第15章 轴对称-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学重难题型练（人教版2024）

重难题型练 第十五章 轴对称 题型一线段的垂直平分线的应用 1.(期中·合肥庐阳区)如图，在△ABC中，AB 5.(期中·广州天河区)如图，直线CD是线段 =AC,AB的垂直平分线DE交AC于点E, AB的垂直平分线，点P为直线CD上一点. CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相 若△PAB的周长为14，PA=4,则线段AB 交于点F,则∠A的度数是() 的长度为 A.36 B.28 C.35 D.45 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.(期中·天津南开区)如图，在△ABC中， 2.(期末·广州荔湾区)如图，将△ABC放 DE,DF分别是AC,BC边的垂直平分线，连 在每个小正方形边长均为1的网格中，点 接AD,BD,CD,若∠ACB=42°，则∠BAD的 A,B,C均落在格点上，若点B的坐标为 大小为 (度)， (2,一1)，点C的坐标为(1,2)，则到△ABC 7.(月考·西安交大附中)如图，在△ABC中， 三个顶点距离相等的点的坐标为( ∠C=90°，点P在AC上，点D在AB上， A.(0,1) B.(3,1) PD=PA,BD的垂直平分线交BC于点E, C.(1,-1) D.(0,0) 交BD于点F,连接DE. 3.(期中·北京海淀区)如图，P为△AB℃内一 (1)求∠PDE的度数. 点，过点P的线段MN分别交AB,BC于点 (2)若AC=3,BC=4,求四边形CPDE的周长 M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线 精品 上.若∠ABC=80°，则∠APC的度数为( A.120°B.125°C.130°D.135 第7题图 N 第3题图 第4题图 4.(期中·东北师大附中)如图，在△ABC中， 以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点 D,再分别以B,D为圆心，大于2BD的长为 半径作弧，两弧分别交于点M,N,连接MN 交AB于点E,连接AD,DE,已知△ADE 的周长为13，AC=5,则AB的长为() A.7 B.8 C.9 D.10 真题圈数学八年级上R则2N 题型二 等腰三角形中的分类讨论 类型1遇角分类讨论 5.开放性试题（期中·北大附中）(1)如图，已知 1.新定义试题若△ABC中刚好有∠B=2∠C, 在△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，∠C= 则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称 20°，请你设计两种不同的方法，用一条直线将 作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角 △ABC分割成两个等腰三角形.（作图工具不 形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的 限，不要求写画法，不要求证明，要求标出所 “可爱角”应该是( 分得的每个等腰三角形三个内角的度数) A.45°或36 B.72或36 120 C.45°或72 D.45°或36°或72 409 2.(期末·武汉砾口区)等腰三角形一腰上的 高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度 数为( A.25° B.20 第5题图 .25°或659 D.20或70° (2)根据以上问题，提出一个你觉得有研究 3.如图所示，a∥b,点C在a 价值的数学问题.（描述你的问题即可，不需 直线b上且在点B右侧 要解答) 4509 运动，∠ABC=50°，作直bB 线AC,若△ABC是等腰 第3题图 三角形，则∠a 4.情境题数学课上，张老师举了以下的例题： 例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求 ∠B的度数.（答案：35） 例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求 ∠B的度数.（答案：40°或70°或100） 张老师启发同学们编题，小刚编了如下一题： (1)等腰三角形ABC中，∠A=80°，则∠B 6.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线 的度数为 与AC所在的直线相交得到的锐角为 (2)小刚发现，∠A的度数不同，得到∠B的 50°，求∠B的度数. 度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的 度数时，求x的取值范围. 重难题型练 类型2遇边分类讨论 11.(期末·西安交大附中改编)已知等腰三角 7.(中考·河北)四边形ABCD的边长如图所 形的底边长为8cm,一腰上的中线把三角 示，对角线AC的长度随四边形形状的改变 形分为两部分，其中一部分的周长比另一 而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线 部分长3cm,求这个等腰三角形的腰长. AC的长为( A.2 B.3 C.4 D.5 第7题图 第8题图 8.