2.5 一元二次方程的根与系数的关系（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

新课预习.培优卷 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•淄川区期末）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　） A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7 B．， C．， D．， 2．（2025春•淄川区期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 3．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 4．（2025春•瑶海区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． ①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0； ②若4a+2b+c＝0，则方程有一根为x＝2； ③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根； ④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立． 以上说法正确的有（　　） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 5．（2025•隆昌市校级二模）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 6．（2025•梅河口市模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜2且k≠1 B．k≤2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2 7．（2025春•沈丘县期中）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．方程x※1＝﹣1的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•鼓楼区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0的根为有理数，则整数k的值为　 　 ． 9．（2025春•长沙期末）方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为 　 　 ． 10．（2025•南海区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+1＝0没有实数根，则k的值可以是 　 　 ．（写出一个即可） 11．（2025春•莱阳市期末）若x1，x2是方程的两个实数根，且，则m的值为　 　 ． 12．（2025春•西城区校级期末）已知菱形ABCD边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程x2+bx+c＝0的两根，则这个一元二次方程为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 14．（2025春•启东市期末）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为1，求m的值； （3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长． 15．（2025春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 新课预习.培优卷 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•淄川区期末）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　） A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7 B．， C．， D．， 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系直接求解即可． 【解答】解：根据题意有：，， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，． 2．（2025春•淄川区期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 【考点】根与系数的关系；菱形的性质． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利用勾股定理即可求出答案． 【解答】解：∵x2﹣3x+4＝0， ∴x＝2或x＝4， ∴该菱形的对角线长分别为2或4， ∴由勾股定理可知：菱形的边长为， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 3．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程 kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）＝16+8k≥0且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 4．（2025春•瑶海区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． ①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0； ②若4a+2b+c＝0，则方程有一根为x＝2； ③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根； ④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立． 以上说法正确的有（　　） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【考点】根与系数的关系；等式的性质；一元二次方程的解；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入x＝2验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【解答】解：①由条件可知，， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∴2b+3c＝4a﹣9a＝﹣5a≠0，故说法①不正确； ②若4a+2b+c＝0，代入x＝2得a（2）2+b（2）+c＝0，即方程有一根为x＝2，故②正确； ③当b＝2a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝4a2+c2＞0，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当b＝a+2c时，Δ＝b2﹣4ac＝a2+4c2＞0，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵x＝2m是方程的一个根， ∴4am2+2bm+c＝0， ∵（2am+b）2﹣（b2+2abm﹣ac）＝a（4am2+2bm+c）＝0， ∴b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． 5．（2025•隆昌市校级二模）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【考点】根的判别式；一元一次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将方程转化为常规的一元二次方程形式，然后通过计算根的判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【解答】解：∵【m，n】☆t＝mt﹣n， ∴【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝（x﹣m）（x+1）﹣（1﹣x）＝x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0， ∵在x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0中，a＝1，b＝2﹣m，c＝﹣（m+1），Δ＝b2﹣4ac， ∴Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×[﹣（m+1）]＝m2+8＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，本题的关键在于理解新定义运算，将其转化为常规的一元二次方程，然后利用根的判别式判断根的情况． 6．（2025•梅河口市模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜2且k≠1 B．k≤2且k≠1 C．k＜2 D．k＞2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】由题意可得Δ＞0且k﹣1≠0，据此即可求解． 【解答】解：由条件可知Δ＝22﹣4×（k﹣1）×1＞0且k﹣1≠0， 解得k＜2且k≠1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 7．（2025春•沈丘县期中）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．