第1、2章 有理数 有理数的运算（基础类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024新教材）

第1、2章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、相反数、绝对值、倒数的认识 【解惑】的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【融会贯通】 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 3．的相反数是 ，7绝对值数是 ，倒数是 ． 类型二、相反意义的量 【解惑】一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【融会贯通】 1．2024年3月22日第三十二届世界水日的主题为“以水促和平”，提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小昆将节约用水5立方米记作立方米，那么浪费用水3立方米记作（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 2．若顺时针旋转记作，则逆时针旋转应记作 ． 3．一袋大米的标准质量是10千克，如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作 千克． 类型三、科学记数法与近似数 【解惑】我国最大的领海是南海，总面积有，将数据3500000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各数中，与880万最接近的是（   ） A．8801000 B．9000000 C．8891000 D．8008888 2．随着泼水节的到来，云南多地发布泼水舞曲，这些舞曲凭借轻快的曲风、动感的节奏火爆出圈．云南省临沧市耿马傣族佤族自治县于2023年推出的《up耿马》，就是在中国互联网成现象级传播的泼水节“神曲”，全网观看量超过100亿次，将数据“100亿”用科学记数法表示为 ． 3．用四舍五入法将1.904精确到百分位约为 ． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 2．若则 ． 3．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 类型五、有理数的分类 【解惑】把下面的有理数填入它所属于的集合的大括号内：，，，，，，，． 正数集合{______…}； 整数集合{______…}； 分数集合{______…}； 有理数集合{______…} 【融会贯通】 1．将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 2．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，0，，． （1）非负整数集合：｛ …｝； （2）正分数集合：｛ …｝ 3．把下列各数填在相应的大括号内： 6.75，，12，，0，，． 整数集合{_________________________________…} 正有理数集合{_________________________________…} 负有理数集合{_________________________________…} 类型六、点在数轴上表示并比较大小 【解惑】把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【融会贯通】 1．在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 2．把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，，0，，，． 3．在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 类型七、有理数加减混合运算 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： 3．计算： (1)； (2)； 类型八、有理数乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算 (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)． 类型九、含乘方的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) (3) (4) 类型十、正负数的应用 【解惑】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况． 【融会贯通】 1．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 2．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 3．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1、2章 有理数 有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、相反数、绝对值、倒数的认识 【解惑】的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数为 故选：A． 【融会贯通】 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和相反数的意义，熟练掌握绝对值和相反数的意义是解题的关键．先计算绝对值，再求其相反数． 【详解】解：∵， 的相反数为． ∴的相反数是． 故选：C． 2．已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 【答案】-4 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义． 根据倒数的定义，相反数的定义得到，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，m，n互为相反数， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．的相反数是 ，7绝对值数是 ，倒数是 ． 【答案】 3 7 【分析】本题考查相反数，倒数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值是它本身，积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是3，7绝对值数是7，倒数是； 故答案为：3，7，． 类型二、相反意义的量 【解惑】一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数可以表示具有相反意义的量．根据一个物体向右移动为正，则负数表示向左移动． 【详解】解：根据题意向右移动为正， 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米， 故选：C． 【融会贯通】 1．2024年3月22日第三十二届世界水日的主题为“以水促和平”，提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小昆将节约用水5立方米记作立方米，那么浪费用水3立方米记作（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，关键在于明确相反意义的量的定义．根据相反意义的量的概念，节约用水记作正数，则浪费用水应记作负数． 【详解】“节约用水5立方米”记作立方米，说明“节约”用正数表示，则其相反意义的“浪费”应用负数表示， “浪费用水3立方米”应记作立方米， 故选：A． 2．若顺时针旋转记作，则逆时针旋转应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，理解正负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．顺时针旋转记为“”，那么逆时针旋转就记为“”，据此回答即可． 【详解】解：顺时针旋转记作， 逆时针旋转应记． 故答案为： 3．一袋大米的标准质量是10千克，如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作 千克． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作千克， 故答案为：． 类型三、科学记数法与近似数 【解惑】我国最大的领海是南海，总面积有，将数据3500000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各数中，与880万最接近的是（   ） A．8801000 B．9000000 C．8891000 D．8008888 【答案】A 【分析】本题主要考查了近似数的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．将880万转换为具体数值，计算各选项与880万的绝对差值，差值最小者即为最接近的数． 【详解】解：880万 A、 B、 C、 D、 ∵A选项的差值最小，因此与880万最接近的数是8801000， 故选：A． 2．随着泼水节的到来，云南多地发布泼水舞曲，这些舞曲凭借轻快的曲风、动感的节奏火爆出圈．