2.5—2.7 有理数的乘方与混合运算 近似数 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024新教材）

2.5—2.7 有理数的乘方与混合运算 近似数 一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a称为底数，n称为指数，读作：a的n次幂，或者a的n次方。 2.乘方的符号规律： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂均为0。 3.乘方的运算： 在进行有理数的乘方运算时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 二、有理数的混合运算 混合运算包括加减法混合运算、乘除法混合运算以及乘方与乘除法的混合运算。在进行混合运算时，应遵循以下规则： 1.加减法混合运算：加减法混合运算统一为加法符号，先定和的符号，再定和的绝对值的运算结果。 2.乘除法混合运算：乘除法混合运算统一为乘法符号，先定积的符号，再定积的绝对值的运算结果。 3.乘方与乘除法的混合运算：先乘方后乘除，再进行加减运算。 三、近似数 近似数是对精确数的一个近似值。在实际问题中，由于测量工具、测量方法等条件的限制，往往无法得到完全精确的结果，此时就需要使用近似数来表示。近似数的取值通常采用四舍五入的法则来确定。 巩固课内例1:有理数的乘方运算 1．计算：（    ） A． B． C．6 D．1 2．计算： ． 3．计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 巩固课内例2:有理数的乘方运算(与乘除混合) 1．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 3．计算：． 巩固课内例3:用科学记数法表示 1．据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．中国国际贸易持续增长，对“一带一路”沿线国家进出口再创新高，截至2023年9月，中国的进出口总值达到了3.74万亿元，即为3740000000000元，这不仅促进了我国出口和进口的增长，也为沿线国家的经济发展提供了有力支撑．其中3740000000000用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 巩固课内例4:科学记数法的计算 1．计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算，结果用科学记数法表示为 3．计算：(结果仍用科学记数法表示) (1) 3.8×103＋6.3×102； (2) 3.8×107－3.7×107； (3) (－8×104)×(1.3×103)； (4) (9.6×105)÷(3×103)． 巩固课内例5:含乘方的混合运算 1．下列四个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)； 巩固课内例6:有理数的混合应用——长方体问题 1．水池都是长方体，深为，底部尺寸为．1号阀门可将无水A池注满；2号阀门用来从A池向B池放水，可将A池中满池水放入B池；3号阀门用来从B池向C池放水，可将B池中满池水放入C池．若开始三池无水，同时打开1号、2号和3号阀门，那么当B池水深时，A池有（    ）的水． A．1.2 B．3.2 C．6 D．16 2．小明用A、B两种积木块交替而且无规律地拼成了一个大的长方体（如下图），已知大长方体的长是，一共用了块积木．那么积木用了( )块，积木用了( )块． 3．【立方体的体积】小芳家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽3分米，高6分米． (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） (2)鱼缸里原来水面高度与水面到鱼缸口高度的比是，在鱼缸里放入一块景观石后（景观石完全浸入水中），现在鱼缸里水面高度与水面到鱼缸口高度的比是，这块景观石的体积是多少立方分米？ 巩固课内例7:用计算器计算 1．下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 2．使用科学计算器开机后进行如下按键操作：则输出结果是 ． 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、幂的概念 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 2．的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 3．已知有理数： (1)请填空：底数是_________，指数是_________；底数是_________，指数是_________． (2)画出数轴，用数轴上的点表示上面各数，并用“”将它们连接起来． 类型二、乘方形式 1．我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．把写成乘方形式 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 类型三、比较科学记数法的大小 1．已知，下列关于值的叙述正确的是(   ) A．小于0 B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0 C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1 D．大于1 2．已知，比较a，b，c的大小关系，并用“<”连接 ． 3．比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 类型一、有理数乘方应用——分裂问题 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 2．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成 个细胞． 3．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 类型二、科学记数法的应用 1．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为 平方米． 3．一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 类型一、算24点 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 2．“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 类型二、规律问题 1．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 3．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 类型三、程序问题 1．一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 2．按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 3．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5—2.7 有理数的乘方与混合运算 近似数 一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a称为底数，n称为指数，读作：a的n次幂，或者a的n次方。 2.乘方的符号规律： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂均为0。 3.乘方的运算： 在进行有理数的乘方运算时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 二、有理数的混合运算 混合运算包括加减法混合运算、乘除法混合运算以及乘方与乘除法的混合运算。在进行混合运算时，应遵循以下规则： 1.加减法混合运算：加减法混合运算统一为加法符号，先定和的符号，再定和的绝对值的运算结果。 2.乘除法混合运算：乘除法混合运算统一为乘法符号，先定积的符号，再定积的绝对值的运算结果。 3.乘方与乘除法的混合运算：先乘方后乘除，再进行加减运算。 三、近似数 近似数是对精确数的一个近似值。在实际问题中，由于测量工具、测量方法等条件的限制，往往无法得到完全精确的结果，此时就需要使用近似数来表示。近似数的取值通常采用四舍五入的法则来确定。 巩固课内例1:有理数的乘方运算 1．计算：（    ） A． B． C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查乘方运算，根据乘方的意义计算即可. 【详解】解：， 选项中，B为，符合计算结果， 故选：B 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查乘方与绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先算乘方和绝对值，再算减法． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘，求多个相同因数的乘积的运算用乘方表示，例如：． 