1.1 菱形的性质与判定（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

新课预习.培优卷 1.1 菱形的性质与判定 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•铁西区期末）下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 2．（2025春•滨海新区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，AC交BD于点O，AM⊥CD于点M，AM的长为（　　） A．9.6 B．9 C．8 D．6 3．（2025春•通州区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连结EF，若OA＝3，EF＝2，则菱形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025春•新乡期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，6）．连接AC，则AC的长为（　　） A．5 B．6 C． D．8 5．（2025春•荣昌区期末）如图，菱形ABCD中，边长为5，则该菱形周长是（　　） A．5 B．10 C．20 D．25 6．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 7．（2025春•邕宁区期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠B＝45°，E，F分别是CD，BC边上的动点，连接AE，EF，G是AE的中点，H是EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　） A． B．4 C． D．8 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•黔江区期末）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD交于点O，E为BD上一点，连接CE．若AC＝24，OD＝9，DE＝4，则CE＝　 　 ． 9．（2025春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　 　 ． 10．（2025春•万州区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，过点A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，则线段AE的长为　 　 ． 11．（2025春•长春期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD相交于点O，P是对角线AC上的一动点，作PM⊥CD于点M，PN⊥AD于点N．给出下面四个结论：①△BCD为等边三角形；②OA＝BD；③∠MPN＝60°；④．上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 12．（2025春•温江区期末）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若，则EF＝　 　 cm． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•贵州）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 14．（2025春•碑林区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．求证：AE＝CF． 15．（2025•襄阳模拟）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点．过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． 求证：四边形ABDF是菱形． 新课预习.培优卷 1.1 菱形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•铁西区期末）下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 【考点】菱形的判定． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠A＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定平行四边形ABCD是矩形，而不能判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝90°， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定平行四边形ABCD是矩形，而不能判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、平行四边形ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定平行四边形ABCD是矩形，而不能判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意 D、平行四边形ABCD中，AC⊥BD，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项符合题意 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025春•滨海新区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，AC交BD于点O，AM⊥CD于点M，AM的长为（　　） A．9.6 B．9 C．8 D．6 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】A 【分析】由菱形的中可得，CD＝AB＝10，由勾股定理可得OA＝6，则AC＝12，再根据菱形面积计算公式可得，据此计算求解即可． 【解答】解：由条件可知，CD＝AB＝10， ∴， ∴AC＝12， ∵AM⊥CD， ∴， ∴， ∴AM＝9.6， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2025春•通州区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连结EF，若OA＝3，EF＝2，则菱形ABCD的边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理可求BO＝2EF＝4，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点， ∴BO＝2FE＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AB5， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 4．（2025春•新乡期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，6）．连接AC，则AC的长为（　　） A．5 B．6 C． D．8 【考点】菱形的性质；坐标与图形性质． 【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OB交AC于点D，过点B作BE⊥x轴于E，由B的坐标得到OE＝8，BE＝6，由勾股定理求出OB＝10，由菱形的性质推出ODOB＝5，AC⊥OB，设OA＝AB＝x，由勾股定理得到x2＝62+（8﹣x）2，求出x，由勾股定理求出AD，即可得到AC的长． 