第13章 三角形-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学重难题型练（人教版2024）

答案与解析 重难题型练 第十三章三角形 题型一中线问题 1.D【解析】，CM是△ABC的中线，∴.BM=AM :△BCM的周长比△ACM的周长大2m, ∴.BC+BM+CM-(AC+AM+CM0=2am,则C-AC-2am ,BC=8m.∴.AC=6cm故选D. 2.4<BC<20【解析】：AD是BC边上的中线，·.BC=2BD. .AB=6,AD=4..6-4<BD<6+4.即2<BD10. ∴.4<BC<20.放答案为4<BC<20. 3,B【解析】，BD是△ABC的中线，CE是△BCD的中线， .S△9m=S△w=2S4mm=16, .Sae=8.故选B +.D【解析】：BD是△AB的AC边上的中线， ·Sm=5m=5m=号×32=16， :AE是△，ABD的BD边上的中线， &5w=5m=25w=合×16=8 又'BF是△ABE的AE边上的中线， 则CF是△ACE的AE边上的中线， &Sm=56w=5m=专X8=4,5m=5w=56m =5m=号5am=8,则S=5m十5m=4计8=12 故选D 5.【解】（一）【探究与发现】如图①，过点A作AE⊥BC于点E, :AD是△ABC边BC上的中线..BD=号BC Sm=2BDAE=×号CAE=2Sam E 第5题答图 (二)[运用与实践】 (1)如图②，过点E作EFL BC,垂足为F, :AD是△ABC的中线5am=号Sar 1 同理，Sam=Sa微=2SAo· &5am=5ae=75m=×40=10 :5ae=2BD·ER,.是BD·EF=号X5EF=10, .EF=4.即点E到BC的距离是4. (2)如图③所示（取各边中点或中线的中点，答案不唯一） 题型二三角形的内角、外角计算 1.B【解析】：AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠CAD= 交∠BAC.”∠C=90°，∠ADC=65..∠DAC=90°-65 =25”,.∠BAC=50°.故选B. 2.C【解析】在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B =60°，∠D=45,∴.∠C=90°-60°=30°，∠E=90°-45°=45°. BC∥AE,∴.∠CAE=∠C=30°， .∠AFE=180°-∠CAE-∠E=180°-30°-45=105. 故选C, 3.B【解析】'：DF⊥AB(已知)，∠EFA=90(垂直定义). 在△AEF中.∠EFA=90°，∠A=35(已知). ∴.∠AEF=180°-∠EFA-∠A=180°-90°-35°=55°. 又：∠CED=∠AEF(对顶角相等)，∠CED=55, 在△CDE中，∠CED=55°，∠ECD=85°（已知）. ∴.∠D=180°-∠CED-∠ED=180°-55-85=40.故选B +.A【解析】，∠ADC是△ABD的一个外角， .∠ALDC=∠B+∠B.AD=∠ADE+∠CDE. :∠AED是△CDE的一个外角，·.∠AED=∠C+∠CDE. :∠ADE=∠AED,∠B=∠C, .∠C+∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE, ÷2∠CDE=∠BAD=24,·∠CDE=号×24=12，故选A 5.D【解析】如图，：AE平分 ∠BAC,BF平分∠ABD, .∠CAE=∠BAE.∠1=∠2. 设∠CAE=∠BAE=E,∠C=y ∠ABC=3y. 由外角的性质，得 ∠1=∠BAE+∠G=x+18°， ∠2=3∠ABD-号2+w B =x十2y: 第5愿答图 十18=十，解得=36， ·∠1=∠2-2(180°-∠AB0)=号×(180°-108)=36. ADLDC.∴.∠D=90. .∠DFB=90°-∠2=5A°.故选D 6.B【解析】如图.：∠1=∠2+∠C,∠2 =∠A+∠D. .∠1=∠A+∠C+∠D. :∠1+∠B+∠E=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 故选B 7.B【解析】由已知，得∠ABC=2∠MBH, 第6题答图 ∠BMH=90°-∠MBH. :∠A+∠C=180°-∠ABC ∴.2∠BMH=180°-2∠MBH=∠A+∠C,故A正确，不符合 题意 :BD是△ABC的高， .