第14章 全等三角形-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学重难题型练（人教版2024）

真题圈数学八年级上R2N 第十四章 题型一 类型1平移 1.(期中·武汉洪山区改编) 如图，点B,E,C,F在一条 直线上，AB=DE,AC= DF,BE=CF,若∠A=55°，BEC 则∠D=() 第1题图 A.40°B.45° C.50°D.55 2.(期中·天津红桥区)如图，B是AD的中 点，BC∥DE,BC=DE.求证：∠C=∠E. 第2题图 3.(期中·人大附中)如图，B,C,E,F在同 条直线上，AB∥DE,∠A=∠D,BE=CF 求证：AC=DF. 第3题图 全等三角形 全等模型 类型2翻折 4.(期末·石家庄桥西区)如图，△ABC≌ △DCB,若AC=8,BE=5,则DE的长 为( A.2 B.3 C.4 D.5 D 第4题图 第5题图 5.(期中·天津河东区)如图，CD⊥AB,BE⊥ AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O. 若∠1=∠2，则图中全等三角形共有() A.2对B.3对C.4对 D.5对 6.(期中·北师大实验中学) 学了全等三角形的判定后， A 小明编了这样一个题目： “已知：如图，AD=AC,BC 第6题图 =BD,∠CAB=∠DAB, 求证：△ABD≌△ABC.”老师说他的已知 条件给多了，那么可以去掉的一个已知条 件是 7.(期末·济南历下区)如图，AB=AD,∠C ∠E,∠BAE=∠DAC.求证：AC=AE 第7题图 8.情境题如图，某海岸沿线有A,B两个码头， 在该海域内有两座小岛C,D,航线AC与 BD相交于点O,经测量，AC=BD,OA= OB.求证：∠D=∠C. A B 第8题图 类型3旋转 金星教 9.(期末·广州白云区)如图，AB⊥BD,DE⊥ BD,垂足分别为B,D,如果∠A=25°，BC= CD,那么下列结论中，错误的是() A.∠E=25 B.∠ABC=90° C.∠ACB=25 D.∠CDE=909 G 第9题图 第10题图 10.(月考·重庆育才中学)如图，△ABC≌ △ADE,BC的延长线交DA于点F,交 DE于点G,∠DGB=66°，∠E=105°， ∠DAC=16°，则∠B的度数为() A.24°B.25°C.30°D.35 重难题型练 11.(期末·北京东城区)如图，AB=AD,AC =AE,∠BAD=∠CAE.求证：BC=DE. D 第11题图 12.(期末·北京朝阳区)如图，AB=CD,BE⊥ AC于点E,DF⊥AC于点F,AF=CE. 求证：(1)△ABE≌△CDF. (2)AB∥CD. 清品圈 第12题图 真题圈数学八年级上R2N 13.如图，在△ABC和△CDE中，AC=BC, CD=CE,∠ACB=∠DCE,连接AD,BE 交于点M. (1)如图①，当点B,C,D在同一条直线上，且 ∠ACB=∠DCE=45时，可以得到图中的一 对全等三角形，即 ≌ (2)当点D不在直线BC上时，如图②，且 ∠ACB=∠DCE=a. ①试说明AD=BE. ②直接写出∠EMD的大小（用含a的代数 式表示). ① ② 第13题图 类型4一线三等角 14.(期中·北京四中)如图，在△ABC中，∠B =∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°， 则∠A的度数是() A.45°B.70° C.65° D.50 B 0 第14题图 第15题图 15.(月考·长沙雅礼教育集团)如图，已知 ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE1 CE,垂足分别是D,E,AD=5,BE=2,则 DE的长为 6.探究性试题在直线m上依次取互不重合的 三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=a. 【积累经验】 (1)如图①，当a=90°时，猜想线段DE, BD,CE之间的数量关系是 请说明理由 【类比迁移】 (2)如图②，当0<a<180°时，问题(1)中的 结论是否仍然成立？若成立，请说明理由； 若不成立，也请说明理由。 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB =AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC= ∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若 BC=3FB,△ABC的面积是12，直接写出 △FBD与△EAC的面积之和. D ① ② ③ 第16题图 17.(期中·长春朝阳区改编)【探究】如图①， 在△ABD中，∠ADB=90°，点A,D在直 线m上，将边AB绕着点A顺时针旋转90 得到AC,过点C作CE⊥直线m于点E.求 证：△ABD≌△CAE. 【应用】(1)在【探究】的条件下，若AD= 2AE=4,则BD与CE的和为 (2)将一个从正面看是五边形ABCDE的 零件按图②放置在水平桌面m上，∠ABC =∠CDE=90°，分别过点A,C,E作AF⊥ m于点F,CG⊥m于点G,EH⊥m于点 H,经测量得AF=12cm,CG=6cm,EH =8cm,AB=BC,CD=DE,求五边形AB CDE的面积 第17题图 爱星教育 类型5半角模型 18.