方程x※1＝﹣1的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用新定义得到x2﹣2x+2＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况． 【解答】解：由新定义得x2﹣2x+1＝﹣1， 即x2﹣2x+2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•鼓楼区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0的根为有理数，则整数k的值为　0，1，9，10　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】0，1，9，10． 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出Δ，再根据方程的根为有理数，即可进行解答． 【解答】解：∵a＝1，b＝k﹣3，c＝k， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4k＝k2﹣10k+9， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴k2﹣10k+9是完全平方数， 设k2﹣10k+9＝m2， 变形为k2﹣10k+25﹣m2＝16， ∴（k﹣5+m）（k﹣5﹣m）＝16， ∴，解得k＝10； ，解得k＝0， ，解得k＝9； ，解得k＝1， 综上，整数k的值为0，1，9，10． 故答案为：0，1，9，10． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判别式以及有理数和整数的定义． 9．（2025春•长沙期末）方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为 　3　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个解为x1，x2，则，，据此求解即可． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：3． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 10．（2025•南海区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+1＝0没有实数根，则k的值可以是 　﹣1（任一负数即可）　 ．（写出一个即可） 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣1（任一负数即可）． 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+1＝0没有实数根， ∴Δ＝22﹣4（﹣k+1）＜0， ∴k＜0， 故答案为：﹣1（任一负数即可）． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 11．（2025春•莱阳市期末）若x1，x2是方程的两个实数根，且，则m的值为　﹣2　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【解答】解：由题意，Δ≥0， ∴（m﹣3）2﹣40， 解得m， ∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2＝m﹣3，x1x2 又∵， ∴x21+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝19，即（m﹣3）2﹣219， 解得，m＝﹣2或m＝14， 又∵m， ∴m的值是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 12．（2025春•西城区校级期末）已知菱形ABCD边长为5，面积为24，其两条对角线的长分别是一元二次方程x2+bx+c＝0的两根，则这个一元二次方程为 　x2﹣14x+38＝0　 ． 【考点】根与系数的关系；菱形的性质． 【专题】一元二次方程及应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】x2﹣14x+38＝0． 【分析】本题涉及菱形的性质以及一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．首先利用菱形的面积公式和对角线与边长的关系，求出两条对角线的和与积，再根据韦达定理确定一元二次方程． 【解答】解，设菱形的对角线长为m和n， ∴菱形ABCD的面积m×n＝24， ∴mn＝48， ∵菱形边长为5， ∴52， ∴m2+n2＝100， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝196， ∴m+n＝14（m，n都为正值）， ∴﹣b＝m+n＝14，c＝mn＝48， ∴一元二次方程为：x2﹣14x+38＝0， 故答案为：x2﹣14x+38＝0． 【点评】本题巧妙结合菱形的性质（面积公式、对角线与边长关系）和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），体现了几何与代数知识的综合运用，关键在于通过菱形性质求出两根之和与两根之积，进而构造方程． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）k＝4或6；三角形的周长为7或8． 【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣4）2，然后根据非负数的性质和判别式的意义判断方程总有实数根； （2）分类讨论：当x＝3是等腰三角形的底时，则Δ＝0，即（k﹣4）2＝0，解的k＝4，再把k＝4代入方程求出两根，然后计算三角形周长；当x＝3是等腰三角形的腰时，则x＝3是方程的一个根，把x＝3代入方程求出k．从而确定一元二次方程，然后解方程求出两根，再计算三角形周长． 【解答】解：（1）Δ＝（k+4）2﹣4×2×2k＝（k﹣4）2， ∵（k﹣4）2≥0， ∴无论k取何值，它总有实数根； （2）①当3是等腰三角形的底时， 则Δ＝0，即（k﹣4）2＝0，解得：k＝4， 则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2， ∴2，2，3能构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， ∴将x＝3代入2x2﹣（k+4）x+2k＝0得：18﹣3（k+4）+2k＝0，解得 k＝6， 此时方程为：x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2x2＝3则3、3能构成三角形，此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，k＝4或6；三角形的周长为7或8． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质． 14．（2025春•启东市期末）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为1，求m的值； （3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长． 【考点】根的判别式；根与系数的关系；勾股定理；一元二次方程的解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，即可求得m的值； （3）先由根与系数的关系求得方程的另一根为3，再由勾股定理得斜边的长度为，再根据三角形的周长公式进行计算． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0， 解得m＝2； （3）解：方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3； 由勾股定理得斜边的长度为：； 该直角三角形的周长为1+34． 【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解答（3）时采用了勾股定理． 15．（2025春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）k≤1；（2）． 【分析】（1）依据题意，由关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根，可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0，进而计算可以得解； （2）依据题意，由方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，可得x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1，结合（x1+1）（x2+1）＝﹣1，则x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，从而2k﹣1+2+1＝﹣1，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0． ∴k≤1． （2）由题意，∵方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1． ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1． ∴2k﹣1+2+1＝﹣1． ∴． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$