第7章 证明-【真题圈】2025-2026学年新教材八年级上册数学真题天天练（北师大版2024）

①十②得5a+5h十5c=30, 所以20a+206+20■4×30=120（元）. 故120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔 第六章数据的分析 卷21平均数与方差 LC 2.A【解析这组数据的平均数为3，方差为号×[2×(2-3)+ 2X3-3沙+6-3门-号=12.标准差为工2=故选A 3.A【解析】①以上问题中一共有20个数据，故原说法错误： ②这个饭店所有员工月收人的平均数是易×(9400+2×3800 +2×3000+2×4400+3×3000+8×2800+2×2400)= 3400(元)，故原说法错误； ③月收人的众数是2800元，故原说法错误.故选A 4.B【解析】数据a,a,…,a,的平均数是10，则数据4十3，a2十 3,…,a。十3的平均数是10+3=13，数据a1,ag,…,a,的方差是 4,则数据a1+3,a:+3,,4.十3的方差是4.故选B. 5.8.52.5【解析】小华此次演讲比赛得分的众数为8.5， 小华此次演讲比赛的平均得分为言×(8+7.5+9.5十85十8.5 十9)=8.5，小华此次演讲比赛得分的离差平方和为(8一8.5 +(7.5-8.5)°+(9.5-8.5)2+(8.5-8.5)2+(8.5-8.5)2+ (9-8.5)2=2.5.故答案为8.5：2.5. 6.2.95【解析】总人数为12÷30%=40（人）， 则3分的有40×42.5%=17（人）， 2分的有40一17一12一3=8（人）， 故平均分为X3+2X8+8X17+4X12=2.95(分. 40 故答案为2.95. 7.【解11)甲的平均成绩为0+87+82=83（分）： 3 乙的平均成绩为80+96+76=84（分）. 3 因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，所以应该录取乙， (2)根据题意.甲的综合成绩为80×20%十87×20%+82×60% =82.6(分)， 乙的综合成绩为80×20%+96×20%十76×60%=80.8（分）. 因为甲的综合成绩高于乙的踪合成绩，所以应该录取甲， 卷22中位数与箱线图 1.B【解析】根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是 8,即该组数据的众数为8：将这组数据按从小到大的顺序排列， 处于第20,21位的两个数分别为9,9，所以这组数据的中位数是 9十9=9.故选B 2 2.B【解析】将数据从小到大排序为188.240,260,284,288,290， 300,360,因为上四分位数即75%分位数，又8×75%=6，所以 上四分位数为2×(290+300)=295，故选B 3.C 4.不正确【解析】由题可知，小明所在学校14岁男生身高的50% 分位数是165.9cm,25%分位数是161m, 小明的身高低于161c,故小明的身高在本校同年龄的所有男 生的下四分位数之下，即身高偏低.故容案为不正确。 50或5或华 【解析】根据题意知，该组数据的平均数为 1+3+4+x+7-=15+. 5 真题圈数学八年级上2N 若中位数为3，则15十=3，<3，解得r=0: 5 若中位数为4，则5+工=4>4，解得工=5： 5 若中位数为x,则15十上=x,3≤1≤4，解得x=15. 5 4 故答案为0或5或早。 6.【解】(1)把甲的成绩从小到大排列为：60.70.70.80,89.91,92 96,98,100,放m=89+91 2 =90,m=70,ms=96. (2)如图所示： 成绩 100---- 93 9 70 60 甲组 乙组 第6题答图 (3)甲组成绩比较分收，乙组成绩比较集中（答案不唯一）. 卷23哪个团队收益大 1.C 2.D【解析】由所选荔枝大小均匀，货架上荔枝大小不一可知s> ,云与的大小关系不确定.故选D 3.<AB 4.【解】(1)98 (2)丙同学的面试成绩=6×10×20%+8×10×40%+9×10× 10%+10×10×30%=83(分). 答：丙同学的面试成绩为83分. (3)乙 分析：乙的平均得分为87÷10=8.7（分）， 乙的方差为=品×[5×(8-8.7)产+3×(9-8.7)Y+2×(10 一8.7)门=0.61，因为0.61<1.85<2.01，可知，乙的得分的波 动比甲和丙小，所以甲，乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更 一致 (4)乙 分析：甲的综合成绩为87×40%+85×60%=85.8（分）， 乙的综合成绩为85×40%十87×60%=86.2（分）， 丙的综合成绩为90×40%十83×60%=85.8（分）， 85.886.2. 