如图，在4×4的网格中，点A,B在格点上， 以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等 腰三角形可以作出( )个 A.6 B.7 C.8 D.9 9.(期末·北京朝阳区)如图，O是射线CB上一 点，∠AOB=60°，OC=6cm,动点P从点C出 发沿射线CB以2cm/s的速度运动，动点Q 12.已知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高 从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度运 AD=BC,求∠BAC的度数. 动，点P,Q同时出发，设运动时间为ts,当 △POQ是等腰三角形时，t的值为( 金星教育 清品图书 C PO 第9题图 A.2 B.2或6 C.4或6 D.2或4或6 10.如图，已知等腰三角形OPQ的顶点P 的坐标为(4,3)，O为坐标原点，腰长 OP=5,点Q位于y轴正半轴上，则点Q 的坐标为 y 第10题图 15 真题圈数学八年级上RU2N 题型三 构造等腰三角形 1.(月考·哈尔滨工业大学附中)如图，在△ABC 6.(期末·武汉蔡甸区)如图，在△ABC中， 中，∠BAC=105°，AD⊥BC,垂足为D,若AB+ AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上， BD=CD,则∠B的度数为() 且DE=CD,EF=AC,求证：EF∥AB. A.20° B.25 C.45°D.50 第6题图 D 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是 △ABC内两点，AD平分∠BAC,∠EBC= ∠E=60°，若BE=7,DE=3,则BC的长度 是() A.12B.11 C.10 D.9 3.(期末·天津河西区)如图，在四边形ABCD 中，AD=8,BC=2,∠A=30°，∠B=90°， 7.(期末·广州白云区改编)如图，在等腰三角 ∠ADC=120°，则CD的长为 形ABC中，AB=AC,点D在AB边上，点E 是AC延长线上的点，DE交底边BC于点 G,AE=3AD-3BD-3. (1)求CE的长度. 第3题图 第4题图 (2)求证：AG是△ADE的中线. 4.如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD,AD平 A 分∠CAB,且∠DCB=∠B.如果AB=10, D AC=6,那么CD= 5.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC= 90°，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线 垂直于过点C的直线于点E.求证：BD= 第7题图 2CE. 第5题图 重难题型练 8.探究性试题在△ABC中，AB>AC(如图 9.【阅读理解】在一个三角形中出现一个角的 ①)，怎样证明∠C>∠B呢？把AC沿∠A 度数是另一个角的2倍时，我们可以通过以 的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点 下三种方法转化倍角寻找等腰三角形， C落在线段AB上的点C处（如图②）.于 (1)如图①，若∠ABC=2∠C,可作BD平 是，由∠ACD>∠B,可得∠C>∠B. 分∠ABC,则△BCD是等腰三角形，请给 在△ABC中，若∠B=2∠C,点D为线段 出证明， BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨 (2)如图②，若∠ABC=2∠C,延长CB至点 在线段AB,BD,CD,AC中，某两条或某三 D,使BD=BA,连接AD,则 是等 条线段之间存在的数量关系 腰三角形（除△ABD之外）. (1)如图③，当AD⊥BC时，求证：AB+BD (3)如图③，若∠B=2∠ACB,以C为顶点， =DC. CA为一边，在△ABC外作∠ACD= (2)如图④，当AD是∠BAC的平分线时，写出 交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三 AB,BD,AC之间的数量关系，并证明. 角形 【解决问题】(4)如图④，在△ABC中， ∠ACB=2∠B,BC=2AC,求证：∠A=90°. ② D 3 第8题图 金星教 精品图书 第9题图 真题圈数学八年级上RU2N 题型四 手拉手模型 1.(期中·人大附中改编)如图， 3.(期末·天津河北区)如图，已知A(a,b), 在等边三角形ABC和等边三 AB⊥y轴于点B,且满足(a一b)2+(a-3)2 角形CDE中，点B,C,D共 =0. 线，且BC=3CD,连接AD和 B (1)求A点坐标. BE相交于点F,连接CF,下 第1题图 (2)分别以AB,AO为边作等边三角形ABC 列四个结论中： 和等边三角形AOD,如图①，连接CD,试判 ①△ACD≌△BCE;②FC平分∠BFD; 断线段AC和CD的数量关系，并说明理由. ③BF=3DF;④BF=AF+FC (3)如图②，若P为y轴上异于原点O和点 所有正确结论的序号是 B的一个动点，连接PA,过P点作PE⊥ 2.