17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固练习题2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、与图形面积有关的问题 1.如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A.1cm B.2cm C.1.5cm D.3cm 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 4.为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为      米．    5.一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　　米． 6.乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． （2）根据你所列的方程求出x的值． 7.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　　m； （2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽． （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 二、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 5.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． （1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 7.如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 三、增长率问题 1.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A.83% B.69% C.25% D.20% 2.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 3.某小区为优化居住环境，计划经过两年时间使绿化面积增加20%，若每年增长率相同，设这个增长率为x，所列方程正确的是（    ） A.2（1+x）=1+20% B.2x=20% C.(x+1)2=1+20% D.x(x+1)=20% 4.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为      ． 5.某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 　　． 6.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 7.某工业企业2023年完成工业总产值440亿元，如果要在2025年达到743.6亿元，那么2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是多少？ 四、销售问题 1.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 2.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A.100元 B.80元 C.80元或100元 D.无法确定 3.超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（　　） A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元 4.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． （1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 　　； （2）若生产第x档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 　　档． 5.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 　　元． 6.为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． （1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 7.冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 五、握手、赠送和比赛问题 1.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 2.某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 3.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 4.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签了15份合同，共有 　　家公司参加商品交易会． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　　个班参加比赛． 6.九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 7.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 六、传播问题 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 2.生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A. B. C. D.或 3.有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A. B. C. D. 4.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程        ． 5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 6.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． (1)每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ (2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后，感染的电脑总数会不会超过1700台？ 7.某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 七、数字问题 1.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（    ） A.24 B.35 C.42 D.53 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 3.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A.95 B.59 C.26 D.62 4.两个连续整数的积为240，则这两个整数为              ． 5.《念奴娇赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为     岁． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 7.一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数． 沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、与图形面积有关的问题 1.如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】B 【解析】设剪去正方形的边长为x cm，则长方体盒子的底面长为（12﹣2x）cm，宽为（8﹣x）cm． 依题意得：（12﹣2x）（8﹣x）＝48， 整理得：x2﹣22x+72＝0， 解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 故选：B． 2.在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为704cm2，则小华添加的边框的宽度是（　　） A.1cm B.2cm C.1.5cm D.3cm 【答案】A 【解析】设小华添加的边框的宽度是x cm，则整个图形的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm， 根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝704， 整理得：x2+25x﹣26＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣26（不符合题意，舍去）， ∴小华添加的边框的宽度是1cm． 故选：A． 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】D 【解析】设原正方形空地的边长是x m， 由题意得，（x﹣2）（x﹣3）＝12， 解得x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴原正方形空地的边长是6m， 故选：D． 4.为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为      米．    【答案】 【解析】解：设区域①矩形的宽为米， ∵区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长的一半，且三块区域的面积相等， ∴区域②矩形的宽为米， 则区域①矩形的长为； 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ， 故答案为： 5.一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 　　米． 【答案】1． 【解析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（60﹣2x）（17﹣2x）＝870， 整理得：2x2﹣77x+75＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴通道宽为1米． 故答案为：1． 6.乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ （1）如果设金色纸边的宽度为x分米，那么挂画的长可表示为　　分米，挂画的宽可表示为　　分米，列出的方程为　　． （2）根据你所列的方程求出x的值． 【答案】解：（1）设金色纸边的宽度为x分米，则挂画的长为（8+2x）分米，挂画的宽为（6+2x）分米， 由题意得（8+2x）（6+2x）＝80； （2）整理方程得：x2+7x﹣8＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣8（不合题意舍去）． 答：金色纸边的宽度为1分米． 7.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　　m； （2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽． （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意可知，BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m）， 故答案为：（72﹣3x）； （2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m， 由题意得：x（72﹣3x）＝285， 整理得：x2﹣24x+95＝0， 解得：x1＝5，x2＝19（不符合题意，舍去）， ∴72﹣3x＝72﹣3×5＝57， 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m； （3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下： 设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m， 由题意得：y（72﹣3y）＝450， 整理得：y2﹣24y+150＝0， ∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0， ∴原方程无解， ∴不能围成面积为450m2的自行车车棚． 二、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由题意可得AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝6﹣2t， ∴， 当△PBQ的面积为时，可得， 解得， 故选：C． 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【解析】过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 5.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 【答案】2或4． 【解析】根据题意，知BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm． ∵线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分， ∴S△PBQS△PBQ或S△PBQS△PBQ， 则根据三角形的面积公式，得（6﹣t）•2t6×8，或（6﹣t）•2t6×8， 整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解）， 解得t1＝2，t2＝4， 即线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． （1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 【答案】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm， 根据题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下： 假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ， 即12×612•t（6﹣t）•2t6•（12﹣2t）＝8， 整理得：t2﹣6t+28＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0， ∴原方程无解， ∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2． 