4.4 探索三角形相似的条件（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版（2024）

新课预习.培优卷 4.4 探索三角形相似的条件 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•莱芜区期末）在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，BD、AE交于点F，下列不能判定△BCD∽△ACE的是（　　） A． B．DF•FB＝AF•EF C．∠CDB＝∠AEC D． 2．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 3．（2025春•青神县期中）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 4．（2024秋•渠县期末）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•淮北三模）如图，E是BC上一点，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，连接AD．若∠EAD＝∠DEC，则下列结论中错误的是（　　） A．DE平分∠ADC B． C．BE＝CE D．△ADE∽△EDC 6．（2025•邹城市二模）如图，四边形ABCD和OEFG是正方形，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，点E和点G分别在边AB和BC上，直线FG交直线OB于点P，交直线AB于点M，下列说法错误的是（　　） A．△AOE≌△BOG B．△AOE∽△GEM C．若∠BEG＝20°，则∠BPG＝120° D．若四边形ABCD的边长为2，则EG长度的最小值为 7．（2025•南陵县一模）如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD，补充下列条件后仍不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC•CD D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），点E是AD边上一定点，且AE＝2．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 　 　 ． 9．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为　 　 秒． 10．（2025•临川区校级一模）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　 　 ． 11．（2025•安庆二模）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 　 　 ． 12．（2024秋•梅里斯区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•姑苏区期末）如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 14．（2025春•张店区校级月考）如图：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，P是AB上一点，且AP＝3，若Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 15．（2025春•瑶海区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF． 新课预习.培优卷 4.4 探索三角形相似的条件 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•莱芜区期末）在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，BD、AE交于点F，下列不能判定△BCD∽△ACE的是（　　） A． B．DF•FB＝AF•EF C．∠CDB＝∠AEC D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】由，∠C＝∠C，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△BCD∽△ACE，可判断A不符合题意；由DF•FB＝AF•EF，得，可证明△BFE∽△AFD，推导出∠CBD＝∠CAE，而∠C＝∠C，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCD∽△ACE，可判断B不符合题意；由∠CDB＝∠AEC，∠C＝∠C，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCD∽△ACE，可判断C不符合题意；因为，∠C＝∠C不符合相似三角形的判定定理，所以不能判定△BCD∽△ACE，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACE， 故A不符合题意； ∵DF•FB＝AF•EF， ∴， ∵∠BFE＝∠AFD， ∴△BFE∽△AFD， ∴∠EBF＝∠DAF，即∠CBD＝∠CAE， ∵∠CBD＝∠CAE，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACE， 故B不符合题意； ∵∠CDB＝∠AEC，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACE， 故C不符合题意； ∴，∠C＝∠C不符合相似三角形的判定定理， ∴由不能判定△BCD∽△ACE， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理证明△BCD∽△ACE是解题的关键． 2．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行判断；当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对B选项进行判断；当添加∠1+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断；当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断． 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时， ∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意； 当添加CD∥AB时， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意； 当添加∠1+∠4＝180°时， ∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意； 当添加∠2＝∠3时， ∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND ∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质． 3．（2025春•青神县期中）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】证明题；图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】通过题图发现∠A是公共角，利用相似三角形的判定方法，逐个判断得结论． 【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A， 当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC， 都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法， 故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB； 由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时， 满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法， 故添加条件C能判断△ABP∽△ACB； 当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法， 故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 4．