2.2 用配方法求解一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

新课预习.培优卷 2.2 用配方法求解一元二次方程 一.选择题(共7小题) 1.(2025春•顺义区期末)一元二次方程x2+2x﹣1=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=2 C.(x+1)2=5 D.(x+1)2=2 2.(2025•南宫市模拟)某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤(如图),老师看后,发现最后结果是错误的,并说:“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的.”则这位同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.(2025•沙坪坝区模拟)一元二次方程x2﹣4=0的解是( ) A.x1=2,x2=4 B.x1=4,x2=﹣4 C.x1=﹣2,x2=﹣4 D.x1=2,x2=﹣2 4.(2025•凤阳县三模)已知x,y是实数,且满足x2+y2=2x+4y﹣5,若m=3x+y,则m的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.(2025•乐陵市二模)对于代数式(x﹣3)2+2,以下结论正确的是( ) A.化简的结果是x2﹣6x﹣7 B.该代数式的值可以是任意的数 C.该代数式有最小值为2 D.使该代数式的值为3的x的值是4 6.(2025•安徽三模)已知实数a,b满足a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2=0,且a+b为整数,设x=a+b,则x的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2024秋•定兴县期末)用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9=0时,原方程应变形为( ) A.(x﹣4)2=25 B.(x+4)2=25 C.(x﹣4)2=9 D.(x+4)2=9 二.填空题(共5小题) 8.(2025•渝中区校级模拟)若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2+2ab+b2+2a+8,则P的最小值为 . 9.(2025春•工业园区校级期中)若A=﹣y2+4x﹣3,B=x2+2x+2y,则A B.(填写“>”或“<”或“=”) 10.(2025春•崇川区校级月考)关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣1,x2=3,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m)2+b=0的解是 . 11.(2024秋•如皋市期末)对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”,小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明:如图,将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B,并拼成图2.由面积相等得:x(4﹣x)=22﹣(2﹣x)2,所以,当x=2时,长方形面积取得最大值为4.据此可得,代数式的最大值为 . 12.(2025春•江阴市期中)例如:代数式x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,因为(x﹣1)2≥0,所以当x=1时,(x﹣1)2+2的最小值是2;则当x= 时,代数式8x2﹣12x+5有最小值,最小值为 . 三.解答题(共3小题) 13.(2025春•周村区期末)解方程: (1)(x﹣3)2﹣16=0; (2)x2+2x﹣2=0. 14.(2025春•驿城区校级月考)【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如: 求a2+6a+8的最小值. 解:a2+6a+8 =a2+6a+9﹣1=(a+3)2﹣1, ∵(a+3)2≥0, ∴(a+3)2﹣1≥﹣1, 即a2+6a+8的最小值为﹣1. 请根据上述材料解决下列问题: (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:a2+4a+ . (2)求x2+4x+5的最小值. (3)已知x2+y2﹣2x+4y+5=0,求x+y的值. 15.(2025春•锦江区校级期中)已知a,b,c是 ABC的三条边长,且a,b,c是正整数. (1)若a,b,c满足(x+a)(x+b)=x2+7x+12且a2+b2=c2,求c的长. (2)若 ABC为等腰三角形,且满足a2+b2﹣4a﹣10b+29=0,求 ABC的周长. 新课预习.培优卷 2.2 用配方法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一.选择题(共7小题) 1.(2025春•顺义区期末)一元二次方程x2+2x﹣1=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=2 C.