如图，在△ABC中，AB AC=6,∠ABC=∠BAC =∠BCA=60°，BD= CD,∠DBC=∠DCB, ∠BDC=120°，以点D为 顶点作一个60°角，使其两 第18题图 边分别交AB于点M,交 AC于点N,连接MN,则△AMN的周长 是 重难题型练 9.探究性试题何老师在某节课中详细地讲解 了“将三角形绕图形的直角顶点旋转”的证 明思路和方法，即旋转之前和旋转之后的 三角形全等.有这么一道题：已知在四边形 ABCD中，AD=AB. (1)如图①，若∠B=∠D=∠BAD=90, ∠EAF=45°，∠EAF的两边分别交射线CB, DC于点E,F,连接EF求证：BE+DF=EF. (2)如图②，∠B=∠D=90°，∠EAF=40°，且 BE十DF=EF,直接写出∠BAD= (3)如图③，∠BAD=2∠EAF,若∠B不是 直角，∠B与∠D满足 BE+DF=EF仍成立.请证明 B E 品图书 ③ 第19题图 9 真题圈数学八年级上RJ2N 题型二 添加辅助 类型1倍长中线 1.如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D,AB=8, CD=5,延长BC交AD 于点E,若CE⊥AD,AE =ED,则四边形ABCD B 的面积等于( 第1题图 A.10B.20 C.30 D.40 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， 交BC于点D. (1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE.求证：△ACD≌△EBD. (2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与 BC有何数量关系，并说明理由， D ① ② 第2题图 类型2截长补短 3.(期中·北京理工大附 中)如图，在△ABC中， AB>AC,AP平分 ∠BAC,连接PB和 B PC,则下列结论正确的 第3题图 是() A.AB-AC>PB-PC B.AB-AC=PB-PC ⊙ 线构造全等三角形 C.AB-AC<PB-PC D.AB一AC与PB一PC的大小关系不确定 4.阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题 中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边 上截取一条线段与某一短边相等，补短是通 过在一条短边上延长一条线段与另一长边 相等，从而解决问题.依据上述材料，解答下 列问题：如图①，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C,求证： AB+BD=AC. (1)为了证明结论“AB十BD=AC”,小亮在 AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,解 答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过 程.（提示：如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等) (2)如图②，在四边形ABCD中，已知 ∠BAD=60°，∠D=110°，∠ACD=40°， ∠ACB=80°，CE是△ABC的高，AD=10, EB=2,求AB的长. ①D ② 第4题图 题型三 1.题目：“如图，AE与BD相交于点C,且 △ACB≌△ECD,AB=6cm,点P从点A出 发，沿A→B→A方向以4cm/s的速度运动， 点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的 速度运动，P,Q两点同时出发，当点P到达 点A时，P,Q两点同时停止运动，设点P的 运动时间为t(s).连接PQ,当线段PQ经过 点C时，求t的值.”对于其答案，甲答：1.2s, 乙答：2s,则正确的是( A.只有甲答的对 B.只有乙答的对 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.甲、乙答案合在一起也不完整 Q 第1题图 第2题图 2.情境题（期中·天津南开区）现有一块如图所 示的四边形草地ABCD,经测量，∠B=∠C AB=12m,BC=8m,CD=14m,点E是AB 边的中点.甲机器人从点B出发以2m/s的速 度沿BC向点C运动，同时乙机器人从点C出 发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自 到达的位置分别记为点P和点Q.如果能够在 某一时刻使△BEP与△CPQ全等，那么乙机 器人的运动速度为( A号m/s或号m/sB2m/s或号m/s C3m/s或号m/s D.2m/s或3m/s 3.如图，∠C=∠CAM M =90°，AC=8cm, BC=4cm,点P在线 段AC上以2cm/s 的速度从点A出发 向点C运动，到点C 停止运动，点Q在射 第3题图 重难题型练 动点问题 线AM上运动，且PQ=AB,当点P的运 动时间为 s时，△ABC能和 △PQA全等. 4.