∠BAE=90°-∠ABD ∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE, ∴.∠BEA=180°-∠ABE-(90°-∠ABD)=90°-∠ABE+ ∠ABD,故B错误，符合题意. :∠AFG+∠BMH=∠DBE+∠BDE..∠AFG=∠DBE+ ∠BDE-∠BMH,即∠AG=∠DBE+g0°-∠BMH. ,90°-∠BMH=∠MBH=∠ABE, ∴∠AFG=∠ABE+∠DBE,故C正确，不符合题意. 由A可得2∠BMH=∠A+∠C, ·∠BMH=∠A+2∠C '∠C+∠HFC=∠G+∠DFG.·∠C=∠G, ·∠BMH+2∠C-2∠A+号∠C+2∠C=号∠A+∠C =号∠A+∠G.放D正确，不符合题意.故选B 8.35°【解析】：∠B=∠A+15,∠C=2∠B-5, ∴.∠C=2∠A+25 :∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠A+∠A+15°+2∠A+25°=180， .∠A=35.故答案为35 9.20°【解析】如图，连接BD,延长BD B 到E. :∠1=∠A+∠ABD,∠2=∠C+ ∠CBD, D ∴.∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C 112 +∠ABC. :∠ADC=105,∠ABC=63°，A E ∠BAD=22. 第9题答图 ·∠BCD=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°-63°-22=20， 故答案为20°. 10.30°【解析】：AD⊥BD,∴∠ADB=90, .∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠ABD=90°-∠BAD. :BD平分∠ABC,.∠DBC=∠ABD, .∠DBC=90°-∠BAD. :∠DAC=20°，∠C=40°， .∠B.AD+2(90°-∠BAD)+40°+20=180°， .∠B.AD+180°-2∠BAD+60°=180. .∠BAD=60°，.∠ABD=30°.故答案为30 1L.【解】：∠1=∠3+∠C,∠1=100°，∠C=80°.∴.∠3=20 :∠2=∠3∠2=10 .∠ABC=180°-100°-10°=70 :BE平分∠ABC, .∠ABE=35 :∠4=∠2+∠ABE. .∠4=45° I2.【解】，AE平分∠BAC,BF平分∠ABC, ·∠BAE=∠CAE-2∠BAC-X60=30, ∠ABF-∠CBF-∠ABC-号×70-35 :ADLBC,∴∠ADB=∠ADC=90. 在△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=70°. .∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-70°=20°， ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-20°=10. :∠AOF=∠AB0+∠B40=35°+30°=65，∠AOF+ ∠AOB=180°， ∴.∠A0B=180°-∠A0F=180°-65=115. 故∠DAE=10°，∠AOB=115. 真题圈数学八年级上2N 13.(1)【证明】如图，，EF∥CD,.∠1+∠3=180° :∠1+∠2=180°. ∴.∠2=∠3 ∴.GD∥CA (2)【解】：CD平分∠ACB, DG平分∠CDB. &∠3=∠ACB. D 第13题答图 ∠2=3∠CDR 又：∠CDB=∠A+∠3，∠2=∠3， ∴.2∠3=∠A+∠3.∴.∠3=∠A=40..∠ACB=80 14.(1)[证明】，∠GAB=∠B,.GA∥BC. ∴.∠G/AC+∠ACB=180°. :∠GAC+∠EDB=180°，.∠EDB=∠ACB,.ED∥AC :DE⊥AB,∴.AB⊥AC, (2)【解】：GA∥BC,∠GAC的平分线交C℃于点M,∠ACB的 平分线交AB于点N.·.∠ACN+∠MAC-2×180=90, :∠MAB+∠MAC=∠ACN+∠MAC=90, ·∠MAB=∠ACN=∠NCB. :∠AMC-∠ANC=35°，∠AMC=∠G+∠GAM,∠AVC= ∠B+∠BCN, 又GA∥BC,.