第1、2章 有理数 有理数的运算（中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024新教材）

第1、2章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，解题关键是明确数轴上正数与负数的位置． 先根据数的位置，确定数表示的数是负数，所以它到原点的距离就是它的相反数，以此求解． 【详解】解：∵数位于数轴上原点的左边，数轴上原点的左边的数表示的是负数， ∴， ∴数到原点的距离是， 故选： B． 【融会贯通】 1．一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是， 故选：B． 2．数轴上，若A、B两点的距离为6，并且点A、B表示的数是互为相反数，则这两点所表示的数分别是 ． 【答案】3和 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，利用数轴上两点间距离计算即可． 【详解】解：点A、B表示的数是互为相反数， 设一个数为x，另一个数为， ， ， 当时，， 当时，， 故答案为：3和． 3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】a、b、c三个数对应的点的位置如图所示．下面四个关系式中，可能出现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，有理数的加减乘除运算，熟练掌握数轴信息，有理数的加减乘除运算法则，判断代数式的大小，是解本题的关键． 由数轴可得：，根据有理数的加减乘除运算逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴A，，∴A正确； B，∴B不正确； C，∴C不正确； D，∴D不正确． 故选：A． 【融会贯通】 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴是解题的关键．根据点在数轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图可知 ，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确． 故选B． 2．如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a，b，c，d的位置得出，，，的位置是解此题的关键．根据数轴和相反数比较即可． 【详解】解：因为从数轴可知：， 所以， 故答案为：． 3．数轴上表示a，b的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图， 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得． 故答案为：． 类型三、绝对值化简 【解惑】若有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据有理数在数轴上对应的点的位置进行化简即可得到答案． 【详解】解：原式， 故选B． 【融会贯通】 1．已知，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质．由，可得，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．已知a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键．先由数轴可得，，则可得出，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：，且， ∴，， ∴， 故答案为： 3．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值． 先根据数轴上点的位置判断出，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型四、有理数的运算律 【解惑】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 【融会贯通】 1．计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 2．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【分析】此题考查有理数的加法．加法交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；先把前两个数相加，或者把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：加法交换律；加法结合律． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键；利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 类型五、算筹问题 【解惑】如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，根据题意，结合正数和负数的意义即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：“”所表示的数是， 故选：D． 【融会贯通】 1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据例题的思路，以及正数和负数的意义，即可解答． 【详解】 解：若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是， 故选：C． 2．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键． 依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图表示的计算过程是：， 故答案为：． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，图1可列算式为，由此可推算图2列算式计算后的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法运算．根据图2列算式是解题的关键． 由题意知，图2列算式为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，图2列算式计算为， 故答案为：3． 类型六、程序流程图 【解惑】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 【融会贯通】 1．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可． 【详解】解∶开始输入的数为0， 解：返回继续运算； 输出结果； 故答案为∶ 3．如图，若开始输入的x的值为4，按所示的程序运算，最后输出的结果为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，根据题意结合有理数的运算法则计算并比较大小即可得解． 【详解】解：若开始输入的x的值为4，则，， 故最后输出的结果为19， 故答案为：19． 类型七、绝对值分类讨论 【解惑】|a|=3，|b|=1，且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．4 B．2或-4 C．-4 D．4或2 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质可得a=±3，b=±1，再根据a＞b，可得①a=3，b=1②a=3，b=-1，然后计算出a+b即可． 【详解】解：∵|a|=3，|b|=1， ∴a=±3，b=±1， ∵a＞b， ∴①a=3，b=1，则：a+b=4； ②a=3，b=-1，则a+b=2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了绝对值得性质，以及有理数的加法，关键是掌握绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个． 【融会贯通】 1．已知，，且，则的值是（ ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】A 【详解】解：∵|x|=3，|y|=2，且 ∴x=3，y=2或a=-3，b=-2 ∴x+y=3+2=5或x+y=-3-2=-5． 故选A． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】2或-10 【分析】利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出所求． 【详解】解：∵|a|=4＞a，|b|=6， ∴a=-4，b=6或-6， 当a=-4，b=6时，a+b=-4+6=2； 当a=-4，b=-6时，a+b=-4-6=-10． 故答案为：2或-10． 【点睛】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 3．已知，，且，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x=±3，y=6， ∵xy＜0， ∴x=-3，y=6， ∴x+y=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属于基础题型． 类型八、算24点 【解惑】嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 【答案】(1)18 (2) (3)1， (4) (5)（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，倒数的性质，科学记数法． