专题01 有理数的混合运算（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 有理数的混合运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的加减混合运算 1 题型二、有理数的乘除混合运算 3 题型三、有理数四则混合运算 4 题型四、含乘方的有理数混合运算 6 题型五、有理数混合运算错题复原问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的加减混合运算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及加法运算律，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可； （2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二、有理数的乘除混合运算 4.计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 先确定结果的符号，再将除法变为乘法，按照顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 5.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 6.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型三、有理数四则混合运算 7.计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法； 【详解】解： ． 8.计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 9.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中括号里的加法，最后算乘法即可． 【详解】解： ． 题型四、含乘方的有理数混合运算 10．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则乘法运算律，先计算乘方、小括号内和化简绝对值，然后在计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算小括号内的加法，再计算乘方，接着计算除法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解： ． 12． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 13．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法计算） 【答案】(1) (2)107 (3) (4)23 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键； （1）先化简绝对值，在运用有理数加减法法则解答即可； （2）根据运算法则先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解答； （3）先算乘除，再算加减即可解答； （4）先算乘方，在利用乘法分配律，最后算加减即可解答； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解答； （6）运用乘法分配律解答即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4）解：原式 ； （5） 解：原式 ； （6） 解：原式 ． 题型五、有理数混合运算错题复原问题 14.小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】此题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是关键． （1）根据有理数的运算法则进行判断即可； （2）先计算乘法和括号内的减法，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律； 故答案为：一 （2）解: 15.在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 16.在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号． 故答案为：二； （2）解：原式 ． 一、单选题 1．式子可以简写成（   ）的形式． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，化为省略加号的和的形式．根据减法的意义结合加上一个正数，其中的正号可以省略，从而可得答案. 【详解】解：， 故选：C 2．的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．将算式直接写出计算结果 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．先去括号，然后从左向右依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 5．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键； 根据有理数乘除法法则，从左往右先算除法，后算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 【答案】43 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键． 根据二进制计数法计算出结果即可． 【详解】解：根据二进制转化成十进制法则得， ， 故答案为：43． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，乘除混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． （1）原式运用加法交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先把除法转换为乘法后，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：    ． （2）解： 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘除运算法则可进行求解； （2）根据有理数的乘除运算法则可进行求解 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再根据加法法则进行运算，即可作答． （2）先运算乘方和化简绝对值，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行简便计算； （2）根据分配律进行计算； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)20 (2) (3)23 (4)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）利用加法的交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算； （3）先算绝对值、多重符号、乘法，再算加减即可； （4）线段乘方，再算乘除，后算加减． 【详解】（1） （2） （3） （4） 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘除运算，再进行减法运算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 14．计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算； （1）根据有理数加减法计算法则求解即可； （2）根据有理数加减法计算法则求解即可； （3）先计算绝对值，再利用分配律去括号，最后计算加减法即可； （4）先计算乘除法，再计算加法即可； （5）先把除法变成乘法，再计算乘法即可； （6）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】(1)错误 (2)①；解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据小杨的解答过程，可知他的计算错误； （2）根据小杨的解答过程，可以发现他在第①步出错了，然后先算括号内的式子，再算乘除法，最后算加法即可解答本题． 【详解】（1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 解：原式 ． 故答案为：①． 16．（1）计算：． （2）下面是小明有理数乘除混合运算的过程，并回答问题． 计算：． 解：原式  第一步   第二步 第三步 ①以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步出现错误的原因是______． ②请直接写出该算式的正确结果． 【答案】（1）；（2）①二；将两个负数相乘的结果误认为是负数；②4 【分析】（1）先把原式写成省略加号的和的形式，再把互为相反数的两个数先加，再计算即可； （2）先计算乘方运算，再确定结果的符号，同步把除法化为乘法，再计算即可． 【详解】解：（1）解：原式． （2）解：①二；将两个负数相乘的结果误认为是负数． ②原式 ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的混合运算，熟记运算顺序是解本题的关键． 17．（1）仔细阅读下列计算： 解：原式    ①              ②                 ③                    ④ 请判断上述计算是否正确，若有错误请指出其错误的步骤序号，并作出正确地解答． （2）计算：． 【答案】（1）正确；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行判断即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则：“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】解：（1）的计算过程完全正确； （2） ． 18．阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 【答案】(1)一； (2)，过程见解析； (3)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． 【详解】（1）解：根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故． （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的混合运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的加减混合运算 1 题型二、有理数的乘除混合运算 3 题型三、有理数四则混合运算 4 题型四、含乘方的有理数混合运算 6 题型五、有理数混合运算错题复原问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的加减混合运算 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 题型二、有理数的乘除混合运算 4.计算：． 5.计算： (1)； (2)． 6.计算： (1)； (2)． 题型三、有理数四则混合运算 7.计算： 8.计算： 9.计算：． 题型四、含乘方的有理数混合运算 10．计算：． 11．计算：． 12． 计算：． 13．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法计算） 题型五、有理数混合运算错题复原问题 14.小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 15.在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 16.在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 一、单选题 1．式子可以简写成（   ）的形式． A． B． C． D． 2．的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 3．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．将算式直接写出计算结果 ． 5．计算的结果为 ． 6．用十进制计数法表示正整数，如，用二进制计数法来表示正整数，如：，记作：，记作：，则表示数 ． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1) (2) 11．计算： (1) (2) (3) (4) 12．计算∶ (1) (2) (3) (4) 13．计算： (1) (2) (3) (4) 14．计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 15．计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 16．（1）计算：． （2）下面是小明有理数乘除混合运算的过程，并回答问题． 计算：． 解：原式  第一步   第二步 第三步 ①以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步出现错误的原因是______． ②请直接写出该算式的正确结果． 17．（1）仔细阅读下列计算： 解：原式    ①              ②                 ③                    ④ 请判断上述计算是否正确，若有错误请指出其错误的步骤序号，并作出正确地解答． （2）计算：． 18．阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$