所以综合成绩最高的同学是乙 第七章证明 卷24为什么要证明、认识证明 1.C 2.C【解析】x轴上的点的纵坐标均为0，故C选项命题错误，是 假命题.故选C 3.A .D【解析】试题由6道判断题组成，每题正确得1分，甲、乙都得 4分，则甲，乙至少有2道题目结果相同，由表可得第3题和第6 题正确答案为“×”： 所以，丙第3题和第6题判断错误，因为丙得了4分，所以其余4 题都判断正确： 答案与解析 所以，6道题的正确答案为：1×，2/，3×，4/，5×，6×，所以丁 第2题、第3题，第5题判断错误，其余3题都正确，得3分.故 选D. 5.公理 6.1【解析】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以①为假命题： ②当n=10时，m十m十11=121=11'不是质数，所以②为假命题： ③根据平行的判定可知③为真命题 ④一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相 等或互补，所以④为假命题」 故答案为1. 7.【解】答案不唯一，示例如下， (1)选择的条件是①，②：结论是③：命题正确， (AF=AE. 理由如下：因为在△ACF和△ACE中，CF=CE, LAC=AC. 所以△ACF≌△ACE(SSS),所以∠FAC=∠EAC, 所以AC平分∠DAB (2)猜想：∠DAB+∠ECF=2∠DFC 证明：由(1)知△ACF≌△ACE(SSS),所以∠ACF=∠ACE, 所以∠ECF=2∠ACF 因为∠FAC=∠EAC,所以∠DAB=2∠FAC, 所以∠DAB+∠ECF=2(∠ACF+∠FAC). 因为∠DFC=180°-∠AFC=∠ACF+∠FAC, 所以∠DAB+∠ECF=2∠DFC 卷25平行线的证明 L.D【解析】A因为a⊥b.b∥c,所以a⊥c.故本选项错误： B.在同一平面内，当a⊥b,b⊥c时，a∥c,故本选项错误： C.当a∥b,bL时，a⊥c,故本选项错误： D.当a∥b,b∥c时，a∥e,故选项正确.故选D. 2.A【解析】①因为∠1=∠3，所以b∥c(同位角相等，两直线平 行)：②因为∠2=∠3，所以6∥（内错角相等，两直线平行）： ③∠1=∠4无法判定两直线平行：④因为∠2+∠5=180°，所以 b∥（同旁内角互补，两直线平行）.故选A. 3.A【解析】设∠EFB=x,则∠EFC=3.x,所以∠GFC,=4.因 为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFB=x,由折叠可得，∠GEF ∠DEF=x,∠GFC=∠GFC=4x,所以∠EFC=4x+x=5x 因为ED∥FC,所以∠GEF+∠EFC=x十5.r=180°，所以r =30°，所以∠GEF=30,故选A 4.60°【解析】因为∠A=50°，∠C=70°，所以∠B=60. 因为DE∥BC,所以∠B=∠ADE=60°.故答案为60 5.45°112"【解析】因为AB∥PQ,所以∠ABO=∠BOP=45 因为CD∥PQ,所以∠DCO+∠QXC=180°，即∠DO+68°= 180°，解得∠D0=112°.故答案为45°和112°. 6.15°或60°【解析】①如图①，当∠EFC=∠D=60时，BE∥ AD. 此时，∠FCE=75",则∠ACE=15": ②如图②.当∠BCD=∠D=60时，BC∥AD. D D 第6题答图 此时，∠ACE=90°-∠ECD=∠BCD=60°. 故答案为15或60°. 7.(1)【证明】因为CE∥AD,所以∠E=∠BAD. 因为AD平分∠BAC交BC于点D, 所以∠BAD=∠CAD-号∠BAC.所以∠E=∠CAD, 因为∠E∠F,所以∠CAD=∠F,所以AD∥BF (2)【解】因为AD∥BF,所以∠ABF=∠BAD=50 因为∠ABF-2∠ABC,所以∠ABC=25, 所以∠ADC=180°-∠ALDB=∠ABC+∠BAD=25+50°=75. 卷26专题平行线相关辅助线 1.B【解析】如图，过点E作EF∥AB, 因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠FEB=∠B=75,∠FED=∠D. 因为∠DEB=27°，所以∠FED=∠FEB-∠DEB=75°-27= 48°，所以∠D=48.