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据倒数的性质即可确定； （4）根据科学记数法的定义解答即可； （5）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则取同号两张卡片， ∴都抽取负数，即卡片是、，乘积的为18，都抽取正数，即卡片是、，乘积的为16， ∴抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为18； （2）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则选取异号两数， ∴我抽取的2张卡片是、1，商的最小值； （3）解：∵各张卡片的倒数分别为，，，，，0没有倒数， ∴倒数最大是，最小是， ∴我抽取的2张卡片是1、，这两数的倒数分别是1、； （4）解：∵中取出非负数的卡片组成一个最大的数， ∴抽取的卡片是0、2、8、1，最大的数是8210， 用科学记数法表示为：； （5）解：抽取的卡片是、、8、1， 结果为24的算式． 【融会贯通】 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 2．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 【答案】(1)①；②；③7；④15；⑤625 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）①要使2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，应该用最小的数减去最大的数，据此可求解； ②要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解； ③要使2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，应该用两个最大的数相加，据此可求解； ④要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解； ⑤利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可； （2）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）解：①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后能得到一个最大的数，则最大的数为； （2）解：， ， ．（答案不唯一） 3．如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，乘积最大，最大是 (2)其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大是625 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方； （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为； 抽取两个数组成一个幂，最大为， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625； （3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 类型九、拆项法 【解惑】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，理解阅材料内容中的做拆项法，按照拆项法应用有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 3．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，； （2）解： ． 类型十、数轴对称折叠问题 【解惑】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②、两点表示的数分别是，5 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系， （1）根据对称的知识，若表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定对称中心是表示的点，则： ①表示3的点与对称中心距离为4，与左侧与对称中心距离为的点重合； ②由题意可得、两点距离对称中心的距离为6，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的点与表示2的点重合， ∴对称中心是原点， ∴表示1的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示1的点与表示的点重合， ∴对称中心是表示的点， ①表示3的点与表示表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合， ∴且、两点到的距离相等都为， 则点表示的数是，点表示的数是． ∴、两点表示的数分别是，5． 3．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1、2章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 2．数轴上，若A、B两点的距离为6，并且点A、B表示的数是互为相反数，则这两点所表示的数分别是 ． 3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 类型二、字母在数轴上比较大小 【解惑】a、b、c三个数对应的点的位置如图所示．下面四个关系式中，可能出现的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 2．如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 3．数轴上表示a，b的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列为 ． 类型三、绝对值化简 【解惑】若有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则（   ） A．0 B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 2．已知a、b在数轴上的位置如图所示，则 ． 3．数在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 . 类型四、有理数的运算律 【解惑】以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【融会贯通】 1．计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 2．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 3．计算： ． 类型五、算筹问题 【解惑】如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 【融会贯通】 1．中国人很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，图1可列算式为，由此可推算图2列算式计算后的结果为 ． 类型六、程序流程图 【解惑】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【融会贯通】 1．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 3．如图，若开始输入的x的值为4，按所示的程序运算，最后输出的结果为 ． 类型七、绝对值分类讨论 【解惑】|a|=3，|b|=1，且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．4 B．2或-4 C．-4 D．4或2 【融会贯通】 1．已知，，且，则的值是（ ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 2．已知，，则的值是 ． 3．已知，，且，则的值是 ． 类型八、算24点 【解惑】嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 【融会贯通】 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 2．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 3．如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可） 类型九、拆项法 【解惑】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【融会贯通】 1．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 2．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 3．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 类型十、数轴对称折叠问题 【解惑】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 3．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$