如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC,DF⊥1 AB于点F,DM⊥AC于点M,AB=16cm, AF=10cm,AC=14cm,动点E以2cm/s的 速度从A点向F点运动，同时动点G以 1cm/s的速度从C点向A点运动，当一 个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设运动时间为ts, (1)求S△ABD:S△AD的值. (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有 SAAED=2SADC. (3)当t取何值时，△DFE与△DMG全等？ E 第4题图 清品图书 11 真题圈数学八年级上J2N 题型四 角的平分线的应用 1.(期中·沈阳浑南区)如图，在小正方形网格 (1)求证：∠ADE=∠AED, 中，∠AOB的位置如图所示，则下列各点中 (2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积 到∠AOB两边距离相等的点是() D A.点Q B.点N C.点R D.点M 第5题图 第1题图 第2题图 2.(期中·西工大附中)如图，O是△ABC的角 平分线的交点，△ABC的面积和周长都为 24,则点O到BC的距离为( A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，A,B两点分别在射线OM,ON上，点 3.(期末·武汉江汉区)如图，OP平分∠AOB, C在∠MON的内部且CA=CB,CD⊥OM, PF⊥OA于点F,点D在OB上，DH⊥OP CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE. 于点H,若OD=4,OP=8,PF=3.5,则 (1)求证：OC平分∠MON. DH的长为() (2)如果AO=12,BO=4,求OD的长. M A.4.5 B.5 C.7 第6题图 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，CA平分∠BCD, ∠ABD+∠ABC=180°，若∠ADC=m, ∠BCD=n,则∠ABD的度数为( A.m-n B罗+号 C145°-受+n Dm+经-90 5.(月考·合肥四十五中)已知：如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB,BD平 分∠ABC交AD于D点：答案与解析 ∴∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠AED,∠A=∠A. ∴.∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°， ∴.∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED)=360° ∠1十∠2=70°， ∴∠ADE+∠AED=145, .∠A=180°-（∠ADE+∠AED)=35°.故答案为35. 6.100°【解析】在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， 在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C-180, ∴.∠A+∠B=∠CDE+∠CED. ∠A+∠B=130°，.∠CDE+∠CED=130°， ∴.∠BED+∠ADE=360°-130°-230° 由折叠的性质，得∠BED=∠BED,∠ADE=∠A'DE, ∴.∠BED+∠A'DE=230°， 即∠1+∠CDE+∠2+∠CED-230°， ∴∠1十∠2=230°-130°=100°.故答案为100 7.40°【解析】由翻折可得∠ADE=∠EDA',∠A=∠DA'E, ∠AED=∠A'ED. 设∠A=∠DA'E=a,∠ADE=∠EDA'=A, ·.∠B=∠ADA'-∠DA'B=2B-∠DA'B,∠DFC=∠A+ ∠ADF=2g+a, ∴.∠B+∠DFC=4B+a-∠DA'B. ∠B+∠DFC=160°，∴.48+a-∠DA'B=160°. :∠BDA'=∠CEA'+2∠DA'B, ∴180°-∠ADA'=∠CEA'+2∠DA'B, ∴.180°-28-∠CEA'+2∠DA'B, .∠CEA'+2∠DA'B+29-180 :∠AED=18O°-B-a=∠DEA'=∠DEC+∠CEA',∠DEC =∠A+∠ADE=a+A, ∴180°-B-a=a++∠CEA',∴2a+29+∠CEA'=180°， ∴.∠CEA'+2∠DA'B+2B-2a+2B+∠CEA', ∠DA'B=a. '49+a-∠DA'B=160°，.48+a-a=160°，B=40°， ∴.∠EDF=40 故答案为40° 8.【解】由折叠得∠B=∠HOG,∠A=∠DOE,∠C=∠EOF, ∴.∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°， .∠2=360°-∠1-（∠H0G+∠E0F+∠D0E)=360°-131° -180°=49° 题型四双角平分线问题 1.A【解析】：BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， :.