17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固 - 2024—2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、与图形面积有关的问题 1.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+3）＝10的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+3，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为10×4+9＝49，边长为7，故得x（x+3）＝10的正数解为x2．小智按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（　　） A.m＝6，n＝4 B. C.m＝4，n＝6 D. 2.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 3.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 4.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．则道路的宽是 　　m． 5.一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　　米． 6.某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）． （1）求矩形花坛的宽是多少米； （2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米． 7.某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 二、握手、赠送和比赛问题 1.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 2.某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（　　）人． A.5 B.6 C.7 D.8 3.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 4.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　　个班参加比赛． 5.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　　个好友． 6.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 7.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 三、传播问题 1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A.14 B.13 C.12 D.11 2.某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是（    ） A.24 B.28 C.32 D.36 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 4.某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为      ． 5.兴华中学课外活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是      ． 6.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？ 7.某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病． (1)每位发病者平均每天传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 四、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 2.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 5.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 6.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 五、销售问题 1.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A.100元 B.80元 C.80元或100元 D.无法确定 2.超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（　　） A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元 3.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（　　） A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 4.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　　元． 5.香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　　元． 6.端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润＝售价﹣进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 7.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 六、增长率问题 1.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 2.某小区为优化居住环境，计划经过两年时间使绿化面积增加20%，若每年增长率相同，设这个增长率为x，所列方程正确的是（    ） A.2（1+x）=1+20% B.2x=20% C.(x+1)2=1+20% D.x(x+1)=20% 3.“房住不炒”多次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（　　） A.9.5% B.10% C.10.5% D.11% 4.随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　　． 5.某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 　　． 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 7.在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率． 七、数字问题 1.有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（    ） A.26 B.62 C.26或62 D.以上均不对 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 4.如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为     ． 5.已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么              ． 6.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 7.如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、与图形面积有关的问题 1.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+3）＝10的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+3，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为10×4+9＝49，边长为7，故得x（x+3）＝10的正数解为x2．小智按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（　　） A.m＝6，n＝4 B. C.m＝4，n＝6 D. 【答案】C 【解析】把方程x2+mx﹣n＝0变形得到x（x+m）＝n， 如图，将四个长为x+m，宽为x的长方形纸片（面积均为n）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为40＝4n+16，解得n＝6，小正方形边长为，故得x（x+m）＝n的正数解为， 即n＝6，m＝4， 故选：C． 2.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 【答案】C 【解析】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 3.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 【答案】B 【解析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x160（舍去），x2＝5． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 4.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．则道路的宽是 　　m． 【答案】6． 【解析】设通道的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得： （52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 4x2﹣160x+816＝0， x2﹣40x+204＝0， （x﹣34）（x﹣6）＝0， 解得：x＝34（舍去）或x＝6， ∴通道的宽为6米； 故答案为：6． 5.一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　　米． 【答案】1． 【解析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（60﹣2x）（17﹣2x）＝870， 整理得：2x2﹣77x+75＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴通道宽为1米． 故答案为：1． 6.某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）． （1）求矩形花坛的宽是多少米； （2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米． 【答案】解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米， 依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125， 整理得：x2+15x﹣100＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）． 答：矩形花坛的宽是5米． （2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米， 依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000， 解得：y≥300． 答：至少要安排甲队施工300平方米． 7.某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 【答案】（1）设，根据题意， 得四边形，四边形，四边形都是矩形， 设，， 根据题意，得，， ∴, ∴, 解得， 故 故答案为：． （2）根据(1),得，，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：的长度为． 二、握手、赠送和比赛问题 1.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 【答案】B 【解析】设有x人参加了选拔赛， 由题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B． 2.某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（　　）人． A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份祝福语， 根据题意得x（x﹣1）＝56， x1＝﹣7（不符合题意），x2＝8． 答：该小组共有8人． 故选：D． 3.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， x（x﹣1）÷2＝28， 解得x＝8或﹣7（舍去）． 故应邀请8个球队参加比赛． 故选：C． 4.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　　个班参加比赛． 【答案】5． 【解析】设有x个班参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝10， 整理得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴有5个班参加比赛． 故答案为：5． 5.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　　个好友． 【答案】5 【解析】设每轮每人向x人 发送短信， 依题意得：x+x（x+1）＝35， 解得：x1＝5，x2＝﹣7（不合题意，舍去） 故答案为：5． 6.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 【答案】解：设七年级有x个班， ， x2﹣x﹣90＝0， （x﹣10）（x+9）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣9（舍）， 答：七年级有10个班． 7.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 【答案】解：设八年级有x个班， ， ， x2﹣x﹣30＝0， （x﹣6）（x+5）＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣5（舍）， 则八年级有6个班． 