2.3 用公式法求解一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

新课预习.培优卷 2.3 用公式法求解一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•衢州期末）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※5＝22+2×5，若关于x的方程x※3＝﹣m有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C． D．9 2．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 3．（2025•隆昌市校级二模）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 4．（2025春•义乌市校级月考）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则点P（m+5，﹣m﹣6）所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025•河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 6．（2025•南阳模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 7．（2025春•瑶海区校级期中）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2x＝1时，a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 B．a＝3，b＝﹣2，c＝1 C．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1 D．a＝3，b＝2，c＝1 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•鼓楼区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0的根为有理数，则整数k的值为　 　 ． 9．（2025春•德惠市期末）若关于x的方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 10．（2025春•吴兴区期末）已知两个关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0（b，c均为常数），x2+bx+c＝x﹣3．其中，方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则b的值是　 　 ． 11．（2025春•合肥月考）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为　 　 ． 12．（2024秋•信都区期中）如下所示可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定： 方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程． x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0 则x的还原方程是 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•长乐区校级期末）解方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）x2﹣2x﹣4＝0． 14．（2025春•霍邱县期中）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣12的不动值是　 　 ． （2）判断关于x代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值． 15．（2025•五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． 新课预习.培优卷 2.3 用公式法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•衢州期末）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※5＝22+2×5，若关于x的方程x※3＝﹣m有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C． D．9 【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】先根据新定义得到x2+3x＝﹣m，再把方程化为一般式得到x2+3x+m＝0，接着根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＝0，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：根据已知定义运算， ∴x※3＝x2+3x＝﹣m， ∴x2+3x+m＝0， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0． ∴Δ＝9﹣4m＝0， ∴m． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算． 2．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程 kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）＝16+8k≥0且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 3．（2025•隆昌市校级二模）规定：对于任意实数m、n满足【m，n】☆t＝mt﹣n，等式右边是常规乘法与减法运算，如【3，2】☆4＝3×4﹣2．若关于x的方程【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝0的解的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【考点】根的判别式；一元一次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将方程转化为常规的一元二次方程形式，然后通过计算根的判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【解答】解：∵【m，n】☆t＝mt﹣n， ∴【x﹣m，1﹣x】☆（x+1）＝（x﹣m）（x+1）﹣（1﹣x）＝x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0， ∵在x2+（2﹣m）x﹣（m+1）＝0中，a＝1，b＝2﹣m，c＝﹣（m+1），Δ＝b2﹣4ac， ∴Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×[﹣（m+1）]＝m2+8＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，本题的关键在于理解新定义运算，将其转化为常规的一元二次方程，然后利用根的判别式判断根的情况． 4．（2025春•义乌市校级月考）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则点P（m+5，﹣m﹣6）所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】根的判别式；点的坐标． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根得到m＞﹣4，再由不等式的性质分别判断P的横纵坐标的正负，即可判断所处象限． 【解答】解：由条件可知42﹣4×1×（﹣m）＞0， 解得：m＞﹣4， ∴m+5＞﹣4+5＝1＞0，﹣m﹣6＜4﹣6＝﹣2＜0， ∴P（m+5，﹣m﹣6）所在象限是第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，不等式的性质，平面直角坐标系，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2025•河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值． 6．（2025•南阳模拟）已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【考点】根的判别式；实数与数轴． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】计算判别式的值即可判断． 【解答】解：∵b＞0，c＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×2×c＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（2025春•瑶海区校级期中）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2x＝1时，a，b，c的值是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2 B．a＝3，b＝﹣2，c＝1 C．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1 D．