（2024秋•渠县期末）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【解答】A、∵有两边对应边成比例但是夹角不相等， ∴两三角形不相似， 故该选项符合题意； B、∵，，∠A＝∠A，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； C、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； D、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 5．（2025•淮北三模）如图，E是BC上一点，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，连接AD．若∠EAD＝∠DEC，则下列结论中错误的是（　　） A．DE平分∠ADC B． C．BE＝CE D．△ADE∽△EDC 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AD于点F，首先得出∠EAD+∠ADE＝∠DEC+∠EDC＝90°，得到∠EAD＝∠DEC，等量代换得到∠ADE＝∠EDC，即可判断A；结合∠AED＝∠C＝90°即可得到△ADE∽△EDC，即可判断D；根据同角的余角相等得到∠BAE＝∠DEC，等量代换得到∠BAE＝∠EAD，然后根据角平分线的性质定理得到BE＝FE，EF＝EC，即可得到BE＝EC，进而判断C；首先得到，证明出△ABE∽△ECD，得到，然后等量代换得到BC2＝4AB•CD，即可判断B； 【解答】解：AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，如图，过点E作EF⊥AD于点F， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝∠DEC+∠EDC＝90°， ∵∠EAD＝∠DEC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴DE平分∠ADC， 故A正确，不符合题意； 又∵∠AED＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△EDC， 故D正确，不符合题意； ∵AE⊥DE，AB⊥BC， ∴∠B＝∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∵∠EAD＝∠DEC， ∴∠BAE＝∠EAD， ∵AB⊥BC，EF⊥AD， ∴BE＝FE， ∵DE平分∠ADC， ∴EF＝EC， ∴BE＝EC， 故C正确，不符合题意； ∴， ∵∠BAE＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴BE•EC＝AB•CD，即， ∴BC2＝4AB•CD， 故B错误，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2025•邹城市二模）如图，四边形ABCD和OEFG是正方形，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，点E和点G分别在边AB和BC上，直线FG交直线OB于点P，交直线AB于点M，下列说法错误的是（　　） A．△AOE≌△BOG B．△AOE∽△GEM C．若∠BEG＝20°，则∠BPG＝120° D．若四边形ABCD的边长为2，则EG长度的最小值为 【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到∠AOB＝∠EOG＝90°，OA＝OB，OE＝OG，则∠AOE＝∠BOG，所以根据“SAS”可证明△AOE≌△BOG，于是可对A选项进行判断；根据正方形的性质得到∠OAE＝∠OEG＝∠EGM＝45°，再利用三角形外角性质证明∠MAG＝∠EOA，则根据相似三角形的判定方法得到△AOE∽△GEM，从而可对B选项；由于∠BOG＝∠AOE＝∠BEG＝20°，则利用三角形外角性质计算出∠BPG＝110°，于是可对C选项进行判断；根据正方形的性质得到EGOG，根据垂线段最短，当OG⊥BC时，OG得长度最小，则根据正方形的性质得到此时OGBC＝1，从而得到EG长度的最小值为，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：∵四边形ABCD和OEFG是正方形， ∴∠AOB＝∠EOG＝90°，OA＝OB，OE＝OG， ∴∠AOE＝∠BOG， 在△AOE和△BOG中， ， ∴△AOE≌△BOG（SAS），所以A选项的说法正确； ∵四边形ABCD和OEFG是正方形， ∴∠OAE＝∠OEG＝∠EGM＝45°， ∵∠OEM＝∠OAE+∠EOA， 即∠MEG+45°＝45°+∠EOA， ∴∠MAG＝∠EOA， 而∠EGM＝∠OAE， ∴△AOE∽△GEM，所以B选项的说法正确； ∵∠BOG＝∠AOE＝∠BEG＝20°， ∴∠BPG＝∠PGO+∠POG＝90°+20°＝110°，所以C选项的说法错误； ∵四边形OEFG是正方形， ∴EGOG， ∵当OG⊥BC时，OG得长度最小，此时OGBC＝1， ∴EG长度的最小值为，所以D选项的说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了正方形的性质和勾股定理、全等三角形的判定． 7．（2025•南陵县一模）如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD，补充下列条件后仍不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC•CD D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】三角形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得∠DAC＝∠ACB，当∠ADC＝∠BAC时，则△ADC∽△BAC，据此可对选项A进行判断；根据∠DAC＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB得△ADC∽△BAC，据此可对选项B进行判断；根据AC2＝BC•CD得到，再根据∠DAC＝∠ACB得△ADC∽△BAC，据此可对选项出C进行判断；虽然，但无法判定∠D＝∠BAC即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵CA平分∠BCD， ∴∠DAC＝∠ACB， 对于选项A， ∵∠ADC＝∠BAC，∠DAC＝∠ACB， ∴△ADC∽△BAC， ∴选项A中的条件能判定△ADC和△BAC相似， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵∠DAC＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB， ∴△ADC∽△BAC， ∴选项B中的条件能判定△ADC和△BAC相似， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵AC2＝BC•CD， ∴， 又∵∠DAC＝∠ACB， ∴△ADC∽△BAC， ∴选项C中的条件能判定△ADC和△BAC相似， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵， 但是根据已知条件无法判定∠D＝∠BAC， ∴选项D中的条件不能判定△ADC和△BAC相似， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），点E是AD边上一定点，且AE＝2．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 　2＜m＜8且m≠6　 ． 【考点】相似三角形的判定；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力． 【答案】2＜m＜8且m≠6． 