表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成假分数，可得：原式，表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成分数，可得：原式，表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示把分子进行乘方计算，其他部分不变，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算即可； 首先把转化成，可得：原式，表示个相乘，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解： ， 故答案为：； （5）解： ， 故答案为：； （6）解： ， 故答案为：． 巩固课内例2:有理数的乘方运算(与乘除混合) 1．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 2．计算： (1)=________． (2)=___________． (3)=___________． (4)=___________． 【答案】(1) (2) (3)10 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． （1）先计算乘方，括号里的，除法，再计算加减； （2）先计算乘方，绝对值里面的，除法，再计算绝对值与乘法，最后计算加减； （3）先计算乘方，再计算括号里面的，最后计算加减； （4）先计算绝对值，乘法，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4）原式 ． 3．计算：． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． 先分别计算绝对值，乘法，乘方，再计算加法． 【详解】解：原式． 巩固课内例3:用科学记数法表示 1．据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法． 直接根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：457万 故选：A 2．中国国际贸易持续增长，对“一带一路”沿线国家进出口再创新高，截至2023年9月，中国的进出口总值达到了3.74万亿元，即为3740000000000元，这不仅促进了我国出口和进口的增长，也为沿线国家的经济发展提供了有力支撑．其中3740000000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 3．用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将各个数写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：用科学记数法表示各数分别为： ①；②576万；③；④． 巩固课内例4:科学记数法的计算 1．计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的运算．通过提取公因数简化计算后，将结果调整为标准的科学记数法形式． 【详解】解： ， 因此，结果为，故C正确． 故选：C． 2．计算，结果用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．计算：(结果仍用科学记数法表示) (1) 3.8×103＋6.3×102； (2) 3.8×107－3.7×107； (3) (－8×104)×(1.3×103)； (4) (9.6×105)÷(3×103)． 【答案】(1)4.43×103;(2)1×106;(3)－1.04×108;(4)3.2×102 【分析】（1）、（2）根据整式的加、减法，可得答案． （3）、（4）根据整式的乘法、除法，可得答案． 【详解】解：（1）原式=3.8×103+0.63×103=4.43×103； （2）原式= （3.8－3.7）×107=1×106； （3）原式=－10.4×107=－1.04×108； （4）原式= (9.6÷3)×105-3=3.2×102． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 巩固课内例5:含乘方的混合运算 1．下列四个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，先计算出各个算式的结果，再根据负数正数，负数绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ∵， ∴计算结果最大的是B， 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律化简，再进行计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 巩固课内例6:有理数的混合应用——长方体问题 1．水池都是长方体，深为，底部尺寸为．1号阀门可将无水A池注满；2号阀门用来从A池向B池放水，可将A池中满池水放入B池；3号阀门用来从B池向C池放水，可将B池中满池水放入C池．若开始三池无水，同时打开1号、2号和3号阀门，那么当B池水深时，A池有（    ）的水． A．1.2 B．3.2 C．6 D．16 【答案】B 【分析】先求出长方体的体积，再分别求出三个阀门的进水效率，然后求出B池水深时所用的时间，最后根据时间即可求出A池的水深． 【详解】解：长方形的体积=， 1号阀门的进水效率= 2号阀门的进水效率= 3号阀门的进水效率= 当同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深时， 用时为： （分钟） A池水深为： 故选B． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，关键是根据工作量=工作效率工作时间，求同时打开1号、2号和3号阀门，B池水深所用时间． 2．小明用A、B两种积木块交替而且无规律地拼成了一个大的长方体（如下图），已知大长方体的长是，一共用了块积木．那么积木用了( )块，积木用了( )块． 【答案】 8 18 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，结合图形即可求解． 【详解】解：假设全用A积木，则B积木用了块， A积木用了块， 故答案为：8；18． 3．【立方体的体积】小芳家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽3分米，高6分米． (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） (2)鱼缸里原来水面高度与水面到鱼缸口高度的比是，在鱼缸里放入一块景观石后（景观石完全浸入水中），现在鱼缸里水面高度与水面到鱼缸口高度的比是，这块景观石的体积是多少立方分米？ 【答案】(1)平方分米 (2)立方分米 【分析】（1）已知鱼缸无盖，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积即可． （2）根据题意可知，现在的水的体积与原来的水的体积差等于景观石的体积．先算出水的高度差，再结合长方体的体积公式进行列式计算，即可作答． 此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 【详解】（1）解： （平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃176平方分米． （2）解：∵鱼缸里原来水面高度与水面到鱼缸口高度的比是 ∴原来水面高度是（分米） ∵现在鱼缸里水面高度与水面到鱼缸口高度的比是 ∴现在水面高度是（分米） 则现在的水的体积与原来的水的体积差等于景观石的体积 ∴（立方分米） ∴这块景观石的体积是立方分米 巩固课内例7:用计算器计算 1．下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：按键顺序对应的计算列式为， 故选：B． 2．使用科学计算器开机后进行如下按键操作：则输出结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查计算器-基础知识，解题的关键是掌握分数的按键和平方的按键，并依据其功能列出算式．根据题意列式为，再计算，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)371293 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （2）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （3）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （4）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，计算器的操作方法，熟知计算器的操作方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ＝ ＝． 类型一、幂的概念 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 2．的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 2 4 5 3 【分析】本题考查了乘方的定义． 