4.5 相似三角形判定定理的证明（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版（2024）

新课预习.培优卷 4.5相似三角形判定定理的证明 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•椒江区期末）如图，P是正方形ABCD内一点，BP＝BC，∠APD＝90°，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•荣昌区期末）如图，矩形ABCD中，CF＝2AF＝4，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接AC交DE于点F，过点F作FG⊥AC交CD于点G，则DG长为（　　） A．1 B．1.5 C． D． 4．（2025•南京模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的为（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 5．（2025•长沙模拟）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（　　） A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2 6．（2025•南山区校级三模）如图，△ABC中，D点为AB的中点，E点在AB上，F点在AC上，且EF∥BC．若AF＝7，FC＝3，则下列叙述何者正确？（　　） A．AE＝7，EB＝3 B． C．AD＝5 D．DE＜EB，DF与EC不平行 7．（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，过点A作AH⊥BC于点H，AH＝3，，点D是边BC上靠近点C的三等分点，连接AD，在AD上取中点F，连接BF并延长交AC于点E，取AB中点G，连接EG，则△AGE的面积为 　 　 ． 9．（2025•深圳模拟）如图，将正方形ABCD的边AB绕点A旋转到AP的位置，连接BP并延长，交边CD于点E，过点P作PF⊥BE，交边BC于点F，若，则的值为 　 　 ． 10．（2025•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，点D为边AB上的一点，BD＝2AD，∠ACD＝30°，点E为CD中点，∠BED＝60°，CD＝4，则AC＝ 　 　 ． 11．（2025春•邹城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，记斜边AC的中点为P1，连接BP1，过点P1作P1Q1⊥AB，垂足为Q1；记AP1的中点为P2，连接Q1P2，过点P2作P2Q2⊥AB，垂足为Q2…按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则P10Q9的长为 　 　 ． 12．（2025春•重庆期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接BD，BE平分∠CBD交CD于点E，点F是AD上一点，连接BF，EF，若∠EBF＝45°，则BF的长为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•临淄区期末）如图，已知△ABC是边长为a等边三角形，D为边AB上一点，且，作点A关于CD的对称点A′，连接A'C，A′D，A′D与BC交于点E． （1）求的值； （2）求的值． 14．（2025春•钢城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为t s（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　 　 cm，CP＝ 　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 15．（2025•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M，N在边BC上，且AB2＝AD•AC，∠BAN＝∠CAM，AM，AN分别交BD于点E，F． （1）求证：； （2）若O为BD的中点，连接ON，且BD2＝2BN•BC，求证：ON∥AB． 新课预习.培优卷 4.5相似三角形判定定理的证明 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】证明△EAF∽△DCF是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到AB＝CD，AB∥CD，可证明△EAF∽△DCF，得到，由进一步即可得到答案． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， ∴△EAF∽△DCF， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 2．（2025春•椒江区期末）如图，P是正方形ABCD内一点，BP＝BC，∠APD＝90°，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】作BF⊥AP于点F，PH⊥AD于点H，PE⊥CD于点E，则四边形PEDH是矩形，可证明PE∥BC，BP＝BA，则AF＝PF，推导出∠ABF＝∠DAP，进而证明△ABF≌△DAP，得AF＝DP，则AP＝2AF＝2DP，设DPm，则AP＝2m，求得BC＝CD＝AD5m，由S△APD5m•PHm×2m，求得DE＝PH＝2m，则CE＝3m，PE＝DHm，求得S△PCDm2，S△PBCm2，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：作BF⊥AP于点F，PH⊥AD于点H，PE⊥CD于点E， ∵四边形ABCD是正方形，∠APD＝90°， ∴BA＝BC＝AD＝CD，∠BFA＝∠APD＝90°，∠PHD＝∠HDE＝∠PED＝90°， ∴四边形PEDH是矩形， ∵∠PED＝∠BCD＝90°， ∴PE∥BC， ∴BP＝BC， ∵BP＝BA， ∴AF＝PF， ∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠DAP+∠BAF＝∠BAD＝90°， ∴∠ABF＝∠DAP， 在△ABF和△DAP中， ， ∴△ABF≌△DAP（AAS）， ∴AF＝DP， ∴AP＝2AF＝2DP， 设DPm，则AP＝2m， ∴BC＝CD＝AD5m， ∵S△APD5m•PHm×2m， ∴DE＝PH＝2m， ∴CE＝CD﹣DE＝5m﹣2m＝3m，PE＝DHm， ∵S△PCDCD•PE5m2m2，S△PBCBC•CE5m×3mm2， ∴， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（2025春•荣昌区期末）如图，矩形ABCD中，CF＝2AF＝4，∠ADC的角平分线DE交AB于点E，连接AC交DE于点F，过点F作FG⊥AC交CD于点G，则DG长为（　　） A．