【分析】根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 【解答】解：延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1，连接CE，以CE为直径作⊙O交AB于点F2、F3，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△AE′F1∽△BCF1， 由轴对称的性质可得：△AEF1≌△AE′F1， ∴△AEF1∽△BCF1， 当m＝4时， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝8， ∴ED＝AD﹣AE＝6， ∴CE10， 即图中⊙O的直径为5，作OG⊥CD于点G， 根据垂径定理，得CG＝DG， ∴OG∥AD，OGDE＝3， ∴此时图中所作⊙O的圆心到AB的距离为8﹣3＝5，等于⊙O的半径， 此时F2，F3重合， 此时△AEF2∽△BCF2，即当m＝4时，符合条件的F有2个，为F2，F1； 当m＞8时，图中所作⊙O和AB相离，此时F2，F3不存在了，即此时符合条件的F只有1个，为F1， 当m＝6时，且△AEF∽△BFC时， ∴， 设AF＝x， ∵AB＝8，BC＝6（m＞1），AE＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴， 解得x1＝2，x2＝6； 当△AEF∽△BCF时， ∴， 设AF＝x， ∵AB＝8，BC＝m（m＞1），AE＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴， 解得x＝2， 故m＝6时，符合题意的点F有两个， 故当2＜m＜8且m≠6有3个， 故答案为：2＜m＜8且m≠6． 【点评】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（2025•临沧模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为　3或4.8　 秒． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】3或4.8． 【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12， ∴t＝3； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6， ∴t＝4.8． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故答案为：3或4.8． 【点评】本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键． 10．（2025•临川区校级一模）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　8.4或2或12　 ． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可． 【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当时，△ABP∽△CDP， 即， 解得：x， ∴BP＝148.4， 当时，△ABP∽△PDC，即； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 11．（2025•安庆二模）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 　6≤AP＜8　 ． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】6≤AP＜8． 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围． 【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜8； 如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤8； 如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8， ∴CP＝2，AP＝6， ∴此时，6≤AP＜8； 综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8． 故答案为：6≤AP＜8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 12．（2024秋•梅里斯区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　或　 ． 【考点】相似三角形的判定；翻折变换（折叠问题）． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】或． 【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， 当△APD与△ABC相似时， ∵点D始终在边AC上， 根据折叠PB＝PD， 设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x， ∴分两种情况： ①△APD∽△ABC， 此时∠ADP＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， ②△APD∽△ACB， 此时∠APD＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， 综上，AP的长为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•姑苏区期末）如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质求解； （2）利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【解答】（1）解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴3， ∴DE； （2）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 14．（2025春•张店区校级月考）如图：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，P是AB上一点，且AP＝3，若Q在AC上，试确定Q点的位置，使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【考点】相似三角形的判定． 【答案】见试题解答内容 【分析】由∠A是公共角，可得当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，继而求得答案． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC， 即3：5＝AQ：4， 解得：AQ； 当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB， 即3：4＝AQ：5， 解得：AQ； ∴当AQ或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 15．（2025春•瑶海区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF． 【考点】相似三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】（1）； （2）见解析． 【分析】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题； （2）由△AGD∽△EGF，可得，推出，又∠AGE＝∠DGF，即可推出△AGE∽△DGF； 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD， ∵∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴DB＝DC＝BC＝AB＝4， ∵BE＝EC， ∴DE⊥BC， ∴． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵DE⊥BC，AF⊥EF ∴∠DEC＝90°，∠AFE＝90° ∴∠ADG＝∠DEC＝∠ADG＝∠GFE＝90°， 又∵∠AGD＝∠EGF， ∴△AGD∽△EGF， ∴， ∴， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴△AGE∽△DGF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$