∠CBO=∠AB0-∠ABC,∠BCO=∠AC0=号∠ACB. ∠A=50°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， ·∠CB0+∠B0-(☑ABC+∠ACB)=2X180=65, ∠B0C=180°-65°=115故选A 2.80°【解析】如图，连接BC :∠BDC=140°， .∠DBC+∠DCB=180° 140°=40°. :∠BGC=110°， D B ∴.∠GBC+∠GCB=180°- 110°=70°， 第2题答图 ∴.∠GBD+∠GCD=70°-40°=30： :BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， ·.∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30. 在△ABC中，∠A=180°-70°-30°=80°故答案为80° 3.68°【解析】：∠B=44°， .∠BAC+∠BCA=180°-∠B=136. :△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, ·.∠DAC+∠ACF=180°-∠BAC+180°-∠BCA =360°-（∠BAC+∠BCA)=224°， ∠EAC-∠DAC,∠ECA=∠ACF, ·∠EAC+∠ECA=2∠DAC+2∠ACF=112, ,∴.∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA)=180°-112=68 故答案为68 4.(1)I证明J,∠ABC+∠C+∠BAC-18O°，∠CAD+∠EAD +∠BAC=180°，.∠ABC+∠C=∠CAD+∠EAD. ,AD平分∠EAC,.∠CAD=∠EAD. 又：∠ABC=∠C,∴.∠C=∠CAD,.AD∥BC (2)【解】：∠BAC-36°， ·.∠ABC=∠C=2(180°-∠BAO=72. BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD=2∠ABC-36 :AD∥BC,∠ADB=∠CBD=36. 5.【解】1)70125 分析：：∠DBC-∠A十∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, .∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220. :BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线， ·∠CBP+∠BCP=(∠DBC+∠BCE)=I10, .∠BPC=180°-110°=70°. :BQ,CQ分别是∠PBC,∠PCB的平分线， ·∠QBC=2∠PBC,∠QCB=2∠PCB, ·∠QBC+∠QCB=(ZPBC+∠PCB)=5, .∠BQC-180°-55°=125. (2)60 分析：当∠MBC+∠NCB=180°，则BM∥CN, :BM,CN分别是∠PBD,∠PCE的平分线，∠BAC=a, .(∠DBC+∠BCE)=180,即(180+a）=180, 解得a=60 (3)a=120°， &∠MBC+∠NCB-=是ZDBC+∠BCE =180+a） =225°， .∠B0C=225°-180°=45. (4)∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°. 第十四章 全等三角形 题型一 全等模型 1.D【解析】BE=CF, .BC=EF. BC-EF, 在△ABC和△DEF中，AB=DE, LAC=DF, ,.△ABC≌△DEF(SSS), .∠A=∠D=55 故选D. 2.【证明】，B是AD的中点，，AB=BD. BC∥DE,.∠ABC=∠D. AB-BD, 在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠D, BC=DE, ∴.△ABC2△BDE(SAS), ∴∠C=∠E 3.【证明：AB∥DE,∠B=∠DEF 又BE=CF,∴.BC=EF I∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF, BC=EF, .△ABC≌△DEF(AAS),.AC=DF 4.B【解析】，△ABC≌△DCB,·AC=DB=8. DB=BE+DE,BE=5,∴.DE=3.故选B 5.C【解析】：CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠ADO-∠AEO=90. :∠1=∠2，A0=A0, .△ADO≌△AEOCAAS) ∴.OD=OE,AD=AE :∠DOB=∠EOC,∠ODB=∠OEC=90°， ∴.△BOD2△COE(ASA), .BD=CE,OB=OC,∠B=∠C :∠DAC=∠EAB,AD=AE,∠ADC=∠AEB=90°， '.△ADC≌△AEB(ASA). ..AC=AB. OC-OB.AO-AO. ·△ACO2△ABO(SSS). ∴共有4对全等三角形. 故选C 6.∠CAB=∠DAB或BC=BD【解析】根据题意，若AD=AC, BD=BC. 又AB=AB, ,'.△ABD≌△ABC(SSS) 或者AD=AC,∠DAB=∠CAB,AB=AB, ∴△ABD≌△ABC(SAS). 故答案为∠CAB=∠DAB或BC=BD. 7.【证明】，∠BAE=∠DAC, ·.