(1)【问题发现】如图①，若△ACB和△DCE PA,且PE=PA,连接AE,射线EO交AB 均是顶角为40°的等腰三角形，AB,DE分别 的延长线于Q,当P点在y轴上移动时，线 是底边，则AD BE(填“=”“>”或 段AQ的值是否发生变化.若不变化，直接 “<”). 写出AQ长度的值：若变化，请说明理由， (2)【拓展探究】如图②，若△ACB和△DCE 均为等边三角形，点A,D,E在同一条直线 上，连接BE,(1)中的结论是否成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由 0 ① ② 第3题图 ③ 第2题图 (3)【解决问题】如图③，若△ACB和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE 90°，点A,D,E在同一条直线上，CM为 △DCE中DE边上的高，连接BE,请求出 ∠AEB的度数并判断线段CM,AE,BE之 间的数量关系 8 重难题型练 题型五 最值问题 1.(期中·人大附中改编)如图，在△ABC中， 为AD上一动点，则|PB-PC的最大值是 AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交 (结果根据需要可以含a,b,c) AB,AC于点M,N,点D是边BC的中点， 点P是MN上任意一点，连接PD,PC,若 ∠A=a,∠CPD=B,当△PCD的周长取到 最小值时，α，3之间的数量关系是() M A.a>3 B.a<3 第5题图 第6题图 C.a=3 D.a=90°-3 6.如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD= 8,AB=10,M为AB的中点，若∠CMD= 120°，则CD的最大值为 7.(期末·郑州中原区改编)如图，在△ABC 中，AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中 线，AD=5,BE=6,P是AD上的一个动 第1题图 第2题图 点，连接PE,PC,求PC十PE的最小值. 2.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB= 30°，OP=8,点M和点N分别是射线OA和 射线OB上的动点，则△PMN周长的最小 值为( A.5 B.6 第7题图 C.7 D.8 3.(期末·厦门一中)如图，等边三角形ABC 的边长为5，点E在BC上，CE=2,射线CD ⊥BC,垂足为C,点P是射线CD上一动点， 清品图书 点F是线段AB上一动点，当EP十FP的值 最小时，BF的长为 第3题图 第4题图 4.(期末·天津河北区)如图，等边三角形ABC 和等边三角形A'B'C的边长都是3，点B, C,B在同一条直线上，点P在线段A'C上， 则AP十BP的最小值为 5.(月考·厦门双十中学)如图，AB=AC=a, BD=b,BC=c,∠BAC=110°，AD是 △BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P 19,'.Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),.OD=OE=x, ∴.BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12, ,B0=4,.2x-12=4,解得x=8,.OD=8. 第十五章轴对称 题型一线段的垂直平分线的应用 1A【解析】如图，连接BE, 'AB=AC,∴.∠ABC=∠C :AB的垂直平分线是DE,.EA=EB, .∠A=∠ABE D ,CE的垂直平分线正好经过点B, E ·BE=BC,∴·.△BCE是等腰三角形， ,·BF是∠EBC的平分线， ·.2(ZABC-∠A+∠C=90, B 第1题容图 即号∠C-2∠A=90, ·号×2(180°-∠A)-7∠A=90,解得∠A=36.故选A 2.D【解析】由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，AB的垂 直平分线与AC的垂直平分线的交点为点O,.到△ABC三个 顶点距离相等的点的坐标为(0,0).故选D. 4 第2题容图 3.C【解析：∠ABC=80°，.∠BMN+∠BNM=100° :M,N分别在PA,PC的垂直平分线上， ∴.MA=MP,NP=NC, :∠MPA=∠MAP=∠BMN. ∠NPC-∠NCP=2∠BNM, ÷∠MPA+∠NPC=×1oo=50 .∠APC=-180°-50°=130°.故选C. 4.B【解析】由作图知AD=AC=5,直线MN垂直平分BD, ∴BE=DE.:△ADE的周长为13， .AD+DE+AE=AE+BE+AD-AB+AD-13. .AB=13一5=8.故选B. 5.6【解析】：直线CD是线段AB的垂直平分线， AP=BP=4. :△PAB的周长=PA十PB+AB=14, .4+4+AB=14,.AB=6.故答案为6. 6.48【解析】如图，延长CD交 AB于点M :DE,DF分别是AC,BC边的 垂直平分线， M .AD=CD,BD=CD, .∠DAC=∠DCA,∠DBC= ∠DCB,AD=BD, 第6题答图 ∴.∠ADM=2∠DCA,∠BDM =2∠DCB,∠BAD=∠ABD, ,'.