一2x十 x2=(1-x)产，故不符合题意；C.d2+-2ab=(a-b)2,故不符 合题意；D.4+4x一1不能用完全平方公式进行因式分解，符 合题意.故选D. 5.B【解析】A4x2十y无法因式分解，故此选项错误，不符合题意： B4x一y=(2x一y)(2x+y),正确，符合题意： C.一4x2一y无法因式分解，不符合题意： D.y-4x2=(y十2x)(y一2x),与结果不符，不符合题意. 故选B 6.D【解析】该指数可能是2、4、6、8、10.故选D 7.【解】(1)原式=(5m+n)(5m一). (2)原式=y(y-4y十4)=y(y-2) 8【解】(1)(m+n)2-4(m+n)+4=[(m+n)-2]子=(m十n-2) (2)2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3). 9.(1)(x十2)(x十3)(2)(2x-1)(x-3)(3)(x+2)(x-m) 1、/2 13 【解析】(1)3+2=5，即x+5x十6=(x十2)(x十3). 2、/-1 1X-3 (2)-1-6=-7,即22-7x十3=(2x-1)(x-3). (3)-m+2=2-m,即x2+(2-m)x-2m=(x十2)(x-m). 10.【解】(1)x2-a2+x+a=(2-a2)+(x+a)=(x-a)(x+a)+ (x十a)=(x十a)(x-a十1). (2)ax+a-2ab-bx+8 =(ax-bx)+(d2-2ab+) =x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x十a-b). 11.【解】(1)该同学没有完成因式分解. (x+1) 分析：设x+2x=y,原式=y(y十2)+1=y十2y+1=(y+ 真题圈数学八年级上R」2N 1)2=(x2十2x+1)2=(x+1) (2)设x-4x=y,原式=y(y+8)+16=y+8y+16=(y+ 4)2=(x2-4x十4)2=(x-2) 题型二因式分解的应用 L,A【解析】由题意可得，c十a>b,c十b>a, .c十a-b>0,c-a+b>0, ∴.2-(a-b)2=(c+a-b)(c-a+b)>0.故选A 2.7【解析】：a2-2a-1=0,∴.d2-2a=1, ∴.2a3-a2-8a+4=2a3-4a2+3a2-6a-2a+4=2a(a2-2a) 十3(a2-2a)-2a十4=2a十3-2a十4=7.故答案为7. 3.【解】(1)x2+y+6x-8y+25=0, .(x2+6x+9)+(y2-8y+16)=0,即(x+3)2+(y-4)2=0. .x十3=0，y一4=0，解得x=-3,y=4. .x+2y=-3+8=5. (2)a+=10a+12b-61, ,.a2-10a+25+b-12b+36=0, .(a-5)2+(b-6)=0, ∴.a一5=0，b-6=0,解得a=5,b=6. :a,b是等腰△ABC的两边长， .当a是腰，b是底时，△ABC的周长=5十5十6=16： 当b是腰，a是底时，△ABC的周长=5+6十6=17. 综上，△ABC的周长为16或17. (3)"a2+b+2+36<ab+6b+10c, ,∴.4a2+4+4c2+144<4ab+24b+40c, .4a2+46+4c2+144-4ab-24b-40c<0, ..4a2-4ab+6+3-24b+48+4c2-40c+100-4<0, .(2a-b)2+3(b-4)2+4(c-5)2<4. :a,b,c为正整数， ∴，c-5=0,即c=5, b一4=0或1或一1，即b=4或5或3. 当b=4时，2a-b=0或1或-1，a=2或2.5或1.5， a,b,c为正整数， ∴.a=2,b=4,c=5, ..a+b-c=2+4一5=1： 当b=5时，2a一b=0,即a=2.5,与题意不符，舍去； 当b=3时，2a一b=0,即a=1.5,与题意不符，舍去. 综上所述，a十b一c=l. 4.【解】(1)a2-4a-5=d2-4a十4-5-4=(a-2)2-9=(a-2+ 3)(a-2-3)=(a+1)(a-5). (2)m2+6m+1=m2+6m十9-9十1=(m十3)2-8， :(m十3)≥0，∴.当m=-3时，二次三项式m+6m十1取最 小值，最小值为一8 (3),x2-5x+5-(-x2+3x-4) =x2-5x+5+x2-3x+4=2x2-8x+9 =2(x2-4x)+9=2(x2-4x+4)-8+9 =2(x-2)2+1>0. .2-5x+5>-x2+3x-4. 第十八章分式 题型一分式的化简求值 1C【解新1（千十兴）器，-带器器 当x=6,y=3时，原式=3X6X3=6.故选C 6+3 2?【解柳片士帝牛中 + 1