故选B A B E硬-N B A 第1题答图 第2题容图 2.B【解析】如图，过点E作EN∥AB,过点F作FQ∥AB. 因为∠ABE=-号∠EBF,∠DCE=号∠EBCF,∠ABE=a: 所1以∠ABF=3a,∠IDCF=4∠ECD 因为AB∥CD,所以AB∥EN∥FQ∥CD. 所以∠BEN=∠ABE=a,∠ECD=∠CEN,∠ABF+∠BFQ 180°，∠DCF+∠CFQ=180, 所以∠ABE+∠ECD=∠BEN+∠CEN=∠BEC,∠ABF+ ∠BFQ+∠CFQ+∠DCF=180°+180°=360°， 即a+∠ECD=3.3a+y+4∠ECD=360°. 所以∠ECD=3-a,所以3a十y+4(B-a)=360°，即43-a十y= 360°.故选B. 3.【解】(I)BE∥CF∠EBC=∠FCB∠EBC∠FCB∠ABC ∠DCB内错角相等，两直线平行 (2)如图，延长BE交直线 B CD于点M, B 因为∠BEF=∠F,所以 BM∥CF, 所以∠BMC=∠IDCF 第3题答图 因为∠ABE=∠DCF, 所以∠BMC=∠ABE, 所以AB∥CD. 4.(1)【证明】过点E作EN∥AB,如图①所示， 因为AB∥CD.所以AB∥EN∥CD. 所以∠ABE=∠BEN,∠CDE ∠DEN,所以∠ABE+∠CDE=∠BEV B +∠DEN, 即∠ABE+∠CDE=∠BED. ....-N (2)【解】画图如图②中1和Ⅱ，∠MBA 与∠CDE的数量关系是∠MBA=fC D ∠CDE或∠MBA+∠CDE=180. 第4题答图① 分析：因为过点B作BM∥ED, 所以有以下两种情况： ①当点M在AB的下方时，如图②中I所示，设BM与AE交于 点P,点Q在线段CA的延长线上. 因为AB∥CD,所以∠PAB=∠ECD. 则∠APB+∠MBA=∠CED+∠CDE. 因为BM∥ED,所以∠APB=∠CED, 所以∠MBA=∠CDE. ②当点M在AB的上方时，如图②中Ⅱ所示，延长MB到点H, 由①可知∠HBA=∠CDE. 因为∠MBA+∠HBA=180°. 所以∠MBA+∠CDE=180. H D D 第4题答图②@ (3【解】因为CE平分∠ACD.所以∠ECA=∠ECD. 设∠ECA=∠ECD=a∠EAK=A, 则∠ACD=∠ECA+∠ECD=2. 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°， 即∠EAC+∠EAK+∠ACD=180°， 所1以∠EAC+3十2a=180. 因为∠EAC=∠EDC,所以∠EDC+B+2a=180°， 因为以点E为圆心，EA为半径画弧，交AB于点K, 所以EA=EK,所以∠EKA=∠EAK=A, 同(1)理可证∠AKE+∠EDC=∠KED=I06”. 所以∠EDC+9=106°，所以106°十2a=180, 所以a=37”,∠ECD=a=37° 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号12 34567 8910 答案C A CC A C D 1.C2.A 3.C【解析】在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得AC2=AB+ BC=1十2=5.因为四边形ADEC是正方形，所以SE方N购 =AC=5.故选C 4.C【解析】(1)因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°.所 以∠C+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形： (2)因为∠A￥∠B:∠C=1·23,∠A+∠B十∠C=180°，所 以∠C1十2+3×180=90，所以△ABC为直角三角形： 3 (3)因为=2一：，所以2+形=2，所以△AC为直角三角形： (4)因为ab:c=2:3:4,所以设a=2k,则6=3k,c=4块（其中 >0),2十≠2，所以△ABC不是直角三角形. 故能判定△ABC为直角三角形的条件有3个. 故选C 真题圈数学八年级上2N 5,A【解析】如图，设折断处离地面的高度 A AB为x尺，则AC=(10一x)尺 在Rt△ABC中， 由勾股定理得AB:十BC2=AC2, 所以x2+3=(10-x)2, 解得x=4.55. 即折断处离地而的高度为4.55尺 第5题答图 故选A. 6.C【解析】因为2+1.5=2.5，所以木板的长和宽中必须有一 个数据小于2.5m才可以从这扇门通过，所以选③号木板： 故选C 7.D【解析】因为AD⊥BC,所以∠D=90°.