云南省临沧市耿马傣族佤族自治县于2023年推出的《up耿马》，就是在中国互联网成现象级传播的泼水节“神曲”，全网观看量超过100亿次，将数据“100亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．将原数写成的形式，是大于等于1小于10的数． 【详解】解：100亿 故答案为：． 3．用四舍五入法将1.904精确到百分位约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，将千分位四舍五入，即可求解． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为， 故答案为：． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：“几个非负数的和为时，这几个非负数都为”．根据非负数的性质求出、的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 2．若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型五、有理数的分类 【解惑】把下面的有理数填入它所属于的集合的大括号内：，，，，，，，． 正数集合{______…}； 整数集合{______…}； 分数集合{______…}； 有理数集合{______…} 【答案】，，；，0，，；，，，；，，，0，，，，． 【分析】本题考查了正数、整数、分数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、整数、分数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：， 正数集合{，，；…}； 整数集合{，0，，；…}； 分数集合{，，，；…}； 有理数集合{，，，0，，，，；…} 故答案为：，，；，0，，；，，，；，，，0，，，，． 【融会贯通】 1．将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 2．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，0，，． （1）非负整数集合：｛ …｝； （2）正分数集合：｛ …｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数．熟练掌握各自的定义是解题的关键． 根据有理数的分类填写． 【详解】解：（1）非负整数集合：{，0，…} （2）正分数集合：{，…} 3．把下列各数填在相应的大括号内： 6.75，，12，，0，，． 整数集合{_________________________________…} 正有理数集合{_________________________________…} 负有理数集合{_________________________________…} 【答案】整数集合，12， 正有理数集合，12，， 负有理数集合， 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据整数、正有理数、负有理数的定义分类即可． 【详解】解：整数集合，12，； 正有理数集合，12，，； 负有理数集合，． 类型六、点在数轴上表示并比较大小 【解惑】把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把各数连接起来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据正数都大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较出其大小并在数轴上表示出来即可； 本题考查了有理数大小的比较及在数轴上表示数，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：， 在数轴上表示为： 【融会贯通】 1．在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，将题目中的数据标在数轴上，根据数轴左边的数总是小于右边的数将各数用大于号连接起来，正确表示出各数是解题的关键． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 各数的相反数分别为：5，，，，，0.5，，， 它们的相反数用“”符号连接起来为：． 2．把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，，0，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数和根据数轴表示有理数的大小．在数轴上表示出各数，再按照数轴的特点从左到右用“”把各数连接起来即可． 【详解】解：在数轴上表示为： 按照从小到大的顺序用“”连接为：． 3．在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 【答案】见详解， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，先整理，，然后在数轴上逐个表示各个数，然后根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴在数轴上表示各数，如图所示： ， ∴． 类型七、有理数加减混合运算 【解惑】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 化简绝对值后，根据运算法则运算即可． 【详解】 解：原式 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则和运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型八、有理数乘除混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【融会贯通】 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）首先将除法转化成乘法，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （3）首先将原式转化成，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减和乘除运算，注意明确有理数的运算法则． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先确定符号，再根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型九、含乘方的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可求解； （2）先乘方，再乘法，最后算加减即可求解； （3）先乘方，再利用乘法分配律求解即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)14 (2)24 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练准确地进行计算是解题的关键． （1）先根据分配律计算乘法，再计算加减即可； （2）有括号先算括号里的，先算乘方，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先化简多重符号，再算加减即可； （2）先算乘方，去绝对值符号，再算乘法，最后算加减即可； （3）先化简多重符号，再算加减即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型十、正负数的应用 【解惑】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相反意义的量，标准质量记为0，比标准质量多记为正数，比标准质量少记为负数，据此求解即可． 【详解】解：样品的检测情况记录表格如下： 与标准质量的差值（单位：g） 0 袋数 1 4 3 4 3 【融会贯通】 1．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月是增长的 (2)表示营业额下降 (3)1月、2月、4月 【分析】本题考查了正负数的应用，正确理解负数的意义是解题关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得； （2）根据负数的意义即可得； （3）找出表格中增长率为负数和0的即可得． 【详解】（1）解：因为，，是正数， 所以3月、5月、6月是增长的． （2）解：今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降． （3）解：因为和是负数，0表示不变， 所以营业额没有增长的是1月、2月、4月． 2．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)平均速度为千米/小时 【分析】此题考查了正负数的应用，（1）把记录的数字相加即可得到结果；（2）根据路程÷速度=时间即可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东方，距离6千米； （2）解：（千米/小时）， 答：平均速度为千米/小时． 3．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【分析】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【点睛】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$