三、传播问题 1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A.14 B.13 C.12 D.11 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 故选：B． 2.某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是（    ） A.24 B.28 C.32 D.36 【答案】B 【解析】设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感， 根据题意得：， 解得：， (舍去)， ． 故选：B． 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 4.某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为      ． 【答案】 【解析】依题意得：， 故答案为：． 5.兴华中学课外活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是      ． 【答案】4 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：4． 6.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？ 【答案】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 根据题意，得， 解，得或（不合题意，应舍去）． 所以经过三轮后共有， 答：经过三轮后共有1000台感染的电脑． 7.某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病． (1)每位发病者平均每天传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 【答案】解：（1）设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每位发病者平均每天传染4人； （2）（人， ， 按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人． 四、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 2.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 【答案】A 【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQCQ•CP， ∴42t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由题意可得AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝6﹣2t， ∴， 当△PBQ的面积为时，可得， 解得， 故选：C． 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【解析】过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 5.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 【答案】2或4． 【解析】根据题意，知BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm． ∵线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分， ∴S△PBQS△PBQ或S△PBQS△PBQ， 则根据三角形的面积公式，得（6﹣t）•2t6×8，或（6﹣t）•2t6×8， 整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解）， 解得t1＝2，t2＝4， 即线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 6.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【答案】解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时， t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 五、销售问题 1.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A.100元 B.80元 C.80元或100元 D.无法确定 【答案】B 【解析】设这种白酒的销售单价为x元，则每瓶白酒的销售利润为（x﹣60）元， 由题意得：（x﹣60）[40+2（100﹣x）]＝1600， 整理得：x2﹣180x+8000＝0， 解得：x1＝80，x2＝100（不符合题意，舍去）， 即这种白酒的销售单价为80元， 故选：B． 2.超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（　　） A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元 【答案】D 【解析】设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000， 整理，得x2﹣15x+50＝0， 解这个方程，得x1＝5，x2＝10． 答：每千克水果应涨价5元或10元． 故选：D． 3.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（　　） A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 【答案】B 【解析】设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件， 根据题意得：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800， 整理得：x2﹣14x+40＝0， 解得：x1＝4，x2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝10， ∴每件应降价10元． 故选：B． 4.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　　元． 【答案】50． 【解析】设设每件售价应定为x元，根据题意， 得（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20， 解得：x1＝50，x2＝60， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x＝50， 答：商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故答案为：50． 5.香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　　元． 【答案】80． 【解析】设每件应降价x元，则每件的销售利润为（200﹣x）元，每月可售出12030＝（120+1.5x）件， 根据题意得：（200﹣x）（120+1.5x）＝28800， 整理得：x2﹣120x+3200＝0， 解得：x1＝40，x2＝80， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝80， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 6.端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润＝售价﹣进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 【答案】解：（1）设购进鲜肉粽x袋，蜜枣粽y袋， 由题意得：， 解得：， 答：购进鲜肉粽32袋，蜜枣粽18袋； （2）设每袋鲜肉粽应降价m元，则降价当天售（2+2m）袋， 由题意得：18×（19﹣10）+（27﹣m﹣15）（2+2m）+（27﹣12）[32﹣（2+2m]＝506， 整理得：m2+m﹣20＝0， 解得：m1＝4，m2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 答：每袋鲜肉粽应降价4元． 7.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】解：（1）20+2×（60﹣45） ＝20+2×15 ＝20+30 ＝50（件）． 答：当每件售价为45元时，日销量是50件． （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+2（60﹣x）＝（140﹣2x）件， 依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20， 整理得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x＝50． 答：每件售价应定为50元． （3）设该商品需打y折销售， 依题意得：62.550， 解得：y≤8． 答：该商品至少需打8折销售． 六、增长率问题 1.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 【答案】C 【解析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为x， 根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴Ⅰ型药品的年平均下降率为25%． 故选：C． 2.某小区为优化居住环境，计划经过两年时间使绿化面积增加20%，若每年增长率相同，设这个增长率为x，所列方程正确的是（    ） A.2（1+x）=1+20% B.2x=20% C.(x+1)2=1+20% D.x(x+1)=20% 【答案】C 【解析】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程：(x+1)2=1+20%   故选C. 3.“房住不炒”多次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（　　） A.9.5% B.10% C.10.5% D.11% 【答案】B 【解析】设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：（1﹣x）2＝1﹣19%， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴平均每次降价的百分率为10%． 故选：B． 4.随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　　． 【答案】30%． 【解析】设该种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， ∴该种药品平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 5.某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 　　． 【答案】10%． 【解析】设这个平均增长率是x， 根据题意得：12000（1+x）2＝14520， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴这个平均增长率是10%． 故答案为：10%． 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608． 化简得：4x2+12x﹣7＝0． ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）． 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： ∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128432＜500． 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 7.在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率． 【答案】解：设养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 依题意得：4（1+x）2＝4.84， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为10%． 七、数字问题 1.有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（    ） A.26 B.62 C.26或62 D.以上均不对 【答案】C 【解析】设原两位数的个位数字为，则十位数字为． 由题意得， 解得，． 当时，； 当时，，则原来的两位数为62或26． 故选C． 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】D 【解析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 【答案】C 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为25或36． 故选C． 4.如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为     ． 【答案】11或﹣8 【解析】设较小的数为x，则较大的数为x+3， 根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0， 分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0， 解得：x＝8或x＝﹣11， ∴x+3＝11或﹣8， 则较大的数为11或﹣8， 故答案为：11或﹣8． 5.已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么              ． 【答案】39 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为， ， 解得（舍），或， ． 故答案为：39． 6.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2）， 整理得：3x2-5x-2=0， 解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）， ∴x+2=4， ∴这个两位数为24． 7.如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    【答案】解：设这个最小数为x，则最大数为， 依题意得：． 整理得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为11． 学科网（北京）股份有限公司 $$