1 B．1.5 C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力． 【答案】D 【分析】证明CD＝2AE，AD＝AE，利用勾股定理，相似三角形的性质求出CD，CG可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝AB， ∴2， ∴CD＝2AE， ∵CF＝2AF＝4， ∴AF＝2，CF＝4，AC＝6， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠AED＝45°， ∴AE＝AD， ∴CD＝2AE， ∴AD，CD， ∵FG⊥AC， ∴∠CFG＝∠ADC＝90°， ∵∠FCG＝∠ACD， ∴△FCG∽△DCA， ∴， ∴， ∴CG＝2， ∴DG＝CD﹣CG2． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025•南京模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的为（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】图形的全等；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】证明△EBO≌△FAO（SAS），推出△EOF是等腰直角三角形，OG是线段EF的垂直平分线，再证明△DFO∽△OEG，△DOF∽△BGO，据此求解即可． 【解答】解：点O是正方形的中心，连接BD，则BD经过点O，连接OA，FG，OF，如图， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴∠EBO＝∠FAO，BO＝AO， 又∵BE＝AF， ∴△EBO≌△FAO（SAS）， ∴∠BOE＝∠AOF，OE＝OF， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOB＝∠BOE+∠EOA＝∠AOF+∠EOA＝∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∵OG⊥EF， ∴OG是线段EF的垂直平分线， ∴GE＝GF， ∵△AFG的周长为AF+AG+FG＝BE+AG+EG＝AB＝4， ∴△AFG的周长不变，故①正确； ∵BE＝1， ∴BE＝AF＝1， 设FG＝a，则EG＝a，AG＝4﹣1﹣a＝3﹣a， 在Rt△AFG中，由勾股定理得12+（3﹣a）2＝a2 解得，即，故②正确； ∵△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF， ∴ ∵∠DFO＝∠AOF+∠FAO＝∠AOF+45°，∠GEO＝∠BOE+∠EBO＝∠BOE+45° 又∵∠BOE＝∠AOF， ∴∠DFO＝∠GEO， ∴△DFO∽△OEG， ∴， ∵OE＝OF，GE＝GF， ∴DF•FG＝OF2，故④正确； ∵△DFO∽△OEG， ∴∠DOF＝∠BGO， 又∵∠FDO＝∠OGB＝45° ∴△DOF∽△BGO， ∴， ∵DO≠DF，，故③错误； 综上，①②④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似或全等三角形． 5．（2025•长沙模拟）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（　　） A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意及平行四边形的性质，证明△ABF∽△CEF，即可解答． 【解答】解：∵DE：EC＝1：2， ∴EC：CD＝2：3， ∵平行四边形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD， 即EC：AB＝2：3， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴BF：EF＝AB：EC＝3：2， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 6．（2025•南山区校级三模）如图，△ABC中，D点为AB的中点，E点在AB上，F点在AC上，且EF∥BC．若AF＝7，FC＝3，则下列叙述何者正确？（　　） A．AE＝7，EB＝3 B． C．AD＝5 D．DE＜EB，DF与EC不平行 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】由AF＝7，FC＝3，求得AC＝10，假设AE＝7，EB＝3正确，则AB＝10，所以AC＝AB，与已知条件不符，可判断A不符合题意；由EF∥BC，证明△AEF∽△ABC，则，故B不符合题意；假设AD＝5正确，由D为AB的中点，得AB＝10＝AC，与已知条件不符，可判断D不符合题意；连接DF、EC，设EB＝3m，由，得AEEB＝7m，则AB＝10m，求得AD＝BD＝5m，所以DE＝2m，可知DE＜EB，由，可知DF与EC不平行，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AF＝7，FC＝3， ∴AC＝AF+FC＝10， 假设AE＝7，EB＝3正确，则AB＝AE+EB＝10， ∴AC＝AB，与已知条件不符， 故A不符合题意； ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 故B不符合题意； 假设AD＝5正确， ∵D为AB的中点， ∴AB＝10＝AC，与已知条件不符， 故D不符合题意； 连接DF、EC，设EB＝3m， ∵， ∴AEEB＝7m， ∴AB＝AE+EB＝10m， ∴AD＝BDAB＝5m， ∴DE＝BD﹣EB＝2m， ∴DE＜EB， ∵， ∴DF与EC不平行， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 7．