∠ADM+∠BDM=2∠DCA+2∠DCB=2(∠DCA+ 真题圈数学八年级上U2N ∠DCB)=2∠ACB=84°，即∠ADB=84°， ·∠BAD=∠ABD=180°，84°=48 2 故答案为48， 7.【解】(1)：PD=PA,∴.∠A=∠PDA.:BD的垂直平分线交 BC于点E,∴.∠EDB=∠EBD,∴.∠PDE=18O°-∠PDA ∠EDB=180°-∠A-∠EBD=∠C=90°. (2):BD的垂直平分线交BC于点E,∴.ED=EB. .四边形CPDE的周长为CP+PD+DE+EC=CP+PA十 EB+EC=AC+BC=7. 题型二等腰三角形中的分类讨论 1.C【解析】①设三角形底角为a,顶角为2a,则a十a十2a=180°， 解得a=45° ②设三角形的底角为2a,顶角为a,则2a十2a十a=180°， 解得a=36°，∴.2a=72 ,.三角形的可爱角”应该是45°或72 故选C 2.D【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图①所示. BD⊥AC, .∠A+∠ABD=90°， :∠ABD=50°， .∠A=90°-50°=40° :AB=AC,∠ABC=∠C=号×(180°-40)=70 B 第2题客图 ②若∠BAC>90°，如图②所示.同①可得∠DAB=90°-50°= 40°，∠BAC=180°-40°=140°. AB=AC, ·∠ABC-∠C=7×(180°-1409=20 综上，等腰三角形底角的度数为70或20° 故选D. 3.50或65或80°【解析】：a∥b,∴.∠a=∠ACB. 分三种情况讨论：当∠ABC为顶角时， BA=BC,∠ABC=50°， ·∠ACB=∠BAC=180°-，∠ABC=65, 2 .∠a=∠ACB=65°： 当∠ABC为底角，且AB=AC时，∠ABC=∠ACB=50°， .∠a=∠ACB=50°： 当∠ABC为底角，且CA=CB时，∠ABC=∠CAB=50°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=80°， .∠a=∠ACB=80. 综上所述，若△ABC是等腰三角形，则∠a=50°或65或80°.故 答案为50或65"或80 4.【解】(1)50或20°或80 分析：当∠A为顶角时，∠B=180°，∠A=50, 当∠B是顶角时，∠A是底角，∠B=180°一80°一80°=20°： 答案与解析 当∠C是顶角时，∠B与∠A都是底角，则∠B=∠A=80°， 综上所述，∠B的度数为50°或20或80°. (2)分两种情况： ①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，此时∠B的度数只有一个. ②当0<r<90时，若∠A为预角，则∠B=(802), 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180一2x)°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°， 当180，严≠180-2x且180-2x≠x且180，工≠， 2 2 即x≠60时，∠B有三个不同的度数 综上所述，当0<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数. 5.【解】(1)两种分法如图所示. 40° 20 80° 1006 40 404020 X100809 20 D B D 第5题客图 (2)当△ABC的内角满足什么条件时，可以用一条直线将 △ABC分割成两个等腰三角形？（答案不唯一） 6.【解】如图①，当△ABC为锐角三角形时，∠ADE-50 ∠AED=90°，∠A=90°-50°=40°. AB=AC,∠B=∠C=1802∠A-70 2 第6题答图 如图②，当△ABC为钝角三角形时，∠ADE=50°， .∠DAB=90°-50°=40 :AB=AC,∠B=∠C=号∠DAB=20 当△ABC为直角三角形时，AB边的垂直平分线与AC不相交， 此情况不存在. 综上，∠B的度数为70或20 7.B【解析】，△ABC为等腰三角形， ·AB=AC或AC=BC 当AC=BC=4时，AD十CD=AC=4,此时无法构成三角形，不 符合题意；当AC=AB=3时，能构成三角形，符合题意， .AC=3. 故选B 8B【解析】如图所示，分别以 A,B为圆心，AB长为半径画 弧，则圆弧经过的格点C,C, C3,C,C,C6,C即第三个顶点 的位置：作线段AB的垂直平 分线，垂直平分线未经过格点. 故以AB为一边，第三个顶点 也在格点上的等腰三角形可以 C 作出7个.故选B 第8题答图 9.B【解析】分两种情况：①当点P在线段OC上时，∠AOB= 60°，∴∠AOC=120°.：△POQ是等腰三角形，.OP=OC CP=OQ,即6-21=t,解得t=2. ②当点P在线段CO的延长线上时，经过线段C0用时3s,当 △POQ是等腰三角形时，：∠POQ=60°，∴.△POQ是等边三 角形，∴.OP=OQ,即2(t一3)=t,解得t=6. 综上所述，当△POQ是等腰三角形时，t的值为2或6.故选B 10.(0,6)或(0,5)【解析】①当PO=PQy 时，过点P作PM⊥y轴于点M,如图 Q 所示 (Q) :点P的坐标为(4,3) ∴.点M的坐标为(0,3). 