(x+1)2=5 D.(x+1)2=2 【考点】解一元二次方程﹣配方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】D 【分析】先把常数项移到等式的另一边,方程两边都加一次项系数一半的平方,按公式整理即可. 【解答】解:x2+2x﹣1=0, x2+2x=1, x2+2x+1=1+1,即(x+1)2=2. 故选:D. 【点评】本题考查配方法解一元二次方程问题,掌握配方法的步骤与要求,会用配方法把方程变形是关键. 2.(2025•南宫市模拟)某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤(如图),老师看后,发现最后结果是错误的,并说:“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的.”则这位同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【考点】解一元二次方程﹣配方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤,对所给计算过程依次进行判断即可. 【解答】解:2x2+4x﹣1=0, 2x2+4x=1, 所以甲同学不错, x2+2x, 所以乙同学错了. 故选:B. 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法,熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键. 3.(2025•沙坪坝区模拟)一元二次方程x2﹣4=0的解是( ) A.x1=2,x2=4 B.x1=4,x2=﹣4 C.x1=﹣2,x2=﹣4 D.x1=2,x2=﹣2 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】D 【分析】用直接开平方法求解即可. 【解答】解:x2﹣4=0, x2=4, ∴x= 2, ∴x1=2,x2=﹣2, 故选:D. 【点评】本题考查解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 4.(2025•凤阳县三模)已知x,y是实数,且满足x2+y2=2x+4y﹣5,若m=3x+y,则m的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】A 【分析】依据题意,由x2+y2=2x+4y﹣5,则(x﹣1)2+(y﹣2)2=0,可得x=1,y=2,进而可得m=3x+y=3 1+2=5,故可得解. 【解答】解:由题意,∵x2+y2=2x+4y﹣5, ∴x2﹣2x+1+y2﹣4y+4=0. ∴(x﹣1)2+(y﹣2)2=0. ∴x﹣1=0,y﹣2=0. ∴x=1,y=2. ∴m=3x+y=3 1+2=5. 故选:A. 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质:偶次方,解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键. 5.(2025•乐陵市二模)对于代数式(x﹣3)2+2,以下结论正确的是( ) A.化简的结果是x2﹣6x﹣7 B.该代数式的值可以是任意的数 C.该代数式有最小值为2 D.使该代数式的值为3的x的值是4 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可判断选项A;根据代数式的最小值为2可判断选项B与选项C;根据代数式的值为3可得x的值是4或2,从而可判断选项D. 【解答】解:(x﹣3)2+2=x2﹣6x+9+2=x2﹣6x+11,故选项A错误,不符合题意; 由于(x﹣3)2≥0,则(x﹣3)2+2≥2,即代数式(x﹣3)2+2有最小值2,从而选项C正确,符合题意;选项B错误,不符合题意; 由(x﹣3)2+,2=3得(x﹣3)2=1,则得x的值是4或2,故选项D错误; 故选:C. 【点评】本题考查了完全平方公式,代数式的值等知识;熟练掌握以上知识点是关键. 6.(2025•安徽三模)已知实数a,b满足a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2=0,且a+b为整数,设x=a+b,则x的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】A 【分析】依据题意,由a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2=0,从而(a+b)2﹣3(a+b)+2=0,故(a+b﹣1)(a+b﹣2)=0,则a+b=1或a+b=2,结合x=a+b,且a+b为整数,故可得x=1或2,进而可以判断得解. 【解答】解:由题意,∵a2+2ab+b2﹣3a﹣3b+2=0. ∴(a+b)2﹣3(a+b)+2=0. ∴(a+b﹣1)(a+b﹣2)=0. ∴a+b=1或a+b=2. 又∵x=a+b,且a+b为整数, ∴x=1或2. 故选:A. 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质:偶次方,解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键. 7.