∠G=∠BCF,∠GAB=∠B, ∴·∠AMC-∠ANC=(∠G+∠GAMD-(∠B+∠BCN) =∠G+∠GAM-∠B-∠BCN =∠G+∠GAB+∠BAM-∠B-(∠BCF-∠NCF) =∠B.AM+∠NCF=∠BCG=35, ∴.∠AGC=35. 题型三折叠问题 1.D【解析】根据折叠的性质可得∠ACD=∠DCE-∠ACB =45°，∠ADC=∠CDE.由三角形内角和的性质可得∠ADC =180°-∠A-∠ACD=70°，，.∠ADE=2∠ADC=140°， ,∠BDE=180°-∠ADE=40.故选D 2.D【解析】如图，由题意得∠C=∠D ∠1=∠C+∠3。 ∠3=∠2+∠D, ∴.∠1=∠2+∠C+∠D =∠2+2∠C, ∴.∠1-∠2=2∠C=60. D 故选D 第2题答图 3.D【解析】在△ABC中，：∠A=60°， ∴.∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120 根据折叠的性质可知∠B=∠DHB,∠C=∠CHF :∠DHB+∠CHF+∠DHF=180°， ∴.∠B+∠C+∠DHF=180°， ∠DHF=180°-（∠B+∠C)=180°-120°=60°.故选D. 4.D【解析】设∠ADB=Y,∠AGC'=A,∠CEB=y,∠CFE=x 'BD∥CG,∴.y+B=∠B+∠C=a. EB∥FG.∴.∠CFG=∠CEB=y .x+2y=180①. :y+y=2∠B,g+x=2∠C,∴.y+y++x=2a, x+y=a② ②×2-①，得x=2a-180°， ∴.∠CFE=2a-180,故选D 5.35【解析】'，△ABC沿着DE翻折， 答案与解析 ·.∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠AED,∠A=∠A'. .∠1+2∠AED=180.∠2+2∠ADE=180°， ∴.∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED)=360. :∠1+∠2=70， ∴∠ADE+∠AED=145, ·∠A=180°-（∠ADE+∠AED)=35°.故答案为35. 6.100°【解析】在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， 在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C=180, ∴.∠A+∠B=∠CDE+∠CED. :∠A+∠B=130..∠CDE+∠CED=130°. ∴.∠BED+∠ADE=360°-130=230°. 由折叠的性质，得∠BED=∠BED,∠ADE=∠A'DE, ∴.∠BED+∠A'DE=230°. 即∠1+∠CDE+∠2+∠CED=230°， ·∠1+∠2=230°-130°=100°.故答案为100°. 7.40°【解析】由翻折可得∠ADE=∠EDA',∠A=∠DA'E, ∠AED=∠A'ED. 设∠A=∠DA'E=a∠ADE=∠EDA'=. ∴.∠B=∠ADA'-∠DA'B=23-∠DA'B,∠DFC=∠A+ ∠ADF=2g+a, ∴.∠B+∠DFC=4B+a-∠DA'B :∠B+∠DFC-160°..40+a-∠DA'B=160. :∠BDA'=∠CEA'+2∠DA'B, ∴.180°-∠ADA'=∠CEA'+2∠DA'B, ∴.180°-29=∠CEA'+2∠DA'B, ∴∠CEA'+2∠DAB+23=180. :∠AED=180°-B-a=∠DEA'=∠DEC+∠CEA',∠DEC =∠A+∠ADE=a+B, ∴180°-3-a=a+B+∠CEA'.∴.2a+23+∠CEA'=180°. ∴.∠CEA'+2∠DA'B+23-2a+28+∠CEA', .∠DAB=a. :49+a-∠DA'B=160°，.4B叶a-g=160°，.=40°. ∴∠EDF=40. 故答案为40° 8.【解】由折叠得∠B=∠HOG,∠A=∠DOE,∠C=∠EOF, ∴.∠DOE+∠HCG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠2=360°-∠1-（∠HG+∠E0F+∠DOE)=360°-131 -180°=49. 题型四双角平分线问题 1.A【解析】：BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ·∠CB0=∠AB0=号∠ABC,∠BCO=∠ACO-号∠ACB ∠A=50°.∴.∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°. ·∠CB0+∠BC0-2(∠ABC+∠ACB)=2X130'=65, ·∠BC=180°-65°=115.故选A 2.80°【解析】如图，连接BC, ∠BDC=140, '.∠DBC+∠DCB=180° 140°=40°. ∠BGC=110°. B ·.∠GBC+∠GCB=180°- 110°=70°， 第2题答图 ∴.∠GBD+∠GCD=70°-40°=30. :BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线. .∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30. 在△ABC中，∠A=180°-70°-30=80°.故答案为80. 3.68°【解析】：∠B=44°， ∴.∠BAC+∠BCA=180-∠B=136 :△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, .∠DAC+∠ACF=180°-∠BAC+180°-∠BCA =360°-（∠BAC+∠BCA)=224, ∠EAC-支∠DAC,∠BCA-∠ACR, ·∠EAC+∠ECA=2∠DAC+号∠ACF=12, .∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA)=180°-112°=68 故答案为68°. 4.(1)【证明】：∠ABC+∠C+∠BAC=180°，∠CAD+∠EAD +∠BAC=180°，∴.∠，ABC+∠C=∠CAD+∠EAD. ·AD平分∠EAC,.∠CAD=∠EAD. 又：∠ABC=∠C,∴.∠C=∠CAD..AD∥BC (2)【解】：∠BAC=36°， ·∠ABC=∠C=(180-∠BAO=72. BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD-2∠ABC-36 AD∥BC,.∠ADB=∠CBD=36 5.【解】(1)70125 分析：：∠DBC-∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC. .∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°. :BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线， ·∠CBP+∠CP=号（∠DEBC+∠CEB=110, .∠BPC=180°-110°=70° :BQ,CQ分别是∠PBC,∠PCB的平分线， &∠QB-∠PBC∠QCB=2∠PCB. ·∠QBC+∠QCB=号（∠PBC+∠PCB)=55, .∠BQC=180°-55°=125. (2)60 分析：当∠MBC+∠NCB=180,则BM∥CN, ,BM,CN分别是∠PBD,∠PCE的平分线，∠BAC=a 是（∠DBC+∠BCE)=180,即180+a）=180. 解得a=60. (3)a=120°， ：∠MC+∠NCB=是(ZDBC+∠CE (180+) =225°， .∠B0C=225°-180°=45 (4)∠BPC+∠BQC+∠BC=180°. 第十四章 全等三角形 题型一 全等模型 L.D【解析】：BE=CF, ,∴.BC=EF BC=EF. 在△ABC和△DEF中，AB=DE, LAC=DF. ,.△ABC≌△DEF(SSS). .∠A=∠D=55 故选D第十三章 题型一 类型1利用中线求长度 L.(期末·广州海珠区)如图，CM是△ABC的中 线，BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM 的周长大2cm,则AC的长为( A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm B 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中 线，AB=6,AD=4,则BC边的取值范围 是 类型2利用中线求面积 3.如图，BD,CE分别为△ABC,△BCD的中 线，若△ABD的面积为16，则△CDE的面 积为() A.4 B.8 C.2 D.16 0 第3题图 第4题图 4.