4.3 相似多边形（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版（2024）

新课预习.培优卷 4.3 相似多边形 一．选择题（共7小题） 1．（2025•达州模拟）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 2．（2025•威海三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠D＝60° 3．（2024秋•临清市期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 4．（2024秋•丰南区期末）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较大多边形的周长为48cm，则较小多边形的周长为（　　） A．36cm B．32cm C．30cm D．27cm 5．（2024秋•莲池区校级期末）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 6．（2024秋•南通期末）如图，矩形纸片ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，E，F分别为AD，BC两边的中点．若将这张纸片沿着直线EF对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则a：b等于（　　） A． B． C． D．2：1 7．（2024秋•兴文县期中）如图，小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND．若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•广阳区校级开学）在△ABC中，AB＝8，AC＝10，点D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使得△ABC∽△AED，则AE的长为　 　 ． 9．（2025春•淄川区期末）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　 　 cm2． 10．（2023秋•衡东县校级期末）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 　 　 cm2． 11．（2024秋•天桥区校级月考）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　 　 ． 12．（2024秋•双峰县期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 　 　 ． （4）图（2）放大后图形的面积为 　 　 ． 14．（2024秋•北镇市期中）矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点B的坐标为（9，6），求点E的坐标． 15．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 新课预习.培优卷 4.3 相似多边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•达州模拟）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 【考点】相似多边形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；应用意识． 【答案】B 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∴∠ACB＝60°， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG， ∵∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍弃）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2025•威海三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠D＝60° 【考点】相似图形；全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】B 【分析】如图，连接AC，BD交于点O．证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠ABC＝∠ADC，再证明当∠ABC＝90°时符合题意即可． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O． 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC＝∠ADC， 当∠ABC＝90°时，∠ADC＝90°， ∵AB＝AD，BD＝DC， ∴AC⊥BD， ∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠ACB+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠ACB， ∵∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴△AOB∽△BOC，同法可证△AOD∽△DOC， 故选项B符合题意． 当∠A＝90°或∠C＝90°或∠D＝60°时不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 3．（2024秋•临清市期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确； C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 4．（2024秋•丰南区期末）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较大多边形的周长为48cm，则较小多边形的周长为（　　） A．36cm B．32cm C．30cm D．27cm 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．据此列式计算即可． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积比是9：16， ∴两个相似多边形的相似比为3：4， ∴两个相似多边形的周长比是3：4， 设较小多边形的周长为x cm， ∴x：48＝3：4， ∴x＝36， ∴较小多边形的周长为36cm． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比． 5．（2024秋•莲池区校级期末）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【解答】解：如图所示，延长CB交A′B′于点D，延长BC交A′C′于点E，过点A作FG∥BC交A′B′，A′C′于点F，G， ∵AF∥BD，AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝FD， 同理，四边形ACEG是平行四边形， ∴AC＝GE， ∵FG∥DE∥B′C′， ∴△A′FG∽△A′B′C′， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴， ∵A′B′∥AB，DE∥B′C′， ∴∠ABC＝∠A′DB＝∠A′B′C′， 同理，∠ACB＝∠A′EC＝∠A′C′B′， ∴∠BAC＝∠A′， ∴△A′B′C′∽△ABC； 如图所示，延长AB交B′C′于点H，延长BA交A′D′于点F，延长DA交A′B′于点E，延长CB交A′B′于点G， ∵四边形ABCD是正方形，边长为4，四边形A′B′C′D′是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°， ∴AE＝AF＝1，BG＝BH＝1，GE＝AB＝4， ∴A′B′＝1+4+1＝6＝B′C′＝C′D′＝A′D′， ∴，且对应角都是90°，都相等， ∴正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′； 如图所示，矩形ABCD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6， 计算方法同上述正方形， ∴矩形A′B′C′D′，A′B'＝C′D′＝6，B′C′＝A′D′＝8， ∴， ∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 6．（2024秋•南通期末）如图，矩形纸片ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，E，F分别为AD，BC两边的中点．