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC-∠DAE I∠C=∠E, 在△BAC和△DAE中，∠BAC=∠DAE, AB-AD, '.△BAC≌△DAE(AAS), ∴.AC=AE 8.【证明】：AC-=BD,AO=OB, OD=OC. OA=OB, 在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC, OD=O℃， ∴△AOD≌△BOC(SAS),.∠D=∠C 9.C【解析】：AB⊥BD,DE⊥BD, .∠B=∠D=90°. 在△ACB和△ECD中，∠B=∠D,∠ACB=∠ECD,BC=DC, '.△ACB≌△ECD(ASA), ∠A=∠E=25,∠ACB=∠DCE=180°-90°-25°=65 故选C, 10.B【解析】：△ABC2△ADE,∠E=105°， 真题圈数学八年级上U2N ∴∠ACB=∠E=105°，∠B=∠D, .∠ACF=180°-105°=75 在△ACF和△DGF中，∠AFC=∠DFG, .∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF,即∠D+66=16°+75°， ∠D=25°，.∠B=25. 故选B 11.【证明：∠BAD=∠CAE, '.∠BAC=∠DAE (AB-AD. 在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE, LAC-AE. ·.△ABC≌△ADE(SAS).∴.BC=DE. 12.【证明】(1)：AF=CE,∴.AE=CF ,AB=CD,且BE⊥AC,DF⊥AC ∴.Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). (2):△ABE≌△CDF,∴∠A=∠C,∴.AB∥CD. 13.【解】(1)△BCE△ACD 分析：：∠ACB=∠DCE=45,∴.∠ACD=∠BCE BC=AC, 在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD, CE-CD. ∴.△BCE△ACD(SAS) (2)①，∠ACB=∠DCE=a,∴.∠ACD=∠BCE (CA=CB, 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD-CE. ∴.△ACD△BCE(SAS), ∴.AD=BE ②∠EMD=a, 分析：：△ACD2△BCE, .∠CAD=∠CBE. :∠BAC+∠ABC=180°-a, ∴.∠BAC+∠CBE+∠ABM=180°-a, ∴.∠BAC+∠CAD+∠ABM=180°-a, ∴.∠BAM+∠ABM=180°-a, ∴∠AMB=180°-(180°-a)=a, ∴.∠EMD=∠AMB=a. (BF=CD. 14.D【解析】在△BDF和△CED中，∠B=∠C, BD=CE, ∴.△BDFP≌△CED(SAS), ∴.∠BFD-∠CDE,∠B-∠C :∠FDC=∠FDE+∠CDE=∠B+∠BFD, ,∴.∠B=∠C=∠FDE=65°， ∴.∠A=180°-∠B-∠C=50° 故选D. 15.3【解析】：ADLCE,BE⊥CE,∴.∠ADC-∠CEB=90° :∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD-∠CBE. :AC-BC,∴.△ACD2△CBE(AAS), ∴.AD=CE=5,CD=BE=2,∴.DE=CE-CD=3. 故答案为3. 16.【解】(1)DE=BD+CE 理由：，∠BDA=∠CEA=∠BAC=a=90°， .∠BAD=∠ACE=90°-∠CAE. 答案与解析 '∠BDA=∠AEC, 在△DBA和△EAC中， ∠BAD=∠ACE, LAB-CA, ∴.△DBA≌△EAC(AAS), .BD=AE,AD=CE, .'AD+AE=BD+CE. .AD+AE=DE,..DE=BD+CE. (2)仍然成立，理由如下： :∠BDA=∠CEA=∠BAC=a, ∴.∠BAD+∠EAC=∠ACE+∠EAC=180°-a, .∠BAD=∠ACE ∠BDA=∠AEC, 在△DBA和△EAC中，∠BAD=∠ACE, AB-CA. ∴.△DBA≌△EAC(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE, ,问题(1)中的结论仍然成立 (3)△FBD和△EAC的面积 之和为4分析：如图，作AG G ⊥BC于点G. 由(2)得△DBA≌△EAC, ·SAa=SAFAC, 第16题答图 :BC=3FB,且SA=12, 2BC·AG-2×3FB·AG-12, ·FB:AG=4, Sam十Sax=Sam十SAm=Sae=号FB:AG-4, ∴，△FBD与△EAC的而积之和为4， 17.【探究Ⅱ证明】，BDL直线m,CEL直线m, .∠BDA=∠AEC=90°. 根据题意可知，AB=CA,∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90 '∠BAD+∠ABD=90, '.∠ABD=∠CAE I∠BDA=∠AEC 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE LAB=CA. ∴.△ABD≌△CAE(AAS). 