(2024秋•定兴县期末)用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9=0时,原方程应变形为( ) A.(x﹣4)2=25 B.(x+4)2=25 C.(x﹣4)2=9 D.(x+4)2=9 【考点】解一元二次方程﹣配方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】B 【分析】根据配方法进行计算即可. 【解答】解:原方程整理得:x2+8x+16=25, (x+4)2=25, 故选:B. 【点评】本题主要考查配方法,熟练掌握配方法是解题的关键. 二.填空题(共5小题) 8.(2025•渝中区校级模拟)若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2+2ab+b2+2a+8,则P的最小值为 3 . 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】3. 【分析】依据题意,由ab=a+b,P=a2+2ab+b2+2a+8,则P=a2+2(a+b)+b2+2a+8=(a+2)2+(b+1)2+3,结合对于有理数a,b都有(a+2)2≥0,(b+1)2≥0,从而P=(a+2)2+(b+1)2+3≥3,故可以判断得解. 【解答】解:∵ab=a+b, ∴P=a2+2ab+b2+2a+8 =a2+2(a+b)+b2+2a+8 =a2+4a+4+b2+2b+1+3 =(a+2)2+(b+1)2+3, ∵对于有理数a,b都有(a+2)2≥0,(b+1)2≥0, ∴P=(a+2)2+(b+1)2+3≥3. ∴P的最小值为3. 故答案为:3. 【点评】本题主要考查了配方法的应用,解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键. 9.(2025春•工业园区校级期中)若A=﹣y2+4x﹣3,B=x2+2x+2y,则A < B.(填写“>”或“<”或“=”) 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】<. 【分析】根据作差法求解. 【解答】解:∵B﹣A=(x2+2x+2y)﹣(﹣y2+4x﹣3) =x2﹣2x+y2+2y+3 =(x﹣1)2+(y+1)2+1>0, ∴A<B, 故答案为:<. 【点评】本题考查了配方法的应用,掌握作差法是解题的关键. 10.(2025春•崇川区校级月考)关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣1,x2=3,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m)2+b=0的解是 x=1或x=5 . 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】x=1或x=5. 【分析】可把方程a(x+m)2+b=0看作关于x﹣2的一元二次方程,从而得到x﹣2=﹣1或x﹣2=3,解之即可得出结论. 【解答】解:可把方程a(x+m)2+b=0看作关于x﹣2的一元二次方程, ∵关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣1,x2=3, ∴关于x﹣2的方程a(x+m)2+b=0的解是x﹣2=﹣1或x﹣2=3, ∴x=1或x=5. 故答案为:x=1或x=5. 【点评】本题考查了一元二次方程的解.可把方程a(x+m)2+b=0看作关于x﹣2的一元二次方程,从而得到x﹣2=﹣1或x﹣2=3,解之即可得出结论. 11.(2024秋•如皋市期末)对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”,小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明:如图,将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B,并拼成图2.由面积相等得:x(4﹣x)=22﹣(2﹣x)2,所以,当x=2时,长方形面积取得最大值为4.据此可得,代数式的最大值为 18 . 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】见试题解答内容 【分析】仿照示例,把代数式通过配方法,变形为(x﹣2)2+18,即可得到结果. 【解答】解:∵ (x+4)(x﹣8) (x2﹣4x﹣32) [(x2﹣4x+4)﹣36] (x﹣2)2+18, ∴当x=2时,代数式取得最大值,最大值是18. 故答案为:18. 【点评】本题考查了配方法的应用,读懂题意,正确使用配方法是解题的关键. 12.(2025春•江阴市期中)例如:代数式x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,因为(x﹣1)2≥0,所以当x=1时,(x﹣1)2+2的最小值是2;则当x= 时,代数式8x2﹣12x+5有最小值,最小值为 . 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】;. 【分析】依据题意得,8x2﹣12x+5=8(x2x)8(x)2,结合对于任意实数x都有(x)2≥0,从而8x2﹣12x+5=8(x)2,进而可以判断得解. 