若将这张纸片沿着直线EF对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则a：b等于（　　） A． B． C． D．2：1 【考点】相似多边形的性质；矩形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】A 【分析】利用相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝b，AD＝BC＝a， ∵E，F分别为AD，BC两边的中点， ∴AE＝ED＝BF＝CF， ∵两个矩形与原矩形均相似， ∴， ∴， ∴2， ∵a＞0，b＞0， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 7．（2024秋•兴文县期中）如图，小福在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND．若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似多边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b，由矩形GHND与矩形ABCD相似得，求出（）21＝0，解方程得，先求出，进而可求出． 【解答】解：∵在矩形ABCD的左边分割出正方形ABEF，然后在矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N，分割出矩形FMND和矩形MECN，最后把矩形FMND对半分割成矩形FMHG和矩形GHND， ∴AB＝EF＝CD，FG＝DG，DN＝CN． 设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b， 则FD＝2a，AB＝EF＝CD＝2b， ∵ABEF是正方形， ∴AF＝AB＝2b， ∴AD＝2a+2b． ∵矩形GHND与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴a2+ab﹣b2＝0， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•广阳区校级开学）在△ABC中，AB＝8，AC＝10，点D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使得△ABC∽△AED，则AE的长为　或　 ． 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】或． 【分析】根据相似三角形对应边成比例进行分类讨论即可得到答案． 【解答】解：△ABC中，AB＝8，AC＝10，点D在AC上，且AD＝2， 当，即时，△ABC∽△AED， ∴AE， 当，即，△ABC∽△AED， ∴； 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2025春•淄川区期末）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　27　 cm2． 【考点】相似多边形的性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力． 【答案】27． 【分析】根据相似得出比例式，求出DE的长，再求出矩形EFCD的面积即可． 【解答】解： ∵矩形ABCD和矩形EFCD相似， ∴， ∴， 解得：DE（cm）， ∵DC＝6cm， ∴留下的矩形EFCD的面积为DE×DC6＝27（cm2）， 故答案为：27． 【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出是解此题的关键． 10．（2023秋•衡东县校级期末）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 　32　 cm2． 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积＝2×16＝32（cm2）． 故答案是：32． 【点评】本题考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 11．（2024秋•天桥区校级月考）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　①②　 ． 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项． 【解答】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3，④三边分别为：1，，2，⑤三边分别为：2，，， ∵， ∴图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理的运用，相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3． 12．（2024秋•双峰县期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是　67°　 ． 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】67°． 【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360°解决问题即可． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠A′＝∠A＝138°， ∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°， 故答案为67°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，四边形的内角和等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共3小题） 13．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 　3　 ． （4）图（2）放大后图形的面积为 　24　 ． 【考点】相似多边形的性质；平行四边形的性质． 【专题】作图题；多边形与平行四边形；应用意识． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）3； （4）24． 【分析】（1）找出三角形的两条直角边，数出有几个格，把它们分别除以3，然后画出即可； （2）找出形平行四边的底与高，数出有几个格，把它们分别乘以2，然后画出即可； （3）根据缩小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可； （4）根据放大小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，△ADE即为所求； （2）如图所示，平行四边形A1E1F1G1即为所求； （3）根据图可知△ADE的底为3，高为2， ∴△ADE的面积， 故答案为：3； （4）根据图可知：平行四边形A1E1F1G1的底为6，高为4， ∴平行四边形A1E1F1G1的面积6×4＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了图形的放大与缩小，解答本题的关键是掌握比例尺的概念． 14．（2024秋•北镇市期中）矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点B的坐标为（9，6），求点E的坐标． 【考点】相似多边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质． 【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力． 【答案】（﹣4，﹣6）． 【分析】利用相似多边形的性质求出OD，OF可得结论． 【解答】解：∵矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2， ∴， ∵点B的坐标为（9，6）， ∴OA＝9，OC＝6， ∴， ∴OD＝6，OF＝4， ∴点E的坐标为（﹣4，﹣6）． 【点评】本题考查相似多边形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 15．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【考点】相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）GD． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE，BPAB＝1， ∴AP， ∴EP， ∴EB， ∴GD． 【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$