(期中·武汉江岸区)如图，BD是△ABC的 AC边上的中线，AE是△ABD的BD边上 的中线，BF是△ABE的AE边上的中线， 若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积 为( A.8 B.9 C.10 D.12 5.探究性试题三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段，高、角平 分线、中线之后，小华同学观察自己作的图 形（如图①）“△ABC边BC上的中线AD …”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边 BC,还平分△ABC的面积 重难题型练 三角形 线问题 (一)【探究与发现】小华的同桌思考之后，给 出了以下思路和证明：过点A作BC边上的 高AE,则SD= BD·AE, 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平 分三角形的面积 请你添加小华的同桌所作的辅助线，并将其 证明过程补充完整 (二)【运用与实践】请你根据以上发现，解决 以下问题： (1)如图②，AD是△ABC的中线，BE是 △ABD的中线，△ABC的面积为40，BD 5,求△ABE的面积和点E到BC的距离. (2)如图③，有一块三角形优良品种试验田， 现引进四种不同的种子进行对比试验，需要 将这块试验田分成面积相等的四块三角形 地块，请你设计出四种不同的划分方案。 ① ② ③ 第5题图 真题因数学八年级上RJ2N 题型二三角形 1.(期末·福州三牧中学)如图，在△ABC中， ∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若 ∠ADC=65°，则∠BAC的大小为() A.35 B.50 C.659 D.70° D 第1题图 第2题图 2.(期末·青岛市北区)如图，在△ABC和 △ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B= 60°，∠D=45°，AC与DE相交于点F.若 BC∥AE,则∠AFE的度数为( A.95 B.100° C.105 D.110° 3.(期中·河南省实验中学)如图，在△ABC 中，点D在BC的延长线上，过点D作DF ⊥AB于点F,交AC于点E.已知∠A= 35°，∠ECD=85°，则∠D=( A.30 B.40° C.45 D.50° 第3题图 第4题图 4.(期末·武汉洪山区)如图，在△ABC中， ∠B=∠C,D为BC边上的一点，点E在 AC边上，∠ADE=∠AED,若∠BAD= 24°，则∠CDE的度数为( A.129 B.14° C.16 D.24 5.(期中·首师大附中)如图，在△ABC中，AE 平分∠BAC,AD⊥BC于点D,∠ABD的平 分线BF所在直线与射线AE相交于点G, 若∠ABC=3∠C,且∠G=18°，则∠DFB的 度数为( 2 的内角、外角计算 A.40° B.44° C.50 D.549 第5题图 第6题图 6.如图，∠A十∠B十∠C十∠D十∠E的度数 为() A.90°B.180°C.120°D.360 7.(期中·华南师大附中)如图，在△ABC中， ∠BAC>∠C,BD,BE分别是△ABC的高 和角平分线，点G在BD的延长线上，GH⊥ BC于点H,交射线BE于点M,交AC于点 F,下列结论错误的是()》 A.2∠BMH=∠A+∠C B.∠BEA=∠ABE+∠ABD C.∠AFG=∠ABE+∠DBE D∠G+2∠A=∠BMH+2∠C B 第7题图 第9题图 8.在△ABC中，若∠B=∠A+15°，∠C= 2∠B-5°，则∠A的度数是 9.(期中·武汉江岸区)形如燕尾的几何图形我 们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形， 已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD= 22°，则∠BCD的度数为 10.(期末·西安新城区) 如图，BD是∠ABC 的平分线，AD⊥BD, 垂足为D,∠DAC= B 20°，∠C=40°，则 第10题图 ∠ABD= 11.(月考·重庆一中)如图，在△ABC中，∠1 =100,∠C=80,∠2=2∠3，BE平分 ∠ABC.求∠4的度数. 第11题图 12.(期中·武汉洪山区)如图，在△ABC中， AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交 于点O,∠BAC=60°，∠ABC=70°，求 ∠DAE和∠AOB的度数. B 第12题图 重难题型练 13.