（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】B 【分析】先证明△AEF∽△ABD，则根据相似三角形的性质得到，从而可对A选项和C选项进行判断；再证明△AFG∽△ADC，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，从而可对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，所以A选项和C选项的结论错误； ∵FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∴，所以B选项的结论正确； ∵FG∥DC， ∴，所以D选项的结论错误． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，过点A作AH⊥BC于点H，AH＝3，，点D是边BC上靠近点C的三等分点，连接AD，在AD上取中点F，连接BF并延长交AC于点E，取AB中点G，连接EG，则△AGE的面积为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积． 【专题】推理能力． 【答案】． 【分析】连接DE，由三角形中线等分面积，设S△AFB＝S△DFB＝y，S△AFE＝S△DFE＝x，由点D是边BC上靠近点C的三等分点，得到，则S△ECD＝S△ACD﹣S△AFE﹣S△DEF＝y﹣2x，S△EBD＝S△EFD+S△BFD＝x+y，那么，解得y＝5x，，再求出△ABC的面积即可． 【解答】解：连接DE， ∵点F为AD中点， ∴S△AFB＝S△DFB，S△AFE＝S△DFE， 设S△AFB＝S△DFB＝y，S△AFE＝S△DFE＝x， ∵点D是边BC上靠近点C的三等分点， ∴， ∵S△ABD＝S△AFB+S△DFB＝2y， ∴S△ACD＝y， ∴S△ECD＝S△ACD﹣S△AFE﹣S△DEF＝y﹣2x，S△EBD＝S△EFD+S△BFD＝x+y， ∴， 解得：y＝5x， ∴， ∵AH⊥BC于点H，AH＝3，， ∴， ∴ ∵AB中点G， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，中线等分面积，熟练掌握共高三角形面积比等于底之比是解题的关键． 9．（2025•深圳模拟）如图，将正方形ABCD的边AB绕点A旋转到AP的位置，连接BP并延长，交边CD于点E，过点P作PF⊥BE，交边BC于点F，若，则的值为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】作AH⊥BE于点L，交BC于点H，由正方形的性质得AB＝BC＝CD，∠ALB＝∠ABH＝∠C＝90°，推导出∠BAH＝∠CBE，进而证明△ABH≌△BCE，则BH＝CE，由旋转得AP＝AB，则BL＝PL，可证明AH∥PF，则1，所以BH＝FH，设BF＝6m，则BH＝CEBF＝3m，由，由CFBF＝2m，则CD＝CB＝8m，求得DE＝5m，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AH⊥BE于点L，交BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形，点E在CD边上， ∴AB＝BC＝CD，∠ALB＝∠ABH＝∠C＝90°， ∴∠BAH＝∠CBE＝90°﹣∠ABE， 在△ABH和△BCE中， ， ∴△ABH≌△BCE（ASA）， ∴BH＝CE， 由旋转得AP＝AB， ∴BL＝PL， ∵AH⊥BE，PF⊥BE， ∴AH∥PF， ∴1， ∴BH＝FH， 设BF＝6m，则BH＝CEBF＝3m， ∵， ∴CFBF＝2m， ∴CD＝CB＝CF+BF＝8m， ∴DE＝CD﹣CE＝5m， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．（2025•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，点D为边AB上的一点，BD＝2AD，∠ACD＝30°，点E为CD中点，∠BED＝60°，CD＝4，则AC＝ 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】取AD的中点F，连接FE，延长BE交AC于点H，因为点E为CD中点，所以FE∥AC，FEAC，而∠ACD＝30°，∠CEH＝∠BED＝60°，则∠CHE＝90°，因为CD＝4，所以CE＝DECD＝2，HECE＝1，求得CH，设AF＝DF＝m，则AD＝2m，BD＝2AD＝4m，求得FB＝5m，AB＝6m，可证明△BFE∽△BAH，则，所以FEAH，于是得AC（AC），求得AC，于是得到问题的答案． 【解答】解：取AD的中点F，连接FE，延长BE交AC于点H， ∵点E为CD中点，∠ACD＝30°，∠BED＝60°， ∴FE∥AC，FEAC，∠CEH＝∠BED＝60°， ∴∠CHE＝180°﹣∠ACD﹣∠CEH＝90° ∵CD＝4， ∴CE＝DECD＝2， ∴HECE＝1， ∴CH， 设AF＝DF＝m，则AD＝2m， ∴BD＝2AD＝4m， ∴FB＝DF+BD＝5m，AB＝AD+BD＝6m， ∵FE∥AH， ∴△BFE∽△BAH， ∴， ∴FEAH， ∴AC（AC）， 解得AC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．（2025春•邹城市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，记斜边AC的中点为P1，连接BP1，过点P1作P1Q1⊥AB，垂足为Q1；记AP1的中点为P2，连接Q1P2，过点P2作P2Q2⊥AB，垂足为Q2…按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则P10Q9的长为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；规律型：图形的变化类；直角三角形斜边上的中线． 【专题】规律型；推理能力． 【答案】． 【分析】根据已知分别求出P1B，P2Q1，P3Q2，发现变化规律即可． 