【解答】解:由题意得,8x2﹣12x+5=8(x2x)8(x)2. ∵对于任意实数x都有(x)2≥0, ∴8x2﹣12x+5=8(x)2. ∴当x时,代数式8x2﹣12x+5有最小值,最小值为. 故答案为:;. 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质:偶次方,解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键. 三.解答题(共3小题) 13.(2025春•周村区期末)解方程: (1)(x﹣3)2﹣16=0; (2)x2+2x﹣2=0. 【考点】解一元二次方程﹣配方法;解一元二次方程﹣直接开平方法. 【专题】一元二次方程及应用;运算能力. 【答案】(1)x1=7,x2=﹣1, (2)x11,x21. 【分析】(1)用直接开平方法解一元二次方程即可; (2)用配方法解一元二次方程即可. 【解答】解:(1)(x﹣3)2﹣16=0, ∴(x﹣3)2=16, ∴x﹣3= 4, ∴x﹣3=4,或x﹣3=﹣4, ∴x1=7,x2=﹣1; (2)x2+2x﹣2=0, x2+2x=2, x2+2x+1=3, (x+1)2=3, ∴x+1= , ∴x11,x21. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的求解,熟练掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程是解题的关键. 14.(2025春•驿城区校级月考)【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 例如: 求a2+6a+8的最小值. 解:a2+6a+8 =a2+6a+9﹣1=(a+3)2﹣1, ∵(a+3)2≥0, ∴(a+3)2﹣1≥﹣1, 即a2+6a+8的最小值为﹣1. 请根据上述材料解决下列问题: (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:a2+4a+ 4 . (2)求x2+4x+5的最小值. (3)已知x2+y2﹣2x+4y+5=0,求x+y的值. 【考点】配方法的应用;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;运算能力. 【答案】(1)4;(2)1;(3)﹣1. 【分析】(1)由完全平方公式的特点可得答案; (2)把原式化为x2+4x+4+1,再利用完全平方公式的特点先分解因式,再利用非负数的性质可得答案; (3)把x2+y2﹣2x+4y+5=0化为(x﹣1)2+(y+2)2=0,再利用非负数的性质可得答案. 【解答】解:(1)∵a2+4a+4=(a+2)2, ∴添上的常数项是4; (2)x2+4x+5 =x2+4x+4+1 =(x+2)2+1; ∵(x+2)2≥0, ∴(x+2)2+1≥1, ∴x2+4x+5的最小值为1; (3)∵x2+y2﹣2x+4y+5=0, ∴x2﹣2x+1+y2+4y+4=0, ∴(x﹣1)2+(y+2)2=0, ∴x﹣1=0,y+2=0, 解得:x=1,y=﹣2, ∴x+y=1﹣2=﹣1. 【点评】本题考查的是完全平方公式的应用,非负数的性质,利用完全平方公式分解因式,掌握完全平方公式是解本题的关键. 15.(2025春•锦江区校级期中)已知a,b,c是 ABC的三条边长,且a,b,c是正整数. (1)若a,b,c满足(x+a)(x+b)=x2+7x+12且a2+b2=c2,求c的长. (2)若 ABC为等腰三角形,且满足a2+b2﹣4a﹣10b+29=0,求 ABC的周长. 【考点】配方法的应用;三角形三边关系;等腰三角形的性质;非负数的性质:偶次方. 【专题】配方法;三角形;等腰三角形与直角三角形;运算能力. 【答案】(1)c=5;(2)12. 【分析】(1)依据题意,由(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+7x+12,则,则正整数解为a=3,b=4或a=4,b=3,又a2+b2=c2,可得c2=32+42=9+16=25,进而可以判断得解; (2)依据题意,由a2+b2﹣4a﹣10b+29=0,可得(a﹣2)2+(b﹣5)2=0,从而a=2,b=5,又 ABC为等腰三角形,若第三边为2,从而分两种情形讨论计算可以得解. 【解答】解:(1)由题意,∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+7x+12, ∴. ∴正整数解为a=3,b=4或a=4,b=3. 又∵a2+b2=c2, ∴c2=32+42=9+16=25. ∴c=5. (2)由题意,∵a2+b2﹣4a﹣10b+29=0, ∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25=0. ∴(a﹣2)2+(b﹣5)2=0. ∴a=2,b=5. ∵ ABC为等腰三角形,若第三边为2, ∴①三边为2、2、5,不能构成三角形;②第三边为5,则三边为2、5、5. 综上,周长为:2+5+5=12. 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质:偶次方、三角形三边关系、等腰三角形的性质,解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键. www.21cnjy.com 精品试卷 第 2 页 (共 2 页) 学科网(北京)股份有限公司 $$