又PO=PQ, ∴.0Q=20M-6, ∴.点Q的坐标为(0,6). 第10题客图 ②当OP=0Q时，OQ=5, 又：点Q在y轴正半轴上， ∴点Q的坐标为(0,5).故答案为(0,6)或(0,5). 1L.【解】如图，△ABC为等腰三角形，AB= AC,AH=CH,BC=8 cm. 设AH=CH=xcm, 则AB=AC=2xcm, 当AB+AH-(BC+CHD=3cm时， 即2x+x-(8+x)=3, 解得x=5.5, ∴.AB=AC=11cm: 当BC+CH-(AB+AHD=3cm时， 第11题答图 即8十x一(2x十x)=3,解得x=2.5, ∴.AB=AC=5cm. ∴.这个等腰三角形的腰长为11cm或5cm. 12.【解】AD是BC边上的高， 若BC是底边，即AB=AC,如图①， ∴.BD=DC,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD AD-7 BC. .AD=BD, ∴.∠B=∠BAD=45, ∴.∠BAC=2∠BAD=90° 若BC是腰，BC=BA, ①当点D在BC边上时，如图②， 在R△BAD中，：BA=2AD, ∴∠B=30°，∴∠BAC=75: ②当点D在CB的延长线上时，如图③， 类似地，得∠DBA=30°，则∠ABC=150°， ∴∠BAC=15. 综上，∠BAC的度数为90°，75或15. ① B ③ 第12题答图 题型三构造等腰三角形 L.D【解析】如图，延长DB至点E,使BE=AB,连接AE B D 第1题答图 AB+BD=CD, ∴BE+BD=CD,∴.DE=CD. AD⊥BC,∴.AE=AC,∴∠C=∠E .BE=AB,.∠E=∠BAE, '.∠ABD=∠E+∠BAE=2∠E=2∠C ,∠ABC+∠C+∠BAC=2∠C+∠C+105°=180°， .∠C=25°，.∠ABC=2∠C=50°. 故选D, 2.C【解析】如图，延长ED交BC于点M,延长AD交C于点N, :AB=AC,AD平分∠BAC,.AN⊥BC :∠EBC=∠E=60°， ∴.△BEM为等边三角形，.BE=EM=BM=7. BE=7,DE=3, '.DM=EM-DE=7-3=4. ,△BEM为等边三角形，∴.∠EMB=60°. ,AN⊥BC,.∠DNM=90°， ∴.∠NDM=30',.NM=2. .BN=BM-NM=5...BC=2BN=10. 故选为C D D N M E 第2题答图 第3题答图 3.4【解析】如图，延长AB,DC交于点E, :∠A=30°，∠D=120°， ∴∠E=30°，∴∠A=∠E,∴.AD=DE=8. 在Rt△BCE中，：∠E=30°，BC=2, .CE=2BC=4, ·.CD=DE-CE=8-4=4.故答案为4 4.2【解析】如图，延长CD交AB于 点E,:CDLAD, ∴.∠ADE=∠ADC=9O. ,AD平分∠CAB, A E ∴.∠EAD=∠CAD, 第4题客图 ,∴.∠AED=∠ACD, .AE=AC=6.DE=CD. ,AB=10,.BE=10-6=4 :∠B=∠DCB,∴CE=BE=4,…CD-2CE-2故答案为2 5.【证明】如图，延长BA,CE相交于点F, BD平分∠ABC,BE⊥CF, .BF=BC,..CE-EF, .CF=2CE. ∠BAC=90°，AB=AC, B ∴.∠FAC=∠BAC=90, 第5题答图 真题圈数学八年级上U2N ∠ABC=∠ACB=45°， .∠FBE=∠CBE=22.5,∴.∠F=∠ADB=67.5. ∠ADB=∠F, 在△ABD和△ACF中，∠DAB=∠FAC, AB=AC, .△ABD2△ACF(AAS), BD=CF..BD=2CE. 6.【证明】如图，过点E作AC的平行线与AD 的延长线交于点G, ,EG∥AC,.∠DEG=∠C |∠GDE-∠ADC,B 在△DEG和△DCA中，ED=CD, D ∠DEG=∠DCA, △DEG2△DCA(ASAU, ∴.EG=AC,∠G=∠CAD. 又EF=AC,∴.EG=EF 第6题答图 :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD EG=EF,.∠G-=∠EFD, .∠EFD=∠BAD, .EF∥AB. 7.(1)I解】，'AE=3AD=3BD=3,.AD=BD=1, .AB=AD+BD=1+1=2. ..AC=AB=2, .CE=AE-AC=3-2=1. (2)【证明】如图，过点E作EF∥ AB交BC的延长线于点F, .∠F-∠ABC,∠FCE=∠ACB :△ABC为等腰三角形， '.∠ABC=∠ACB, ---- .∠FCE=∠F, ∴.CE=FE=1=BD. 在△BDG和△FEG中， ∠DGB=∠EGF, 第7题答图 ∠B=∠F, BD-FE, .△BDG≌△FEG(AAS), .DG=EG,∴.AG是△ADE的中线. 8.(1)【证明】如图①，在DC上截取DE=BD,连接AE. AD BC,..AB=AE, ,.∠ABD=∠AED '∠ABD=2∠C,∴∠AED=2∠C '∠AED=∠C+∠EAC, .∠C=∠EAC, .EC=AE=AB, .CD=EC+DE=AB+BD,AB+BD=DC. E ② 第8题客图 (2)【解】AB+BD=AC 证明如下：如图②，在AC上截取AF=AB,连接DF :AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠FAD. 答案与解析 AB-AF, 在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD, AD-AD, '.△ABD≌△AFD(SAS), ∴.∠AFD=∠B=2∠C,BD=DF :∠AFD=∠C+∠FDC, ∴∠FDC=∠C, ∴.FC=FD=BD, ∴.AC-=AF+FC=AB+BD,即AB+BD=AC 9.(1)【证明】：BD平分∠ABC, ·.∠ABC-2∠DBC '∠ABC=2∠C,∴∠DBC=∠C, ∴.BD=CD,.△BCD是等腰三角形 (2)△ACD 分析：：BD=BA,∴∠BAD=∠D. ,∠ABC=∠BAD+∠D,.∠ABC=2∠D. :∠ABC=2∠C, ∴∠C=∠D,AD=AC, ·△ACD是等腰三角形. (3)∠ACB 分析：：∠ACD=∠ACB, .∠BCD=2∠ACB. :∠B=2∠ACB, ∴∠BCD=∠B,.DB=DC, ∴.△DBC是等腰三角形. (4)【证明】如图，在BC的延 长线上截取CH=AC,在BC 上截取CE=CA,连接AE, AH. BC=2AC, 第9题客图 .BE=CE=AC. AC=CH,.∠H=∠CAH, ∴∠ACB=∠H+∠CAH=2∠H. 又∠ACB=2∠B,,∠H=∠B, .AH=AB,BE-EC-AC-CH ∴.△ABE≌△AHC(SAS),∴.AE=AC, .AE=AC=CE,∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∴∠ABC=30°， ∴.∠BAC=90° 题型四手拉手模型 1.①D②③④【解析】'，△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴.AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE,即∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，{∠ACD=∠BCE, DC-EC, ,'.△ACD≌△BCE(SAS),故①符合题意. 过点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE于点H,如图所示， :△ACD≌△BCE, .S△m=SAE,AD=BE, ·AD,CG=2BE·CH, ∴CG=CH. :CG⊥AD,CH⊥BE .点C在∠BFD的平分线上，B ∴.FC平分∠BFD,放②符合 第1题客图 题意 BC=3CDS△m=BC SARC 防3，即星 =3, 票=3，即BF=3DF,放③符合题意 在BF上截取BI=AF,连接CI, △ACD≌△BCE,∴.∠CBI=∠CAF, (BC=AC, 在△BCI和△ACF中，∠CBI=∠CAF, BIAF. ,'.△BCI≌△ACF(SAS),∴.∠BIC=∠AFC .∠AFB=∠ACB=60,∴.∠BFD=120°， .∠IFC=∠DFC=60°，∴.∠BIC=∠AFC=120°， .∠C1F=180°-∠B1C=60°，.∠FC1=60°， .△CFI是等边三角形，.FI=FC ∴.BF=BI+FI=AF+FC,故④符合题意， 故答案为①②③④. 2.【解】(1)= 分析：：∠BCA=∠DCE=40°， ∴，∠BCA-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS), .AD-BE. (2)(1)中的结论成立.理由如下： ,△ABC和△CDE均是等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB-∠DCE-60°， ,'.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE. ,'.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE (3)同(1)(2)的方法，得△ACD≌△BCE, '.AD=BE,∠ADC=∠BEC :△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°， .∠CDE=∠CED=45°， ·.∠ADC-180°-∠CDE=135, .∠BEC=∠ADC=135°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， ,CD=CE,CM⊥DE, .DM=ME. :∠DCE-90°，∴.DM=ME=CM .∴.AE=AD+DE=BE+2CM 3.【解】(1)：(a-b)3+(a-3)2=0,(a-b)2≥0，(a-3)≥0， .a-b=0,a-3=0,.a=b=3,.A(3,3). (2)结论：AC=CD. 理由：：△ABC,△AOD都是等边三角形， ,∴.∠BAC=∠OAD=60°，AB=AC,AO=AD, .∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC, 即∠BAO=∠CAD (AB-AC, 在△BAO和△CAD中， ∠BAO=∠CAD, AO-AD. .△BAO2△CAD(SAS),BO=CD. AB=OB=3,∴AC=CD. (3)线段AQ的值不发生 变化，AQ=6. 分析：如图，过点E作ET ⊥y轴于点T,在TE上截 取TK=PT,连接PK AB=BO.TP=TK, ∠ABO=∠PTK=90°， ∴.