【解答】解：在 Rt△ABC中，点P1为AC中点，AC＝2， ∴， 在RtΔAP1Q1中，点P2为AP1中点，AP1＝1， ∴， 同理， …， ∴， 当n＝9时，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解． 12．（2025春•重庆期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接BD，BE平分∠CBD交CD于点E，点F是AD上一点，连接BF，EF，若∠EBF＝45°，则BF的长为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】由矩形的性质推出∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，由勾股定理求出BD5，由角平分线的性质推出FA＝FH，由三角形的面积公式得到AB•AD＝（AB+BD）•AF，求出AF的长，由勾股定理即可求出BF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3， ∵AB＝4， ∴BD5， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， ∵∠EBF＝45°， ∴∠ABF+∠CBE＝90°﹣45°＝45°， ∵∠DBE+∠DBF＝45°， ∴∠ABF+∠CBE＝∠DBE+∠DBF， ∴∠ABF＝∠DBF， ∴BF平分∠ABD， 过F作FH⊥BD于H， ∵FA⊥AB， ∴FA＝FH， ∵△ABD的面积＝△ABF的面积+△FBD的面积， ∴AB•ADAB•AFBD•FH， ∴AB•AD＝（AB+BD）•AF， ∵AB＝4，AD＝3，BD＝5， ∴AF， ∴BF． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到AB•AD＝（AB+BD）•AF． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•临淄区期末）如图，已知△ABC是边长为a等边三角形，D为边AB上一点，且，作点A关于CD的对称点A′，连接A'C，A′D，A′D与BC交于点E． （1）求的值； （2）求的值． 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由轴对称的性质得到CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A，求出，ADa，得到，判定△CEA′∽△DEB，推出； （2）令CE＝5x，DE＝2x，由△CEA′∽△DEB，推出，得到，求出xa，得到CEa，求出BEa，即可得到的值． 【解答】解：（1）∵等边△ABC的边长是a， ∴BC＝AB＝AC＝a， ∵点A关于CD的对称点是A′， ∴CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A， ∵， ∴，ADa， ∴， ∵∠CEA′＝∠BED，∠A′＝∠A， ∴△CEA′∽△DEB， ∴； （2）令CE＝5x，DE＝2x， ∴BE＝a﹣5x，EA′a﹣2x， ∵△CEA′∽△DEB， ∴， ∴， ∴xa， ∴CE＝5xa， ∴BE＝BC﹣CEa， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，关键是判定△CEA′∽△DEB，推出． 14．（2025春•钢城区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为t s（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　t　 cm，CP＝ 　（5﹣2t）　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【考点】相似三角形的判定与性质；列代数式． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）t，（5﹣2t）； （2）t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度即可； （2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝3cm，BC＝4cm， ∴AC＝5cm，AP＝2t cm， ∴PC＝（5﹣2t）cm，CQ＝t cm， 故答案为：t，（5﹣2t）； （2）如图1，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝90°时，△CPQ∽△CAB， ∴， 即， 解得（秒）； 如图2，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△CBA， ∴， 即， 解得（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论． 15．（2025•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M，N在边BC上，且AB2＝AD•AC，∠BAN＝∠CAM，AM，AN分别交BD于点E，F． （1）求证：； （2）若O为BD的中点，连接ON，且BD2＝2BN•BC，求证：ON∥AB． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】见解析； 【分析】（1）先证明△ABD∽△ACB，得到，∠ABD＝∠ACB，再根据∠BAN＝∠CAM，得出∠BAM＝∠CAN，得到△BAE∽△CAN，得出，从而得证； （2）根据BD2＝2BN•BC，O为BD中点，∠OBN是公共角，得到△BON∽△BCD，得出∠BON＝∠C，再根据△ABD∽△ACB，得出∠ABD＝∠C，得到∠BON＝∠ABD，从而得证ON∥AB． 【解答】证明：（1）∵AB是线段AD与AC的比例中项， ∴， ∵∠BAC是公共角， ∴△ABD∽△ACB， ∴，∠ABD＝∠ACB， ∵∠BAN＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAE∽△CAN， ∴， ∴， ∴； （2）∵BD2＝2BN•BC，O为BD中点， ∴BD2＝BN•BC＝BO•BD， ∵∠OBN是公共角， ∴△BON∽△BCD， ∴∠BON＝∠C， ∵△ABD∽△ACB， ∴∠ABD＝∠C， ∴∠BON＝∠ABD， ∴ON∥AB． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$