2.4 用因式分解法求解一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

新课预习.培优卷 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．8 C． D．10 2．（2025春•苍南县期末）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣m）＝0与（x﹣2m）2＝c的解完全相同，则常数c的值为（　　） A． B． C．1 D．4 3．（2025春•鹿城区校级期中）一元二次方程2x2＝8x的解为（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 4．（2024秋•安岳县期末）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根为（　　） A． B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝﹣3 5．（2025春•嵊州市期中）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 6．（2025春•西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 7．（2025•清原县一模）定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025 C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•徐汇区校级期末）方程（x﹣4）2＝2（x﹣4）的解是　 　 ． 9．（2025•浦口区校级模拟）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　 　 ． 10．（2025•朝阳区校级模拟）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式2a2+4a+2025的值为　 　 ． 11．（2025•杭州开学）方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，p﹣q＝ 　 　 ． 12．（2024秋•邛崃市校级期末）若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•莱西市期末）解方程： （1）x2﹣9＝5（x﹣3）； （2）（x+1）（x﹣3）＝2． 14．（2025春•永康市期末）以下是小数同学解方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的过程． 解：方程两边同除以（x﹣1），得x＝2． 根据小数的解题过程，回答下列问题： （1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． （2）请你写出正确的解答过程． 15．（2025春•北仑区期末）小北同学解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程如表所示： 解方程：x2﹣4x﹣5＝0 解：x2﹣4x＝5…第①步 （x﹣2）2＝5+2…第②步 或第③步 ，第④步 （1）小北同学选用了　 　 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第　 　 步开始出现错误． （2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 新课预习.培优卷 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．8 C． D．10 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质进行计算即可． 【解答】解：由方程x2﹣12x+32＝0得， x1＝4，x2＝8， 所以菱形的两条对角线长度为4和8， 则菱形的边长为：． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及菱形的性质是解题的关键． 2．（2025春•苍南县期末）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣m）＝0与（x﹣2m）2＝c的解完全相同，则常数c的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】先解两个一元二次方程，求出方程的解，然后分两种情况，组成二元一次方程组，分别求出方程组的解，即可求出c的值． 【解答】解：（x﹣1）（x﹣m）＝0， ∴x1＝1，x2＝m， （x﹣2m）2＝c， ∴x﹣2m＝±， ∴x1＝2m，x2＝2m， 分两种情况： 1、， 4m＝1+m， ∴3m＝1， ∴m， 把m代入①，，c无解， 2、， 4m＝1+m ∴m， 把m代入②中， ∴c， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 3．（2025春•鹿城区校级期中）一元二次方程2x2＝8x的解为（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：2x2＝8x， 2x2﹣8x＝0， 2x（x﹣4）＝0， ∴x1＝0，x2＝4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 4．（2024秋•安岳县期末）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根为（　　） A． B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝﹣3 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】将方程右边的项移到左边，运用因式分解法求解即可． 【解答】解：移项得2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， 因式分解得（2x﹣5）（x﹣3）＝0， ∴2x﹣5＝0，x﹣3＝0， 解得，x2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025春•嵊州市期中）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形的面积；三角形三边关系． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】D 【分析】先解方程得到x＝6或x＝10，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8，过点A作AD⊥BC于D，则，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：解方程（x﹣6）（x﹣10）＝0得x＝6或x＝10， ∴该三角形的第三边的长为10或6， 当第三边长为10时， ∵62+82＝102， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6， ∴该三角形的面积为； 当第三边长为6时，如图所示，不妨设AB＝AC＝6，BC＝8， 过点A作AD⊥BC于D，则， ∴， ∴该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或24， 故选：D． 【点评】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2025春•西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】对于方程（x+a）（x+b）＝0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程（ax+1）（bx+1）＝0，同样依据上述原理求解，但需要分a＝0，b＝0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系． 【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b， ∵a≠b， ∴M＝2， 当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x，此时N＝1， 当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x，此时N＝1， 当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x或x，此时N＝2， ∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N． ∴M＝N或M＝N+1． 故选：C． 