(期末·济南槐荫区)如图，在△ABC中，点 E在AC上，点F在AB上，点G在BC上， 且EF∥CD,∠1+∠2=180°. (1)求证：GD∥CA. (2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且 ∠A=40°，求∠ACB的度数. D 第13题图 14.已知，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥ AB于点E,点F在AB上，在CF的延长 线上取一点G,连接AG (1)如图①，若∠GAB=∠B,∠GAC十 ∠EDB=180°，求证：AB⊥AC. (2)如图②，在(1)的条件下，∠GAC的平分 线交CG于点M,∠ACB的平分线交AB 精于点V,当∠AMC-∠ANC=35°时，求 ∠AGC的度数. ① ② 第14题图 真题圈数学八年级上R2N 题型三 1.(期中·重庆巴蜀中学)如图，在R△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=65,D是AB边上一点，连 接CD,将△ACD沿CD翻折，使A点落在BC 边上的E点处，则∠BDE为( ) A.15 B.20° C.30° D.40° .D ...C 第1题图 第2题图 2.(期中·北京海淀区)如图，在△ABC中， ∠C=30°，将△ABC沿直线l折叠，使点 C落在点D的位置，则∠1一∠2的度数 是() A.30 B.40 C.80° D.60° 3.(期中·合肥三十八中)在△ABC中，将 ∠B,∠C按如图所示方式折叠，点B,C均 落在边BC上点H处，线段DE,FG为折 痕.若∠A=60°，则∠DHF的度数为( A.90 B.80 C.75 D.60° B E H 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠B+∠C=a,按图进 行翻折，使B'D∥CG∥BC,B'E∥FG,则 ∠CFE的度数是( ) A分 B.90°-g C.a-90 D.2a-180 折叠问题 5.(期中·天津红桥区) 如图，将△ABC沿着 DE翻折，若∠1+∠2 =70°，则∠A的大小 为 度 第5题图 6.将△ABC按如图所 示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则 ∠1+∠2= 2 B 第6题图 第7题图 7.(期末·厦门一中)如图，点D和点E是 △ABC中AB和AC边上的两点，将∠A沿 DE翻折，使点A的对应点A'恰好落在射线 BC上，A'D与EC相交于点F,若∠BDA =∠CEA'+2∠DA'B,∠B+∠DFC= 160°，则∠EDF的度数为 8.如图，将△ABC沿DE,HG,EF翻折，三个 顶点均落在点O处，若∠1=131°，求∠2的 度数 B...... 第8题图 重难题型练 题型四 双角平分线问题 1.(期中·天津红桥区)如图，在△ABC中，点 5.探究性试题如图①，BP,CP分别是△ABC O是△ABC内一点，且点O是△ABC两条 的外角∠CBD,∠BCE的平分线，BQ,CQ 角平分线的交点.若∠A=50°，则∠BOC的 分别是∠PBC,∠PCB的平分线，BM, 度数为( ) CN分别是∠PBD,∠PCE的平分线， A.115 B.120° C.130° D.140° ∠BAC=a. (1)当a=40°时，∠BPC= ∠BQC= 0 (2)当a= 时，BM∥CN. (3)如图②，当a=120°时，BM,CN所在直 线交于点O,求∠BOC的度数， 第1题图 第2题图 (4)如图②，BM,CN所在直线交于点O,在 2.(期中·华南师大附中)如图，BE是∠ABD &>60的条件下，直接写出∠BPC,∠BQC, 的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与 ∠BOC三角之间的数量关系. CF交于点G,若∠BDC=140°，∠BGC= 110°，则∠A的度数为 3.(期中·武汉蔡向区改 D 编)如图，在△ABC中， ∠B=44°，△ABC的外 D 角∠DAC和∠ACF的 平分线交于点E, 第3题图 ∠AEC= 4.(期末·深圳龙华区)如图，在△ABC中， M ∠ABC=∠C,∠ABC的平分线与外角 精品圈 ① ② ∠EAC的平分线交于点D. 第5题图 (1)求证：AD∥BC. (2)若∠BAC=36°，求∠ADB的度数. 第4题图