7.如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 三、增长率问题 1.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A.83% B.69% C.25% D.20% 【答案】C 【解析】设从5月份到7月份销售量的月增长率为x， 由题意得：144（1+x）2＝225， 解得：x1＝0.25＝20%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 即从5月份到7月份销售量的月增长率为25%， 故选：C． 2.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 【答案】C 【解析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为x， 根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴Ⅰ型药品的年平均下降率为25%． 故选：C． 3.某小区为优化居住环境，计划经过两年时间使绿化面积增加20%，若每年增长率相同，设这个增长率为x，所列方程正确的是（    ） A.2（1+x）=1+20% B.2x=20% C.(x+1)2=1+20% D.x(x+1)=20% 【答案】C 【解析】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程：(x+1)2=1+20%   故选C. 4.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为      ． 【答案】20 【解析】解：由题意得： 令则原方程可化简为 ∴ 解之得： ，（不合题意，舍去） ∴ ． 故答案为：20. 5.某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 　　． 【答案】10%． 【解析】设这个平均增长率是x， 根据题意得：12000（1+x）2＝14520， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴这个平均增长率是10%． 故答案为：10%． 6.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【答案】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%． （2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件）， ∵43.91＜45， ∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 7.某工业企业2023年完成工业总产值440亿元，如果要在2025年达到743.6亿元，那么2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是多少？ 【答案】解：设2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是x， 根据题意得：440（1+x）2＝743.6， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：2023年到2025年的工业总产值年平均增长率是30%． 四、销售问题 1.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 【答案】C 【解析】设每件工艺品降价x元，依题意，得： （45﹣x）（20+4x）＝2100， 解得：x1＝10，x2＝30， 经检验：为了尽快减少库存x＝10不符合题意，应取x＝30． ∴每件工艺品应降价30元． 故选：C． 2.某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A.100元 B.80元 C.80元或100元 D.无法确定 【答案】B 【解析】设这种白酒的销售单价为x元，则每瓶白酒的销售利润为（x﹣60）元， 由题意得：（x﹣60）[40+2（100﹣x）]＝1600， 整理得：x2﹣180x+8000＝0， 解得：x1＝80，x2＝100（不符合题意，舍去）， 即这种白酒的销售单价为80元， 故选：B． 3.超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（　　） A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元 【答案】D 【解析】设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000， 整理，得x2﹣15x+50＝0， 解这个方程，得x1＝5，x2＝10． 答：每千克水果应涨价5元或10元． 故选：D． 4.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． （1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 　　； （2）若生产第x档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 　　档． 【答案】（1）10；（2）六； 【解析】（1）（3﹣1）×2+6＝10． 故答案为：10； （2）若生产第x档的产品，则每件的利润为6+2（x﹣1）＝（2x+4）元，日产量为95﹣5（x﹣1）＝（100﹣5x）件， 依题意，得：（2x+4）（100﹣5x）＝1120， 整理，得：x2﹣18x+72＝0， 解得：x1＝6，x2＝12（不合题意，舍去）． 答：该产品的质量档次为六档． 故答案为：六． 5.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 　　元． 【答案】4或36． 【解析】设每件降价x元，则每件可盈利（44﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）件， 根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：x2﹣40x+144＝0， 解得：x1＝4，x2＝36， ∴若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元． 故答案为：4或36． 6.为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖． （1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润． 【答案】解：（1）设该服装销售量的月平均增长率为x， 由题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该服装销售量的月平均增长率为25%； （2）设商家将比赛服降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为（120﹣y）元， 由题意得：（120﹣y﹣75）（40015）＝13350， 整理得：3y2+265y﹣4650＝0， 解得：y1＝15，y2（不符合题意，舍去）， ∴120﹣y＝120﹣15＝105， 答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润． 7.冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】解：（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为 400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 五、握手、赠送和比赛问题 1.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， x（x﹣1）÷2＝28， 解得x＝8或﹣7（舍去）． 故应邀请8个球队参加比赛． 故选：C． 2.某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】设该小组共有x人，则每人需提（x﹣1）条建议， 根据题意得：x（x﹣1）＝72， x1＝﹣8（不符合题意），x2＝9． 答：该小组共有9人． 故选：C． 3.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 【答案】B 【解析】设有x人参加了选拔赛， 由题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B． 4.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签了15份合同，共有 　　家公司参加商品交易会． 【答案】6． 【解析】设有x家公司参加， 依题意，得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0 解得：x1＝6，x2＝﹣5（舍去）， 答：共有6家公司参加商品交易会． 故答案为：6． 5.某年级开展篮球比赛，参赛的每两个班之间都要比赛一场，共比赛10场，则有 　　个班参加比赛． 【答案】5． 【解析】设有x个班参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝10， 整理得：x2﹣x﹣20＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴有5个班参加比赛． 故答案为：5． 6.九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】解：设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1640， 整理得：x2﹣x﹣1640＝0， 解得：x1＝41，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）． 答：九年级（1）班共有41名学生． 7.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 【答案】解：设八年级有x个班， ， ， x2﹣x﹣30＝0， （x﹣6）（x+5）＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣5（舍）， 则八年级有6个班． 六、传播问题 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 2.生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 3.有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 故选：． 4.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程        ． 【答案】 【解析】设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 【答案】11 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 6.某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． (1)每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ (2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后，感染的电脑总数会不会超过1700台？ 【答案】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑． 依题意得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑． （2）由（1）得： ． 答：3轮感染后，被感染的电脑会超过1700台． 7.某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【答案】解：设每轮传染中平均一人传染了个人， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每轮传染中平均一人传染了7个人． 七、数字问题 1.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（    ） A.24 B.35 C.42 D.53 【答案】A 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2， 由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)， 整理得：(x-2)(3x+1)=0， 解得(舍去)， ∴这个两位数为24， 故选：A． 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】D 【解析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 3.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A.95 B.59 C.26 D.62 【答案】D 【解析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则 （10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612， 解得x=6， 10x+y=60+（6-4）=62． 故这个两位数是62． 故选：D． 4.两个连续整数的积为240，则这两个整数为              ． 【答案】，或15，16 【解析】设较小的数为． 根据题意，得， 解得，， 则或， 故答案为：，或15，16． 5.《念奴娇赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为     岁． 【答案】 【解析】设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【答案】解：依题意，设这个数为，列方程， 即， ∴， 解得． ∴这个数为或． 7.一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为（x+3）， 由题意得，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴十位数字为x+3＝6， 答：这个两位数为63． 学科网（北京）股份有限公司 $$