专题02 绝对值的化简（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题02 绝对值的化简 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值的非负性 1 题型二、利用数轴化简绝对值 2 题型三、分类讨论化简绝对值 5 题型四、几何意义化简绝对值 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值的非负性 1．，那么 ． 2．若，则的值为 ． 3．当 时，的值最小． 4．若式子有最小值，则该最小值为 题型二、利用数轴化简绝对值 5．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示， (1)比较大小： ______0， ______0， ______0， (2)化简 6．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简：________：________；________； (2)若，，，求的值． 7．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 8．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．    (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列； (3)化简：． 题型三、分类讨论化简绝对值 9.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 10.已知、，那么＝ 11.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 题型四、几何意义化简绝对值 12.阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 13.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 14. 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 15.观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 一、单选题 1．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．代数式有最小值是 ． 7．当 时，的值最大． 8．已知有理数、满足，则 ． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 10．已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 三、解答题 11．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空：_____；______；_____； (2)化简：． 12．根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 13．华师版《七年级上册》教材，第16页，我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    14．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 15．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 17．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的化简 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值的非负性 1 题型二、利用数轴化简绝对值 2 题型三、分类讨论化简绝对值 5 题型四、几何意义化简绝对值 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值的非负性 1．，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的非负性及非负数和为0成立的条件，根据题意，由绝对值的非负性及非负数和为0的条件列方程求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为0成立的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，且， 解得，， ∴， 故答案为：． 2．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 3．当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 4．若式子有最小值，则该最小值为 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据任何数的绝对值都是非负数解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，式子有最小值，最小值为． 故答案为：． 题型二、利用数轴化简绝对值 5．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示， (1)比较大小： ______0， ______0， ______0， (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项等知识点，能根据数轴得出，是解此题的关键． （1）根据数轴得出，，再根据有理数的加减运算法则得出答案即可； （2）根据（1）中结果，结合绝对值的性质，去括号法则，计算即可． 【详解】（1）解：由数轴，可得，， ∴，，． 故答案为：． （2）∵，，， ∴ ． 6．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简：________：________；________； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，代数式求值，求一个数的绝对值等等，熟知绝对值的定义是解题的关键． （1）根据数轴可判断出，据此根据绝对值的定义求解即可； （2）根据（1）结合已知条件可得a、b、c的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 7．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式的加减，绝对值化简，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． （1）根据数轴分别判断，，的正负，即可解题； （2）根据（1）中式子正负结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 所以，，， 故答案为：；；； （2）解： ． 8．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．    (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列； (3)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据相反数的意义在数轴上描点即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大即可解答； （2）根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：对应的点的位置如图所示：    （2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得： ． （3）解： ． 题型三、分类讨论化简绝对值 9.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 10.已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 11.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 题型四、几何意义化简绝对值 12.阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 13.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【答案】(1)5 (2)或3 (3) 【分析】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，直接计算即可； （2）根据绝对值的意义，得到数轴上数和之间的距离为4，进而得到数即可； （3）根据绝对值的意义，得到当在和2之间时，，进而确定整数的值，求和即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解：表示数轴上数和之间的距离为4， ∴或； 故答案为：或3． （3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7， ∵2和之间的距离为7， ∴当在和2之间时，， ∵为整数， ∴， ∴． 14. 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 15.观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 一、单选题 1．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 2．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 5．已知a，b为有理数，下列式子：①；②；③；④．其中一定能够表示a，b异号的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，与化简绝对值的方法逐项判断即可． 【详解】①，则，（否则，可推出，矛盾），即a与b异号，符合题意； ②， a与b异号，符合题意； ③，若成立，a与b不一定异号，不符合题意； ④，当时成立，不符合题意； 则其中一定能够表示a、b异号的有2个． 故选：B． 二、填空题 6．代数式有最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是3． 故答案为：3． 7．当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 8．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 10．已知a，b为实数，下列说法：①若，且c，b互为相反数，则；②若，则是正数；③若，则；④若，，且，则，其中正确的是 ．（填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，有理数运算法则． ①根据得出定a、b异号，不能判断，即可判断①错误； ②根据，分，时，，时，，时，，时，进行讨论，即可判断②正确； ③根据，得出，求出，即可判断③错误； ④根据，，得出，，得出，根据，得出，根据，得出要使成立必须使，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：①若，只能判定a、b异号，不能判断，且c，b互为相反数与没有关系，故①错误； ②若， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； ∴若，则是正数，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴要使成立必须使， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有②④． 故答案为：②④． 三、解答题 11．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空：_____；______；_____； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）观察数轴判断，，的正负和绝对值的大小关系，然后再根据有理数的加减法则进行判断即可； （2）根据有理数的加减法则判断，和的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵观察数轴可知：，， ∴，，， ． 12．根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“>”或“<”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】本题考查了化简绝对值，整式加减运算，运用数轴判断式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴得，则，即可作答． （2）根据进行逐个化简，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，由数轴得， 则， 故答案为：>，<，<； （2）解：∵， ∴ ． 13．华师版《七年级上册》教材，第16页，我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】定义应用：，0，6；学习总结：a，；学以致用：a 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、整式的加减等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 定义应用：根据绝对值的意义求解即可； 学习总结：根据定义应用的结论归纳总结即可解答； 学以致用：根据题意可得：，从而可得，然后利用绝对值的意义取绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：定义应用：；；． 故答案为：，0，6． 学习总结： 当时，；当时，； 故答案为：a，； 学以致用： 由数轴可得：， ∴， ． 故答案为：a． 14．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 15．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，化简绝对值，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1）2；（2）；3或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 解决问题：（1）当a、b都正数；（2）当a、b都是负数分别求解即可； 拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，代入计算即可． 【详解】解：（1）若，，有，，所以， （2）若，，有，，所以， 故答案为：（1）2；（2）； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设， 则， 的值为3或． 17．【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【答案】（1），；（2）或；（3）；或； 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程． （1）由两点间距离的定义可得，设表示的点与表示的点重合，且点到点和表示的点与点的距离相等，即可求得答案； （2）由，得到和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可得到答案； （3）根据点的位置化简绝对值求解即可求得及，分点在线段上和点位于点右侧两种情况列方程求解点的位置即可． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$