a＝3，b＝2，c＝1 【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】把原方程化为形如ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数，a≠0）的形式即可得到答案． 【解答】解：原方程整理得3x2﹣2x﹣1＝0， 则a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•鼓楼区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+k＝0的根为有理数，则整数k的值为　0，1，9，10　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】0，1，9，10． 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出Δ，再根据方程的根为有理数，即可进行解答． 【解答】解：∵a＝1，b＝k﹣3，c＝k， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4k＝k2﹣10k+9， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴k2﹣10k+9是完全平方数， 设k2﹣10k+9＝m2， 变形为k2﹣10k+25﹣m2＝16， ∴（k﹣5+m）（k﹣5﹣m）＝16， ∴，解得k＝10； ，解得k＝0， ，解得k＝9； ，解得k＝1， 综上，整数k的值为0，1，9，10． 故答案为：0，1，9，10． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判别式以及有理数和整数的定义． 9．（2025春•德惠市期末）若关于x的方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】m， 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【解答】解：由条件可知Δ＝32﹣4×1×m＞0， 解得m， 故答案为：m． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键． 10．（2025春•吴兴区期末）已知两个关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0（b，c均为常数），x2+bx+c＝x﹣3．其中，方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则b的值是　﹣5　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣5． 【分析】依据题意，由方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，则9+3b+c＝0，故c＝﹣9﹣3b，再由方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则方程x2+（b﹣1）x+c+3＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（b﹣1）2﹣4（c+3）＝0，进而（b﹣1）2﹣4（﹣9﹣3b+3）＝0，最后计算即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3， ∴9+3b+c＝0． ∴c＝﹣9﹣3b． ∵方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根， ∴方程x2+（b﹣1）x+c+3＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4（c+3）＝0． ∴（b﹣1）2﹣4（﹣9﹣3b+3）＝0． ∴b＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 11．（2025春•合肥月考）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣c的值为　2　 ． 【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】利用求根公式判断求解即可． 【解答】解：由条件可知a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+b﹣c＝3﹣2+1＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2024秋•信都区期中）如下所示可将x转化为方程x2+x﹣1＝0，我们规定： 方程x2+x﹣1＝0称为x的还原方程． x 去分母，2x1 移项，2x+1 两边平方，4x2+4x+1＝5 整理，x2+x﹣1＝0 则x的还原方程是 　x2﹣3x+1＝0　 ． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x2﹣3x+1＝0． 【分析】依照例题计算即可求解； 【解答】解：原方程去分母，， ， 4x2﹣12x+9＝5， x2﹣3x+1＝0， 故答案为：x2﹣3x+1＝0． 【点评】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•长乐区校级期末）解方程： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）x2﹣2x﹣4＝0． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1＝1，x2＝1． 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝1， x， ∴x1，x2； （2）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 14．（2025春•霍邱县期中）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式x2﹣12的不动值是　4或﹣3　 ． （2）判断关于x代数式2x2﹣x+1是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于x的代数式a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式；因式分解的应用． 【专题】整式；推理能力． 【答案】（1）4或﹣3； （2）关于x代数式2x2﹣x+1设有不动值；理由见解析； （3）①﹣2；②1或3或5． 【分析】（1）根据题意可得x2﹣12＝x，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程2x2﹣x+1＝x是否有解即可； （3）①根据题意可得关于x的一元二次方程a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【解答】解：（1）当x2﹣12＝x时，则x2﹣x﹣12＝0， ∴（x+3）（x﹣4）＝0， ∴x+3＝0 或x﹣4＝0， 解得x＝﹣3或x＝4， ∴关于x的代数式x2﹣12的不动值是4或﹣3， 故答案为：4或﹣3； （2）关于x代数式2x2﹣x+1没有不动值，理由如下： 当2x2﹣x+1＝x时，则2x2﹣2x+1＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝﹣4＜0， ∴原方程无解， ∴2x2﹣x+1＝x不成立， ∴关于x代数式2x2﹣x+1设有不动值； （3）①∵关于x的代数a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15（a≠0）仅有一个不动值， ∴关于x的一元二次方程a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝0， ∴9a4﹣48a3+64a2﹣8a4+52a3﹣60a2＝0， ∴a4+4a3+4a2＝0， ∴a2（a2+4a+4）＝0， ∴a2（a+2）2＝0， ∵a≠0， ∴（a+2）2＝0， 解得a1＝a2＝﹣2； ②当a2x2﹣（3a2﹣8a﹣1）x+2a2﹣13a+15＝x时，则a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0， ∴a2x2﹣（3a2﹣8a）x+（2a﹣3）（a﹣5）＝0， ∴[ax﹣（2a﹣3）][ax﹣（a﹣5）]＝0， ∴ax﹣2a+3＝0 或ax﹣a+5＝0， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． 15．（2025•五华县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）见解答； （2）m． 【分析】（1）求出判别式Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0，据此可得答案； （2）将x＝0代入方程，解关于m的方程可得m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣3m）2﹣4（m2﹣2）＝5m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为x＝0， ∴m2﹣2＝0，解得m＝±， ∵m是正数， ∴m． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$