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【详解】解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3． 故答案为：3，2；，4；5，3． 3．已知有理数： (1)请填空：底数是_________，指数是_________；底数是_________，指数是_________． (2)画出数轴，用数轴上的点表示上面各数，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1)，，， (2)数轴见解析； 【分析】（1）根据有理数乘方的相关概念：求n个相同因数乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂：求相同因式积的运算,叫做乘方；乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂； （2）根据数轴的三要素画出数轴，将已知有理数表示在数轴上，根据数轴上右边的数总是大于左边的数进行解答即可． 【详解】（1）解：底数是，指数是； 底数是，指数是； 故答案为：，，，； （2），，，， 有理数在数轴上表示如下： ∴． 【点睛】本题考查了乘方的概念，在数轴上表示有理数以及根据数轴比较有理数的大小，能够正确将原数化简并表示在数轴上是解本题的关键． 类型二、乘方形式 1．我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 2．把写成乘方形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键． 由乘方的定义即可得出结果． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 故答案为：． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 类型三、比较科学记数法的大小 1．已知，下列关于值的叙述正确的是(   ) A．小于0 B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0 C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1 D．大于1 【答案】B 【详解】， ，且比较接近0． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义，正确的移动小数点位数是解答本题的关键． 2．已知，比较a，b，c的大小关系，并用“<”连接 ． 【答案】 【分析】由题意得，，都采用了科学记数法，且都是正数，故只需比较10的乘方部分，10的指数越大，对应的数就越大，由此可得出答案． 【详解】解：，，， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小及科学记数法，掌握科学记数法比较数的大小的方法是解题关键． 3．比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成原数比较即可判断出； （2）根据即可判断出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）解：∵， ， ∴． 【点睛】本题主要考查的是比较有理数的大小和科学记数法的应用，掌握此类问题的比较方法是解题的关键． 类型一、有理数乘方应用——分裂问题 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22023与23的尾数相同，即可求解． 【详解】解：，， 的乘方的尾数每个循环一次， ， 与的尾数相同，为， 故选：A． 2．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成 个细胞． 【答案】32 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律是解决问题的关键．根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得5次分裂成个，计算即得． 【详解】解：经过1次分裂后：个， 经过2次分裂后：个， 经过3次分裂后：个， 经过4次分裂后：个， 经过5次分裂后：个， 故答案为：32． 3．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 类型二、科学记数法的应用 1．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量为，一张普通唱片的容量为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的多少倍？结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4万公顷平方米平方米， 故答案为：． 3．一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【答案】(1) (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘除混合运算，科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． （1）根据500粒大米重约10克，直接列式计算即可； （2）14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约的千克数可列式为，然后计算出答案即可； （3）直接用单价乘以重量即可得到答案； （4）直接用钱数除以每人每年的学费即可． 【详解】（1）解：500粒大米重约10克，那么一粒大米重约：（克）， 答：一粒大米重约克； （2）解：按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米， 那么一年大约能节约大米：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：可卖元； （4）解：（名）， 答：卖得的钱可供122640名失学儿童上一年学． 类型一、算24点 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 2．“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 【答案】 2 3 8 4 【分析】本题主要考查了四则混合运算，熟练的掌握四则混合运算的法则是解题的关键． 根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的．可以把24先分解成两个数的和、差、商、积的形式，然后再通过给的已知数字，尝试调整凑成得数是24，如，等； （1）先算小括号里的减法，用；再算乘法，；最后算乘法，；列综合算式为：； （2）先计算括号内的加法，；再计算另一个括号内的减法，； 最后将两个结果相乘，；列综合算式为：． 【详解】根据分析可知： “24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式：． （2）3，9，4，2，算式：． （答案不唯一） 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】(1)抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24 (2)抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 【详解】（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 类型二、规律问题 1．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵ ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵， ∴的末位数字是5． 故选：B． 2．计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的乘方中的数字变化规律，熟练掌握有理数的乘方运算、找出个位数字的变化规律是解答此题的关键． 通过前面几项结果中的个位数字的特点，归纳出变化规律：3，9，7，1依次循环；据此可以得出答案． 【详解】解：，，，，，，… 计算结果中的个位数字依次是：3，9，7，1，3，9，… 个位数的规律为：3，9，7，1依次循环； ， 的个位数字是9， 的个位数字是1； 故答案为：1． 3．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 类型三、程序问题 1．一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算程序的要求进行计算，到符合要求时输出结果． 【详解】解：第一次输入，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 应输出， 输出结果为． 故选：A ． 2．按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据程序列式，然后进行计算即可． 【详解】解： ； 3．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$