【解答】解：连接OB交AC于点D，过点B作BE⊥x轴于E， ∵点B的坐标为（8，6）， ∴OE＝8，BE＝6， ∴OB10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ODOB＝5，AC⊥OB， 设OA＝AB＝x，则AE＝8﹣x， ∵AB2＝BE2+AE2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， ∴x， ∴OA， ∴AD， ∴AC＝2AD． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于x的方程． 5．（2025春•荣昌区期末）如图，菱形ABCD中，边长为5，则该菱形周长是（　　） A．5 B．10 C．20 D．25 【考点】菱形的性质；平行四边形的性质． 【答案】C 【分析】根据菱形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为5， ∴该菱形周长＝4×5＝20， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键． 6．（2025春•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．40 D．24 【考点】菱形的判定与性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】B 【分析】证明▱ABCD是菱形，可得EF是△AOD的中位线，根据勾股定理求得AD，根据菱形的性质求得周长． 【解答】解：∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD； ∵点E，F分别为AD，AO的中点， ∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线， ∴OD＝2EF＝6， ∵平行四边形ABCD中，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝AD， ∴， ∴菱形ABCD的周长． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 7．（2025春•邕宁区期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠B＝45°，E，F分别是CD，BC边上的动点，连接AE，EF，G是AE的中点，H是EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　） A． B．4 C． D．8 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】A 【分析】连接AF，过A作AM⊥BC于M，判定△ABM是等腰直角三角形，求出AMAB＝4，由垂线段最短得到AF≥AM，由三角形中位线定理推出GHAF，即可得到GH的最小值． 【解答】解：连接AF，过A作AM⊥BC于M， ∵菱形ABCD的边长为8， ∴AB＝8， ∵∠B＝45°，∠AMB＝90°， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴AMAB＝4， ∵AF≥AM， ∴AF的最小值是4， ∵G是AE的中点，H是EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GHAF， ∴GH的最小值为2． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出GHAF，由垂线段最短得到AF≥AM． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•黔江区期末）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD交于点O，E为BD上一点，连接CE．若AC＝24，OD＝9，DE＝4，则CE＝　13　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】13． 【分析】根据菱形的性质可得，∠COE＝90°，再根据勾股定理求出CE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24， ∴，AC⊥BD， ∵OD＝9，DE＝4， ∴OE＝OD﹣DE＝9﹣4＝5， ∴CE13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 9．（2025春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　　 ． 【考点】菱形的性质；三角形的面积． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】 【分析】过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC延长线于点H，连接AC，根据菱形性质求出AN＝AM，根据△ABE和△ACF等底等高得S△ABE＝S△ACF，进而得S△AEC＝2.5×S△ABE，再根据面积公式得EC＝2.5×BE，由此得BE＝4，EC＝10，在Rt△DCH中，由勾股定理求出CH＝6得EH＝16，然后在Rt△EDH中，由勾股定理即可求出ED的长． 【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝14， ∴BC＝AB＝CD＝14，AD∥BC， ∵菱形面积为， ∴BC•AM， ∴14×AM， ∴AM， 同理：AN＝AM， ∵BE＝CF， ∴△ABE和△ACF等底等高， ∴S△ABE＝S△ACF， ∵四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍， ∴S△AEC+S△ACF＝3.5×S△ABE， ∴S△AEC＝3.5×S△ABE﹣S△ACF＝2.5×S△ABE， ∴1EC•AM＝2.5BE•AM， ∴EC＝2.5×BE， ∴BC＝BE+EC＝3.5×BE＝14， ∴BE＝4， ∴EC＝2.5×BE＝10， ∵AD∥BC，AM⊥BC，AN⊥CD， 根据平行线间的距离处处相等得：DH＝AM， 在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH6， ∴EH＝EC+CH＝10+6＝16， 在Rt△EDH中，由勾股定理得：ED． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，理解菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理及时解决问题的关键． 10．（2025春•万州区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，过点A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，则线段AE的长为　9.6　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】9.6． 【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，AC⊥BD，由勾股定理求出AO，根据菱形的面积公式可求解． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10，AO＝CO，BO＝DOBD＝6，AC⊥BD， ∴AO8， ∴AC＝16， ∵AE⊥BC， ∴S菱形ABCDBD×AC＝BC•AE， ∴12×16＝10AE， ∴AE＝9.6， 故答案为：9.6． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 11．（2025春•长春期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC、BD相交于点O，P是对角线AC上的一动点，作PM⊥CD于点M，PN⊥AD于点N．给出下面四个结论：①△BCD为等边三角形；②OA＝BD；③∠MPN＝60°；④．上述结论中，正确结论的序号有 　①③④　 ． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】①③④． 【分析】①根据菱形性质得BC＝CD，∠ABD＝∠CBD＝60°，再根据等边三角形的判定即可对结论①进行判断； ②设OB＝a，则BD＝2a，利用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理得AB＝2OB＝2a，OA，由此可对结论②进行判断； ③根据∠PND＝∠PMD＝90°及四边形的内角和等于360°得∠MPN+∠ADC＝180°，再根据∠ABD＝120°得∠MPN＝60°，由此可对结论③进行判断； ④连接PD，设OB＝a，则OD＝OB＝a，AD＝CD＝2a，OA＝OC，AC，进而得S△APD＝a•PN，S△PCD＝a•PN，S△ACD，再根据S△APD+S△PCD＝S△ACD，得PM+PN，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，OA＝OC，OB＝OD，∠ABD＝∠CBD∠ABC＝60°，AC⊥BD， ∴△BCD是等边三角形， 故结论①正确； ②设OB＝a，则BD＝2a， 在Rt△AOB中，∠ABD＝60°， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABD＝30°， ∴AB＝2OB＝2a， 由勾股定理得：OA＝AB2﹣OB2＝（2a）2﹣a2＝√3a， 又∵BD＝2a， ∴OA≠BD， 故结论②不正确； ③∵PM⊥CD，PN⊥AD， ∴∠PND＝∠PMD＝90°， 根据四边形的内角和等于360°得：∠MPN+∠ADC＝180°， ∵∠ABD＝120°， ∴∠MPN＝60°， 故结论③正确， ④连接PD，如图所示： 设OB＝a，则OD＝OB＝a，AB＝AD＝CD＝2a，OA＝OC， ∴AC＝2OA， ∵S△APDAD•PN＝a•PN，S△PCDCD•PM＝a•PN， ∴S△ACDAC•OD，S△APD+S△PCD＝S△ACD， ∴a•PN+a•PN， ∴PM+PN， 又∵AC， ∴PM+PNAC， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 12．（2025春•温江区期末）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若，则EF＝　2　 cm． 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】2． 【分析】根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，△CDF≌△ABE（ASA），得AE＝CF，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD， 由菱形性质可知AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°， ∵BE＝2cm， ∴BD＝ABBE＝6cm， ∴BO＝3cm， ∴AOBO＝3cm， ∴AC＝2AO＝6cm， ∵BE⊥AB，DF⊥CD， ∴∠CDF＝∠ABE＝90°； ∴△CDF≌△ABE（ASA）， ∴AE＝CF， ∵∠BAE＝30°， ∴CF＝AE＝2BE＝4cm， ∴EF＝AE+CF﹣AC＝4462（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△CDF≌△ABE是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•贵州）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 【考点】菱形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）8． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形； （2）根据等腰三角形的性质得到∠EBF＝∠EFB，∠CEF＝∠CFE，求得∠CBE＝30°，∠BCA＝60°，得到∠BCE＝∠DCF，根据全等三角形的性质得到∠DFC＝∠BEC＝90°，得到DFCF＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵BE＝EF， ∴∠EBF＝∠EFB， ∵CF＝CE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠BCE＝∠CEF+∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF， ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°， ∴∠DCF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BCE＝∠DCF， ∵BC＝CD，CE＝CF， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠DFC＝∠BEC＝90°， ∵CF＝CE＝4， ∴DFCF＝4， ∴△DCF的面积DF•CE4×48． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（2025春•碑林区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．求证：AE＝CF． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠BEA＝∠BFC＝90°， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 15．（2025•襄阳模拟）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点．过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． 求证：四边形ABDF是菱形． 【考点】菱形的判定；三角形中位线定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】首先根据点D，E分别是边BC，AC的中点，可知BC＝2BD、DE∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形或证四边形ABDF是平行四边形，又因为D为AC的中点，可证AB＝BD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证结论成立． 【解答】证明：在∠ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2BD， ∴DE∥AB， 又∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB， ∴AB＝BD， ∴平行四边形ABDF是菱形． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$