【应用【解】(1)6 分析：：AD=2AE=4,∴.AD=4,AE=2. 由【探究】知，△ABD≌△CAE, ∴.AE=BD=2,AD=CE=4, .BD+CE=2+4=6. (2)AF⊥m,CG⊥m,..∠AFB=∠BGC=90° '∠ABC=90°，∴.∠ABF+∠CBG=90. :∠ABF+∠BAF=90,.∠BAF=∠CBG. (∠AFB=∠BGC, 在△ABF和△BCG中，∠BAF-∠CBG, LAB-BC, ∴.△ABF≌△BOG(AAS), .'BG=AF=12 cm,BF=CG=6 cm. 同理可得△CDG≌△DEH(AAS), .DG=EH=8 cm,DH=CG=6 cm, :'FH=BF+BG+DG+DH=32 cm, 六SC=Sr一Saw一Sam一Saw一Sami=2X (8+12)×32-×12x6-壹×12X6-是×8×6-是×8× 6=200(cm). 18.12【解析】：∠BDC=120, ∠BCD=∠DBC, .∠DBC=∠DCB=30 '∠ABC=∠BAC=∠BCA 60°，∴.∠DBA=∠DCA=90. 延长AB至点F,使BF=CN,连 B 接DF,如图. 在△BDF和△CDN中， D (BF=CN, 第18题答图 ∠FBD=∠DCN, DB=DC, ,'.△BDF≌△CDN(SAS), ∴.∠BDF=∠CDN,DF=DN. :∠MDN=60°， .∠BDM+∠CDN=60, ∴.∠BDM+∠BDF=6O MD-MD. 在△DMN和△DMF中，{∠MDN=∠MDF, DN-DF. ∴.△DMN≌△DMF(SAS, .'MN=MF, ∴.△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN =AB+AC=6+6=12. 故答案为12. 19.(1)【证明】如图①，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至 △ADE.:∠B=∠ADC=90°， ,点F,D,E在一条直线上. E ∠BAD=90°，∠EAF=45, .∠BAE+∠DAF=45°， D ∴.∠EAF=45 在△EAF和△EAF中， (AE-AE', ∠EAF=∠EAF, AF-AF, B E .△EAF≌△EAF(SAS), 第19题答图① .EF=EF. E'F=DE+DF-BE+DF. ∴.BE+DF=EF (2)[解】80° 分析：如图②，把△ABE绕点A逆时 A 针旋转∠BAD的度数至△ADE,使 AB与AD重合. :∠B=∠ADC=90°， ∴.点F,D,E在一条直线上 BE+DF=EF, .E'F=DE'+DF=EF. B E 在△EAF和△EAF中， 第19题答图② (AE=AE', EF=EF,∴.△EAF≌△EAF(SSS), AF=AF, ∴.∠EAF=∠EAF, ·∠BAD=2∠EAF :∠EAF=40°， .∠BAD=2X40°=80 (3)[解】∠B+∠D=180 证明：如图③，把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至 △ADE,使AB与AD重合 :∠B+∠ADC=180°， 点F,D,E在一条直线上 :∠BAD=2∠EAF, .∠EAF=∠EAF. 在△EAF和△EAF中， (AE-AE', ∠EAF=∠EAF LAF=AF, '.△EAP≌△EAF(SAS), B ∴，EF=EF. E'F=DE'+DF=BE+DF, 第19题答图③ ∴.BE+DF=EF 题型二添加辅助线构造全等三角形 1.B【解析】延长CE到点K, 使EK=CE,连接AK,如图. 因为EK=EC, ∠AEK=∠DEC,AE=DE, 所以△AKE≌△DCE(SAS), 所以AK=CD=5, ∠KAE-∠D. 因为∠D=∠B, 所以∠KAE=∠B. 第1题答图 因为BE⊥AD, 所以∠B+∠BAE=90°，所以∠KAE+∠BAE=90°， 所以5aw=号AB·AK=号X8X5=20, 因为△AKE≌△DCE(SAS),所以S△E=SaE, 所以S图边限ND=S△K=20,故选B 2.(1)【证明】：AD是BC边上的中线，∴.CD=BD. AD-ED. 在△ACD和△EBD中，∠ADC-∠EDB, CD-BD. '.△ACD≌△EBD(SAS). (2)【解】AD与BC的数量关系为 AD-BC. 理由如下：延长AD到点E,使DE B =AD,连接BE,如图所示， D 同(1)得△ACD2△EBD(SAS), ∴.AC=BE,∠DAC=∠DEB, E ∴.AC∥BE, 第2题答图 ∴∠BAC+∠ABE=18O°. ∠BAC=90°， ·∠BAC=∠ABE=90 (AC=BE, 在△BAC和△ABE中，∠BAC=∠ABE, BA=AB, '.△BAC≌△ABE(SAS), ·BC=AE:AD=DE=2AE,.AD=号BC 3.A【解析】在AB上截取AD,使AD=AC,连接DP,如图 :AP平分∠BAC, 真题圈数学八年级上U2N ∠DAP=∠CAP. 在△ADP和△ACP中，AD=AC. ∠DAP=∠CAP,AP=AP, ∴.△ADP≌△ACP(SAS), .PD=PC. 在△BPD中，BD>PB-PD, :BD>PB-PC. 第3题答图 :BD=AB-AD=AB-AC,.AB-AC>PB-PC.故选A 4.(1)【证明】如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE. 