在Rt△ACD中，AC= 13,AD=12,AD+CD=AC,即12+CD=13,可得CD 5.因为BC=11,所以BD=BC+CD=11+5=16.在R△ABD 中，AD十BD=AB°，即12十16=AB,可得AB=20. 故选D 8.C【解析】将此长方形折叠，使点D与点B重合，所以BE =ED.因为AD=9m=AE十DE=AE+BE,所以BE=9 一AE,根据勾股定理可知AB十AE=BE,即3+AE =(9一AE)2,解得AE=4cm,所以△ABE的面积为3×4 ÷2=6(cm2).故选C. 9.B【解析】如图，作点B关于AC的 对称点B,连接BA,B'D,则∠BAC =∠BAC.设小正方形的边长为1， 则AB2=1+3=10,BD2=1+3罗 =10,AD=4+2=20,所以AB= BD.AB+BD=AD,所以△ABD D 是等腰直角三角形，且∠ABD=90. 所以∠BAD=45,所以∠BAC+ 第9题答图 ∠DAC=∠BAC+∠DAC=∠BAD=45,故选B. 10.D【解析】因为正方形ABCD的边长为4， 所以S,=AB=4=16. 因为△EAB是等腰直角三角形 所以EA=EB,EA十EB=AB, 所以EA=号AB=专S=8所以S=EA=8 同理S=7·8=克·S,5=安·5…，以此类推， =(号)广·S=(号)广.故选D 11.不能【解析】因为3十4'≠6，所以三根长度分别为3cm, 4cm,6cm的木棍不能围成一个直角三角形.故答案为不能. 12.3倍 13.2.5【解析】因为AB=AC=6.5m,BC=12m.BD=(CD= 号BC-号×12=6(m,所以AD1BC在R△ABD中，庙勾 股定理得AD=AB-BD=6.3-6=6.25,则AD=2.5m 故答案为2.5. 感应器A 14,1,5【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E, D. 因为AB=2.5m,BE=CD=L.6m,ED=BC 1.2m,则AE-AB-BE=2.5-1.6=0.9(m). 在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=AE+ DE2=0.9+1.2=2.25,可知AD=1.5m, CL 故答案为1.5 第14题容图真题因数学八年级上2N 第七章 证明 卷24 为什么要证明、认识证明 建议用时：30分钟满分：25分 一、选择题（每小题3分，共12分） 6.(月考·沈阳一二六中学)下列命题： 1.(期中·杭州滨江区)下列句子中，属于命题 ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行： 的是() ②对于所有自然数n,n2十n十11的值都是 A.直线AB和CD垂直吗？ 质数：③同位角相等，两直线平行：④如果一 B.过线段AB的中点C作AB的垂线 个角的两边分别平行于另一个角的两边，那 C.同旁内角不互补，两直线不平行 么这两个角相等.其中真命题有 D.已知a2=1,求a的值 个 2.(期末·郑州中原区)下列命题是假命题的 三、解答题（共7分） 是() 7.开放性试题如图，在四边形ABCD中，点E, A.正比例函数的图象一定经过原点 F分别在边AB,AD上，连接AC. B.直角三角形的两锐角互余 (1)从①AE=AF;②CE=CF;③AC平分 C.x轴上的点的横坐标均为0 D.两直线平行，同位角相等 ∠DAB这三个信息中，选择两个作为条件， 3.(期末·沈阳于洪区)能说明命题“对于任何 剩余的一个作为结论构成一个命题.试写出 实数a,a>一a"是假命题的一个反例可以 你所构造的命题，判断命题是否正确，并说 是( 明理由 A.a=-√2 Ba=局 你选择的条件是 ;结论 是 .(只要填写序号) D C.a=1 D.a=5 (2)在(1)的条件下，若 4.为了传承中华优秀传统文化，邗江某学校组 织“端午”知识微竞赛.竞赛的试题由6道判 ∠CBA=∠CDA=90°，猜 A 断题组成，参赛人员只要画“、/”或画“×”表 想∠DAB+∠ECF与 ∠DFC之间的数量关系， 第7题图 示出对各题的正误判断即可，每小题判断正 确得1分，判断错误得0分.竞赛A小组共 并证明你的猜想。 有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题 的判断与得分的结果如表所示，由此可以推 断丁同学的得分为( 第1题第2题第3题第4题第5题第6题得分 甲 1分 4分 丙 4分 A.6 B.5 C.4 D.3 二、填空题（每小题3分，共6分）》 5.