∠AOB=∠PKT=45, ∴.∠AOT=∠PKE=135 :∠APE=90°，∠TPK =45°， ∴.∠OPA+∠EPK=45 '∠OPA+∠OAP=45, 第3题答图 ∴.∠OAP=∠EPK. I∠AOP=∠PKE, 在△AOP和△PKE中， ∠OAP=∠EPK, PA=PE, ·.△AOP≌△PKE(AAS), .OP=KE. :TP=TK,∴.OT=ET, '.∠TOE=∠Q0B=45°， ∴∠Q=∠OAB=45, ..OQ=0A, :OB⊥AQ,∴AB-BQ-3, .AQ6,即AQ的值不会发生变化，为定值6. 题型五最值问题 L.C【解析】如图，连接AP.MN垂直平分 AC,.PA=PC,∠PAC=∠PCA,∴.PC+ PD=PA十PD,当A,P,D在同一直线上 时，PA十PD最小，最小值为AD, :.△PCD周长的最小值为PC+PD十CD =AD+CD. :AB=AC,点D是边BC的中点， 第1题客图 ∠BAC=2∠CAD. ∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD, ∴∠BAC=∠CPD,即a=A 故选C. 2.D【解析】如图，作点P关于直 线OA,OB的对称点E,F,连接 PE,PF,OE,OF,EF,EM,FN, :OA垂直平分PE,OB垂直平 分PF,∴.OE=OF=OP=8,PMO M =EM,PN=FN, .∠POA=∠EOA,∠POB= E ∠FOB,PM+MN+PN=EM+ 第2题答图 MN+FN, ∴.∠POE-2∠POA,∠POF-2∠POB. :∠AOB=30°，∴.∠EOF=∠POE+∠POF=2(∠POA+ ∠POB)=2∠AOB=60°， .△EOF是等边三角形，∴·EF=OE=8, EM+MN+FNEF, .PM+MN+PN≥8， ∴△PMN周长的最小值为8.故选D. 3.3.5【解析】如图，作点E关于CD的对称点E,连接PE, ∴PE=PE,EC=EC=2, 真题圈数学八年级上U2N EP+FP=PE+PF, ∴当E,P,F三点共线，且EF D ⊥AB时，PE+PF的值最小，即 EP+FP的值最小 :△ABC是等边三角形， .∠B=60°， EF⊥AB,.∠FEB=30°， ·BF=2BE, :等边三角形ABC的边长为5， 第3题答图 AB=BC=AC=5,..BE'=BC+CE'=7, BF=号BE=85. 故答案为3.5. 46【解析】如图，连接PB, :△ABC和△A'B'C都是边长 为3的等边三角形， :.AC=B'C, ∠ACB=∠A'CB'=60°， .∠ACA'=60°， 第4题答图 .∠ACA'=∠A'CB' AC=BC, 在△ACP和△B'CP中，∠ACP-=∠BCP, CP-CP, .△ACP≌△BCP(SAS,∴.AP=BP,∴.AP+BP=BP+BP, ,当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，最小值为BB 的长，.AP+BP的最小值为2X3=6.故答案为6. 5.a【解析】如图，作点B关于射线AD的对称点B',连接AB, CB,BP,则AB=AB,PB=PB,∠BAD=∠BAD=25°， ∠BAC=∠BAC-∠BAB= 110°-(25+25)=60°. AB-AC=a, .'AB'=AC=a, .△ABC是等边三角形， :B'C=a. 在△PBC中，|PB-PC≤BC, 第5题答图 当P,B,C在同一直线上时，PB一PC取最大值为B'C的长， 即a. .|PB一PC的最大值是a.故答案为a, 6.15【解析】如图，作 点A关于CM的对称 点A',点B关于DM 的对称点B,连接 CA',MA',MB'.A'B', BD,.'.MA-MA',MB C =MB,BD=BD=8, A'C=AC=2,∠CMA 第6题客图 =∠CMA',∠DMB=∠DMB :M为AB的中点，∴.MA=MB,.MM'-MB ∠CMD=120°，∴.∠AMC+∠DMB=60°， .∠CMM'+∠DMB=60°， .∠AMB'=120°-60°=60 .△AMB为等边三角形， .A'B'-MA'-MA-2AB-5, ,A'C+A'B+BD=AC+AM+BD=2+5+8=15. CD<CA'+A'B'+B'D. ,.CD的最大值为15.故答案为15. 答案与解析 7.【解】如图，连接PB,,AB=AC,BD=CD, ∴.AD⊥BC ∴PB=PC, .PC+PE=PB十PE PE+PBBE. ∴P,B,E共线时，PB+PE的值最 p 小，最小值为BE的长度， B D ∴.PC+PE的最小值是6， 第7题答图 第十六章 整式的乘法 题型一化简求值 1.【解】原式-12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a-4a2-2a+1, 当a=一1时， 原式=4×(-1)2-2×（一1）+1=4×1+2+1=4+2+1=7. 2.【解】原式=6x2-4x十3x-2-(2x2-3x-2x+3)-4x2 =6x2-4x+3x-2-2x2+3x+2x-3-4x2=4x-5, 当x=1时，原式=4×1-5=4-5=-1. 3.【解】原式=(4x2+12xy+9)-(42-y)=4x2+12xy+9y -4+y=12xy叶10时，当x=号y=-合时，原式=12×号 ×(-2)+10x(2)》=安 4.C【解析】，m十n=2,mn=一2， ,.