'AD平分∠BAC,·∠BAD=∠DAC (AB-AE, 在△ABD和△AED中，〈∠BAD=∠EAD, LAD-AD. ∴.△ABD2△AED(SAS), ∴.∠B=∠AED,BD=DE ∠B=2∠C,∴.∠AED=2∠C, :∠AED是△DEC的一个外角， ,∠AED=∠C+∠EDC, .∠C-∠EDC,.DE=CE, .BD=EC. AE+EC=AC,..AB+BD=AC. ① 第4题答图 (2)【解】如图②，在AE上截取AF=AD,连接CF 由题意可得∠DAC=180°-∠D-∠ACD=30°， ·∠FAC=∠BAD-∠DAC=30°， .∠DAC=∠FAC=30. (AD-AF. 在△DAC和△FAC中，∠DAC=∠FAC, LAC-AC, .△DAC≌△FAC(SAS),∴.∠AFC=∠D=110, ∠CFE=180°-∠AFC=70°， ∴.∠B=180°-∠ACB-∠FAC=70°， .∠B=∠CFE CE⊥AB,∴.∠CEF=∠CEB=90°. ∠CFE=∠B, 在△CEF和△CEB中，∠CEF=∠CEB, CE-CE, .△CEF≌△CEB(AAS), .EF=BE,..BF=2BE=4, .AB=AF+BF=10+4=14, .AB的长为14. 题型三动点问题 1.C【解析】如图，△ACB2 △ECD,∴.AB=DE=6cm,AC =EC,∠A=∠E 在△ACP和△ECQ中， I∠ACP=∠ECQ, AC=EC, ∠A=∠E, Q .△ACP2△ECQ(ASA), 第1题答图 答案与解析 ∴，AP=QE,当P点由A点向B点运动时，4=6-， 解得t=1.2(s): 当P点由B点向A点运动时，12一4t=6一t,解得t=2(s). 综上所述，t的值为1.2s或2品故选C 2.D【解析】，AB=12m,E是AB边的中点， BE=6 m. :∠B=∠C,且△BEP与△CPQ全等， .BP=CQ,BE=CPCP=BP.BE=CQ. 当BP=CQ,BE=CP时，：BE=6m,BC=8m, 设运动时间为4s,则8一21=6，解得=1， .CQ=BP=2×1=2(m), 此时乙机器人的运动速度为2÷1=2(m/s): 当CP=B即，BE-0Q时，2=号，解得1=2， 此时CQ=6,乙机器人的运动速度为6÷2=3(m/s). 故选D 3.2或4【解析】当△ABC≌△PQA时，AP=AC=8cm, ,点P的速度为2cm/s, .8÷2=4(s). 当△ABC≌△QPA时，AP=BC=4cm, :点P的速度为2cm/s, .4÷2=2(s). 故答案为2或4. 4.(1)I解】，∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC, ∴.DF=DM SM-7 DF AB.SA=DM.AC, ·船-号 (2I证明：Sm=吉DF·AE,Sm=DM:CG. +温器 :动点E以2m/s的速度从A点向F点运动，动点G以1m/s 的速度从C点向A点运动， ∴AE=2tcm,CG=4cm ∴器-2温=2， ∴.在运动过程中，无论1取何值，都有S△m=2Sac, (3)【解】：∠AFD=∠AMD,∠BAD=∠DAC,AD=AD, ,'.△ADF≌△ADM ∴.AF=AM=10cm. ,动点E以2am/s的速度从A点向F点运动，动点G以1am/s 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停 止运动，运动时间为t, ①当点E在线段AF上时， .'EF=AF-AE=(10-2t)cm,CG=t cm. .0<t5. a.当点G在线段AM上时，MG=CG-(AC-AM)=(t-4)cm. 当EF=MG,△DFE与△DMG全等时， ÷10-2=4一4，解得=兰 a.当点G在线段CM上时，MG=(4-t)cm ∴.10-21=4-t, 解得=6（不符合题意，舍去）. ②当点E在线段BF上时，2t-10=t-4, 解得=6（不符合题意，舍去）， :当I-兰时，△DFE与△DMG全等. 题型四角的平分线的应用 1.D 2.B【解析】设点O到BC的距离为x ,O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为24，周长为24， ·合×21x=24,解得x=2 .点O到BC的距离为2. 故选B 3.D【解析】如图，作PN⊥OB于点 N. :OP平分∠AOB,PF⊥OA, PN⊥OB, H .PF=PN=3.5, Sae-OP.DH =20D·PN, 第3题答图 吉×8DH=合×4X35, 解得DH-子 故选D. 4.D【解析】如图，过点A作AG⊥BD于点G,作AF⊥CD交CD 的延长线于点F,作AH⊥CB交CB的延长线于点H. ,CA平分∠BCD,.AF=AH :∠ABD+∠ABC=180°， ∠ABH+∠ABC=180°， .∠ABD=∠ABH, D ∴AH=AG,∴.AF=AG, .DA平分∠BDF, .∠ADF=∠ADG .∠ADC=m, .∠ADF=∠ADG=180°-m, 第4题答图 ∴.∠BDC=180°-∠ADF-∠ADG=2m-180 '∠DBH=∠BDC+∠BCD, ·2∠ABD=2m十-180，·∠ABD=m+登-90.故选D. 5.(1)【证明】如图，BD平分∠ABC,∴.∠1=∠2。 :∠ACB=90°，AD⊥AB, ,'.∠CEB+∠1=90，∠D+∠2=90°，.∠CEB=∠D. 