“两点之间线段最短”是 (填“定义” “公理”或“定理”)， 30 真题天天练 卷25 平行线的证明 建议用时：30分钟满分：25分 一、选择题（每小题3分，共9分》 图，从点O照射到抛物线上的光线OB,OC L.下列说法正确的是() 等反射以后沿着与直线PQ平行的方向射 A.a、b、c是直线，若a⊥b,b∥c,则a∥c 出.图中如果∠BOP=45°，∠QOC=68°，那 B.a、b、c是直线，若a⊥b,b⊥c,则a⊥c 么∠ABO= ,∠DCO= C.a、b、c是直线，若a∥b,b⊥c,则a∥c 6.(期末·青岛市北区)小明将两个直角三角 D.a,b、c是直线，若a∥b,b∥c,则a∥c 形按如图方式（∠A=30°，∠B=45°，点C为 2.(期末·沈阳沈河区)如图，①∠1=∠3， 直角顶点)叠放在一起 ②∠2=∠3，③∠1=∠4，④∠2+∠5= 当∠ACE90°且点E在直线AC的上方时， 180°，可以判定b∥c的条件有() 他发现若∠ACE= ,则三角形BCE有 A.①②④ B.①②③ 一条边与斜边AD平行（写出所有可能） C.②③④ D.①②③④ 第6题图 D 三、解答题（共7分） 第2题图 第3题图 7.(月考·陕师大附中)如图，在△ABC中， 3.传统文化折纸是我国的传统文化，折纸不仅 AD平分∠BAC交BC于点D,过点C作 和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几 CE∥AD,交BA的延长线于点E,点F在 何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程 CA的延长线上，且∠E=∠F, 中既要动脑又要动手.如图，将一长方形纸条 (1)求证：AD∥BF. 首先沿着EF进行第一次折叠，使得C,D两 (2)若∠BAD=50°，∠ABF=2∠ABC,求 点分别落在C,D的位置，再将纸条沿着GF ∠ADC的度数 折叠(GF与BC在同一直线上)，使得C,D 两点分别落在C2,D的位置.若3∠EFB ∠EFC2,则∠GEF的度数为( A.30° B.36 C.45 D.60 二、填空题（每小题3分，共9分）》 4.(期末·深圳罗湖区)如图，在△ABC中，DE 第7题图 ∥BC,∠A=50°，∠C=70°，则∠ADE的度 数是 第4题图 第5题图 5.(期末·成都嘉祥外国语学校)太阳灶、探照 灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如 31 真题圈数学八年级上2N 卷26专题 平行线相关铺助线 1.(期中·西工大附中)如图，AB∥CD,∠B (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明 75°，∠E=27°，则∠D的度数为( ) 过程. A.45 B.48 C.50° D.58 A D B D 第1题图 第2题图 2.(期末·青岛市北区)如图，AB∥CD, ∠ABE=2∠EBF,∠DCE=3∠ECF,设 4.(期末·沈阳和平区)如图，已知直线AB∥ ∠ABE=a,∠E=B,∠F=y,则a,B,Y的数 CD,直线l与AB,CD分别交于点A,C 量关系是() (1)如图①，点E在线段AC上，连接BE, A.33-a+y=360°B.43-a十y=360 DE.求证：∠ABE+∠CDE=∠BED. C.33-2a-Y=360°D.49-a-y=360 (2)如图②，点E在线段AC的延长线上，连 3.方法探索【阅读·领会】在几何图形学习过 接DE,过点B作BM∥ED,试画出图形并 程中，为了帮助解题可在原图 直接写出∠MBA与∠CDE的数量关系. 的基础上添加直线或线段，比 如要证明直线a、b是否平行，可 (3)如图③，点E在AB,CD之间且CE平分 添加“第三条直线”（即图①中的第3题图① ∠ACD,∠EAC=∠EDC,以点E为圆心， 截线c),把判断两条直线的位置关系转化为 EA为半径画弧，交AB于点K.若∠KED 判断两个角的数量关系.我们称直线c为“辅 =106°，求∠ECD的度数. 助线” 【实践·体悟】如图②，已知∠ABE= ∠DCF,∠E=∠F.求证：AB∥CD, (1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线 的截线，请你帮他完成下列证明过程： ② 3 证明：连接BC 第4题图 因为∠E=∠F(已知)， 所以 (内错角相等，两直线平行)， 所以 (两直线平行，内错角相等). 因为∠ABE=∠DCF(已知)， 所以∠ABE十 =∠DCF+ (等 式性质)， 所以 (等量代换)， 所以AB∥CD( 备用图 第3题图 32