(1十m)(1十n)=1++m+mm=1+2一2=1. 故选C 5.【解】，a2十a=2,.(a十2)(a-2)十a(a十2)=a2一4十a2十2a =2a2+2a-4=2(a2+a)-4=2×2-4=0. 6.【解】原式=4a2-1+a-10a十25=5a2-10a十24 =5(a2-2a)+24. :a2-2a-1=0,.d2-2a=1.∴.原式=5×1+24=29. 7.【解】，3mm=5m2-2,∴。6mn=102-4, 原式=m2-2+9m-6mm+=10m2-6mm =10m2-(10m2-4)=10m2-10m2+4=4. 题型二无关项、错解问题 1.12【解析】(mz+8)(2-3z)=2mx-3mx2+16-24x= -3mx2+(2m-24)x+16, (mx十8)(2-3x)展开后不含x的一次项， .2m一24=0，.m=12.故答案为12. 2【解(1)当m=2时，输出结果为(2+2)÷2-2-1=3-2-1=0. (2)正确.理由如下：(2十m)÷m一m一1=m十1一m一1=0. 3.【解】设AB=x,由题图可知S,=a(x一3b),S=2b(x一2a) ∴.S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab. ,当AB的长变化时，S一S的值始终保持不变， S一S的值与x的取值无关， ∴.a-2b=0,∴.a=2b. 4.2x3十2x2十2x【解析】由题意，得B÷A=x2+x, ∴.B=2x(x2+x)=2x2+2x2, ∴B+A=2x+22+2x 故答案为2x2+2x2+2x. 5.【解】错误的步骤是第①步，改正：原式=2-(a2-2ab+ab- 26)=2b6-a2+2ab-ab+26=4b+ab-a2. 6.【解】(1)由题意得 (2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10, (2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10, 所以2b-3a=11,① a+2b=-9.② 由②得2b=-9-a,代入①得-9-a-3a=11, 所以a=一5.所以2b=一4.所以b=一2. (2)当a=一5，b=一2时， (2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10. 题型三乘法公式的运用 1.A 2.1【解析】m2+2m-2=0,∴.m2+2m=2, ∴.(m十1)(m-1)+2m=m2-1+2m=2-1=1.故答案为1. 3.【解】(1)31×29=(30+1)×(30-1)=302-12=900-1=899. (2)195×205=(200-5)×(200+5)=2002-52=40000-25 =39975. 4.【解】原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) =(2-1)(22+1)(2*+1)(2+1)(26+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(24+1) =(2-1)(2“+1)(216+1) =(26-1)(2+1)=2-1. 5.【解】(1)a2-(2)a+ba-b(a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-b)=a2- (4)(a+2b-c)(a-2b-c)=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]=(a c)2-(2b)=d2-2ac十2-4b. 6D【解析】阴影部分的面积为(a+b2-之2×2-之8X2 2ah.故选D 7.A【解析】，(x+2y)2=10,.2+4xy+4y=10.① (x-2y)2=18,∴.x2-4xy+4y2=18.② ②-①，得-8xy=8,.xy=一1.故选A 8.998001【解析999=(1000-1)2=1000-一2000+1=998001. 故答案为998001. 9.【解】(1D(a+b+c)2=a2+6+c2+2ab+2ac+2bc155 分析：由题图②知，大正方形的面积=(a+b+c)', 大正方形的面积=3个边长分别为a,b,c的正方形的面积十2 个长和宽分别为b,a的小长方形的面积十2个长和宽分别为c, a的小长方形的面积十2个长和宽分别为c,b的小长方形的面 积=d2++2+2ab+2ac+2bc, ,.(a+b+c)2=d+b+c2+2ab+2ac+2b. .a2+8+e2=(a+b+c)2-(2ab+2ac+2hc) =(a+b+c)*-2(ab+ac+bc). 把a十b+c=15,ab+ac+bc=35代入，得 d2+8+2=153-2×35=225-70-155. (2)9 分析：(2a+b)(a十2b)=2a2+4ab+ab+2B=2a2+5ab+2B, 2d+5ab+28可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a,b的长方形纸片拼成的大长方形的 面积，如图， 6 第9题答图 .x■2，y=2,x=5, .x十y十z=9.故答案为9. 10.【解】(1)19 分析：令8-x=a,x一3=b, (8-x)(x-3)=3,