又：∠AED=∠CEB,∴，∠ADE=∠AED. (2)【解】如图，过点E作EF⊥AB于D 点F, :BD平分∠ABC,∠ACB=90°，EF ⊥AB,CE=2, CE=EF=2. B AB=6, 第5题答图 :S△e=合AB:EF=号×6X2=6. 6.(1)[证明】，CD⊥OM,CE⊥ON, ,.∠CDA=90°，∠CEB=90. 在R△CDA和R△CEB中，AD=BE, CA=CB, ,'.Rt△CDA≌Rt△CEB(HL), .CD=CE,∴.OC平分∠MON (2)[解】设OD=x, QA=12,..AD=0A-OD=12-x,.AD=BE=12-. IOC=OC. 在Rt△OCD和Rt△OCE中， CD-CE. ,'.Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),.OD=OE=x, ∴.BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12, ,B0=4,.2x-12=4,解得x=8,.OD=8. 第十五章轴对称 题型一线段的垂直平分线的应用 1A【解析】如图，连接BE, 'AB=AC,∴.∠ABC=∠C :AB的垂直平分线是DE,.EA=EB, .∠A=∠ABE D ,CE的垂直平分线正好经过点B, E ·BE=BC,∴·.△BCE是等腰三角形， ,·BF是∠EBC的平分线， ·.2(ZABC-∠A+∠C=90, B 第1题容图 即号∠C-2∠A=90, ·号×2(180°-∠A)-7∠A=90,解得∠A=36.故选A 2.D【解析】由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，AB的垂 直平分线与AC的垂直平分线的交点为点O,.到△ABC三个 顶点距离相等的点的坐标为(0,0).故选D. 4 第2题容图 3.C【解析：∠ABC=80°，.∠BMN+∠BNM=100° :M,N分别在PA,PC的垂直平分线上， ∴.MA=MP,NP=NC, :∠MPA=∠MAP=∠BMN. ∠NPC-∠NCP=2∠BNM, ÷∠MPA+∠NPC=×1oo=50 .∠APC=-180°-50°=130°.故选C. 4.B【解析】由作图知AD=AC=5,直线MN垂直平分BD, ∴BE=DE.:△ADE的周长为13， .AD+DE+AE=AE+BE+AD-AB+AD-13. .AB=13一5=8.故选B. 5.6【解析】：直线CD是线段AB的垂直平分线， AP=BP=4. :△PAB的周长=PA十PB+AB=14, .4+4+AB=14,.AB=6.故答案为6. 6.48【解析】如图，延长CD交 AB于点M :DE,DF分别是AC,BC边的 垂直平分线， M .AD=CD,BD=CD, .∠DAC=∠DCA,∠DBC= ∠DCB,AD=BD, 第6题答图 ∴.∠ADM=2∠DCA,∠BDM =2∠DCB,∠BAD=∠ABD, ,'.∠ADM+∠BDM=2∠DCA+2∠DCB=2(∠DCA+ 真题圈数学八年级上U2N ∠DCB)=2∠ACB=84°，即∠ADB=84°， ·∠BAD=∠ABD=180°，84°=48 2 故答案为48， 7.【解】(1)：PD=PA,∴.∠A=∠PDA.:BD的垂直平分线交 BC于点E,∴.∠EDB=∠EBD,∴.∠PDE=18O°-∠PDA ∠EDB=180°-∠A-∠EBD=∠C=90°. (2):BD的垂直平分线交BC于点E,∴.ED=EB. .四边形CPDE的周长为CP+PD+DE+EC=CP+PA十 EB+EC=AC+BC=7. 题型二等腰三角形中的分类讨论 1.C【解析】①设三角形底角为a,顶角为2a,则a十a十2a=180°， 解得a=45° ②设三角形的底角为2a,顶角为a,则2a十2a十a=180°， 解得a=36°，∴.2a=72 ,.三角形的可爱角”应该是45°或72 故选C 2.D【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图①所示. BD⊥AC, .∠A+∠ABD=90°， :∠ABD=50°， .∠A=90°-50°=40° :AB=AC,∠ABC=∠C=号×(180°-40)=70 B 第2题客图 ②若∠BAC>90°，如图②所示.同①可得∠DAB=90°-50°= 40°，∠BAC=180°-40°=140°. AB=AC, ·∠ABC-∠C=7×(180°-1409=20 综上，等腰三角形底角的度数为70或20° 故选D. 3.50或65或80°【解析】：a∥b,∴.∠a=∠ACB. 分三种情况讨论：当∠ABC为顶角时， BA=BC,∠ABC=50°， ·∠ACB=∠BAC=180°-，∠ABC=65, 2 .∠a=∠ACB=65°： 当∠ABC为底角，且AB=AC时，∠ABC=∠ACB=50°， .∠a=∠ACB=50°： 当∠ABC为底角，且CA=CB时，∠ABC=∠CAB=50°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=80°， .∠a=∠ACB=80. 综上所述，若△ABC是等腰三角形，则∠a=50°或65或80°.故 答案为50或65"或80 4.【解】(1)50或20°或80 分析：当∠A为顶角时，∠B=180°，∠A=50, 当∠B是顶角时，∠A是底角，∠B=180°一80°一80°=20°：