【点评】这道题主要考查解一元二次方程的因式分解法以及分类讨论思想，解题的关键在于对（ax+1）（bx+1）＝0中a和b取值的分类讨论． 7．（2025•清原县一模）定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025 C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：根据题中的新定义得：x2﹣2024x﹣2024＝1， ∴x2﹣2024x﹣2025＝0， （x+1）（x﹣2025）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2025＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2025． 故选：A． 【点评】此题考查了新定义，解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•徐汇区校级期末）方程（x﹣4）2＝2（x﹣4）的解是　x1＝4，x2＝6　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝4，x2＝6． 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（x﹣4）2＝2（x﹣4）， （x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0， （x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0， （x﹣4）（x﹣6）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝4，x2＝6， 故答案为：x1＝4，x2＝6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2025•浦口区校级模拟）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　x1＝1，x2　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝1，x2． 【分析】移项后，左边提取公因式（x﹣1），将左边因式分解，再进一步求解即可． 【解答】解：∵3x（x﹣1）＝（x﹣1）， ∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（3x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2． 故答案为：x1＝1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（2025•朝阳区校级模拟）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式2a2+4a+2025的值为　2031　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；代数式求值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2031． 【分析】利用整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则2a2+4a+2025＝2（a2+2a）+2025＝2×3+2025＝2031． 故答案为：2031． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 11．（2025•杭州开学）方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，p﹣q＝ 　2025　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2025． 【分析】根据题意，分别求出p和q，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， （2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0， 20232x2﹣（2023﹣1）×（2023+1）x﹣1＝0， 20232x2﹣（20232﹣1）x﹣1＝0， 20232x2﹣20232x+x﹣1＝0， （20232x+1）（x﹣1）＝0． 因为p为此方程的较大根， 所以p＝1． x2+2023x﹣2024＝0， （x﹣1）（x+2024）＝0， 因为q为此方程的较小根， 所以q＝﹣2024， 则p﹣q＝1﹣（﹣2024）＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及一元二次方程的解，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12．（2024秋•邛崃市校级期末）若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　或10　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】或10． 【分析】另一条对角线的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长． 【解答】解：解方程得：x＝3或4， 当BD＝3，AC＝3时，菱形的边长． ∴菱形ABCD的周长是． 当BD＝3，AC＝4时，菱形的边长． ∴菱形ABCD的周长是． 故答案为：或10． 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•莱西市期末）解方程： （1）x2﹣9＝5（x﹣3）； （2）（x+1）（x﹣3）＝2． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝3，x2＝2． （2）x1＝1，x2＝1． 【分析】（1）利用因式分解法即可解决问题； （2）利用配方法即可解决问题． 【解答】解：（1）x2﹣9＝5（x﹣3）， （x+3）（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x+3﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． （2）（x+1）（x﹣3）＝2， 整理得，x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 【点评】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法、因式分解法等知识，属于中考常考题型． 14．（2025春•永康市期末）以下是小数同学解方程x（x﹣1）＝2（x﹣1）的过程． 解：方程两边同除以（x﹣1），得x＝2． 根据小数的解题过程，回答下列问题： （1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． （2）请你写出正确的解答过程． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）见解答； （2）x1＝2，x2＝1． 【分析】（1）由于（x﹣1）可以等于0，则方程两边并不能同时除以（x﹣1），所以小数的解题过程不对； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）两边同除以不为0的数或式，等式依然成立，而（x﹣1）可能为0． （2）x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 15．（2025春•北仑区期末）小北同学解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程如表所示： 解方程：x2﹣4x﹣5＝0 解：x2﹣4x＝5…第①步 （x﹣2）2＝5+2…第②步 或第③步 ，第④步 （1）小北同学选用了　配方法　 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第　②　 步开始出现错误． （2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）配方法，②； （2）x1＝5，x2＝﹣1． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的基本步骤解答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）配方法，②； 故答案为：配方法，②； （2）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法、因式分解法是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$