专题22.5 相似三角形的应用（举一反三讲义）数学沪科版九年级上册

专题22.5 相似三角形的应用（举一反三讲义） 【沪科版】 【题型1 灯光下的测量问题】 1 【题型2 标杆测量问题】 3 【题型3 利用镜子进行测量】 5 【题型4 利用视线进行测量】 7 【题型5 古典文化中的测量问题】 9 【题型6 光学成像中的测量问题】 10 【题型7 裁剪问题】 11 【题型8 三角形中内接矩形】 13 【题型9 实物抽象出相似问题】 14 知识点 相似三角形的应用 (1) 利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决； ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度. (2) 利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上,必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度. (3) 借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度. 【题型1 灯光下的测量问题】 【例1】如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【变式1-2】（22-23九年级下·广东广州·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）在成都未来科技城福田地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图）．在数学活动课中，小明利用硬纸板自制测量“科技树”的高度，即的长（如图）：已知，在中，米，米，，是树干上两点，目测点到地面的距离米，到树干的水平距离米，他通过调整位置，使斜边与点在同一直线上，另一条直角边与“科技树”左侧最高点在同一直线上，树冠的正投影点到树干底端距离即米．求“科技树”的高度． 【题型2 标杆测量问题】 【例2】（2025·河南周口·一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西晋中·期中）太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称．某校数学兴趣小组决定采用如下方法来测量鼓楼的高度．如图，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔约为．从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线；从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线，其中点均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鼓楼的高度． 【变式2-3】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，为路灯主杆，为路灯的悬臂，，．为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯筑．已知于点B，，高度为1.6m的小艺同学沿地面走着去看灯笼与路灯C，，绘制示意图（如图2），G，D，H三点共线，，且，连结能满足与点D、E、F为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼F与H点的距离为 m． 【题型3 利用镜子进行测量】 【例3】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量．方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿方向移动，当移动2米到D处时（即米），恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米．然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为6米，为8米．已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算物体的高度． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计）    【变式3-3】（2024·陕西咸阳·二模）为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且，均垂直于，D、P、F三点共线，且，．已知小明眼睛离地面的高度，，，，．求路灯的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）                【题型4 利用视线进行测量】 【例4】（24-25九年级下·陕西西安·期中）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【变式4-1】（2025·河南郑州·二模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 【变式4-2】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 【题型5 古典文化中的测量问题】 【例5】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 【变式5-1】（23-24九年级上·云南文山·期末）孙子算经中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺别立一表，长一尺五寸，影得五寸问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于尺，另外再有一根标杆，杆长尺，量得标杆的影子为尺，则木杆的长为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 【变式5-3】（22-23九年级上·江苏南通·期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 步． 【题型6 光学成像中的测量问题】 【例6】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（   ） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 【变式6-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了小孔成像的实验、并在《墨经》中有这样记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【变式6-2】（2025·山西长治·三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【题型7 裁剪问题】 【例7】现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【变式7-1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 【变式7-2】在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 【变式7-3】一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【题型8 三角形中内接矩形】 【例8】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【变式8-1】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【变式8-3】（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米． ①探究与是否相似并说明理由； ②求的长． （2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．    【题型9 实物抽象出相似问题】 【例9】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【变式9-2】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图是一个矩形足球球场，为球门，于点D，米．某球员沿带球向球门进攻，在Q处准备射门，已知米，米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，中点与距离 米时，刚好能成功防守． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.5 相似三角形的应用（举一反三讲义） 【沪科版】 【题型1 灯光下的测量问题】 1 【题型2 标杆测量问题】 7 【题型3 利用镜子进行测量】 11 【题型4 利用视线进行测量】 17 【题型5 古典文化中的测量问题】 22 【题型6 光学成像中的测量问题】 26 【题型7 裁剪问题】 30 【题型8 三角形中内接矩形】 34 【题型9 实物抽象出相似问题】 41 知识点 相似三角形的应用 (1) 利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决； ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度. (2) 利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上,必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度. (3) 借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度. 【题型1 灯光下的测量问题】 【例1】如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． (1)若，求路灯的高度； (2)连接，若米，求的值． 【答案】(1)16米 (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理． （1）根据题意得到米，米，证明，得，，进而得，进而可得答案； （2）过点O作于点H，则，证明，，得，，进而得，进而可求得米，（米），，再由勾股定理求得（米）． 【详解】（1）解：由题意知：米， ∵， ∴米，米， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴米， 答：路灯的高为16米； （2）解：由题意得米，米，米， 过点O作于点H， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米，（米）， ∴（米）， ∴在中，（米） 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， ， 即，， 解得：， 答：路灯的高度为． 【变式1-2】（22-23九年级下·广东广州·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不发生变化，两个影子长的和是 【分析】（1）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可； （2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相似比即可求出影子的长度和． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：； （2）解：不会发生变化； 如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为，在B路灯下的影子长度为， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则，，整理得：，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，解得：， ∴两个影子的长的和不会变，一直都是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法． 【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）在成都未来科技城福田地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图）．在数学活动课中，小明利用硬纸板自制测量“科技树”的高度，即的长（如图）：已知，在中，米，米，，是树干上两点，目测点到地面的距离米，到树干的水平距离米，他通过调整位置，使斜边与点在同一直线上，另一条直角边与“科技树”左侧最高点在同一直线上，树冠的正投影点到树干底端距离即米．求“科技树”的高度． 【答案】“科技树”的高度为米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，设交于点，则有四边形，四边形，四边形是矩形，故有米，米，然后证明，根据性质得，最后代入求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， 由题意可得：四边形，四边形，四边形是矩形， ∴（米），（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：“科技树”的高度为米． 【题型2 标杆测量问题】 【例2】（2025·河南周口·一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 【答案】约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由得，代入计算求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， ． ， 答：南阳解放纪念碑的高度约为． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 【答案】(1)见解析 (2)45米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用中心投影的性质画出图形； （2）证明得，再代值计算即可得的值． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 答：信号塔的高度的长为45米． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西晋中·期中）太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称．某校数学兴趣小组决定采用如下方法来测量鼓楼的高度．如图，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔约为．从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线；从标杆后退到点处（即），从点处观察顶端处，使三点共线，其中点均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鼓楼的高度． 【答案】鼓楼的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，设，则，由，，得，证明，得到，同理得到，进而建立方程求出的值，然后代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴鼓楼的高度为． 【变式2-3】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，为路灯主杆，为路灯的悬臂，，．为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯筑．已知于点B，，高度为1.6m的小艺同学沿地面走着去看灯笼与路灯C，，绘制示意图（如图2），G，D，H三点共线，，且，连结能满足与点D、E、F为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼F与H点的距离为 m． 【答案】 【分析】过C作于点N，证明，即可求得结果． 【详解】过C作于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理． 【题型3 利用镜子进行测量】 【例3】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为 【分析】 本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图． [探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解； [解决问题]①根据题意作图即可； ②根据题意可知，∽，利用相似求解． 【详解】 解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量．方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿方向移动，当移动2米到D处时（即米），恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米．然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为6米，为8米．已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算物体的高度． 【答案】物体的高度为8米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，求出，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 答：物体的高度为8米． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计）    【答案】99米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面镜成像的性质等知识点，连接，利用平面镜成像的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，设米，则(米)，利用等式的性质求得米，利用平行线的判定得到，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图，    走到点时，恰好在镜子中看到大厦顶端的像， ， ， ， ， ，设米，则(米)， 影长为1.2米，=14.5米，=0.8米， 米， ， ， ， ， ， ， 大厦的高度为99米． 【变式3-3】（2024·陕西咸阳·二模）为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且，均垂直于，D、P、F三点共线，且，．已知小明眼睛离地面的高度，，，，．求路灯的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）                【答案】约 【分析】本题考查相似三角形的应用，解答的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识解决问题．先根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到， 过E作于G，则,，证明求得，进而求得即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， 过E作于G，则四边形是矩形， ∴,， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 答：路灯的长约为． 【题型4 利用视线进行测量】 【例4】（24-25九年级下·陕西西安·期中）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【答案】遮阳篷的宽是米 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图，则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 【变式4-1】（2025·河南郑州·二模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 【答案】观赏者与墙壁的距离的长为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明，推出，即可解答． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：观赏者与墙壁的距离的长为 ． 【变式4-2】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，过点作于点，延长交于点，则，先证明四边形和四边形是矩形，得到，，，再证明，可得，求得，进而可求得即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，经检验符合题意． ， 答：树的高度为． 【题型5 古典文化中的测量问题】 【例5】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 【答案】步 【分析】本题只需要证出，利用相似三角形的性质可以得到：，然后可以求出CK的值，得出答案． 【详解】解：由题意可知：，AH＝15 ∵H为GD的中点，K为DE的中点 DH＝100，DK＝100 ∵AH∥DK ∴∠CDK＝∠A 而∠CKD＝∠AHD ∴ ∴ 即， ∴ 答：出南门步恰好看到位于A处的树木． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度． 【变式5-1】（23-24九年级上·云南文山·期末）孙子算经中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺别立一表，长一尺五寸，影得五寸问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于尺，另外再有一根标杆，杆长尺，量得标杆的影子为尺，则木杆的长为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺， ∴， 解得， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：7． 【变式5-3】（22-23九年级上·江苏南通·期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 步． 【答案】1255 【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长． 【详解】解：根据题意得步，步，步，步， ， ， ，即①， ， ， ，即②， 由①②得， 即， ， ， ， ， （步）， 即山峰的高度为1255步． 故答案为：1255． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长． 【题型6 光学成像中的测量问题】 【例6】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（   ） A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，作出图形，利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可．令点为光源，为小明的手，为小狗手影，根据相似三角形的判定和性质，则，得到，设，则，根据题意，，则，计算得到答案，即可． 【详解】解：点为光源，为小明的手，为小狗手影， ∴， 作交于点，延长交于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小明的手与光源的距离为：（米）． 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了小孔成像的实验、并在《墨经》中有这样记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的性质是关键． 根据题意可证，得到，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式6-2】（2025·山西长治·三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 由题意得，，，则得到，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为. 【题型7 裁剪问题】 【例7】现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】C 【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解． 【详解】 设这张正方形纸条是第n张. ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=， 解得：n=6. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用. 【变式7-1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 【变式7-2】在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，. 求（1）线段与的差值是___ （2）的长度. 【答案】 9 6 【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值， 即可求出线段、及FG的长，故可求解. 【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H， 设CE＝x，则E'H'＝CE＝x， 由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9， ∴H'F'＝AF＝9＋x， ∵AD＝BC＝16， ∴DF＝16−（9＋x）＝7−x， 即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'， ∴FG＝7−x， ∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x， ∴EH∥AB， ∴△EGH∽△EAB， ∴， ∴， 解得x＝1或31（舍），、及FG ∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9 故答案为：9; (2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6. 【点睛】本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值． 【变式7-3】一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2 【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC⊥BD， ∴小风筝的面积S＝AC•BD＝×12×14＝84（cm）2； （2）∵小风筝与大风筝形状完全相同， ∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′， ∴△ABCD∽△A′B′C′D′， ∵它们的对应边之比为1：3， ∴A′C′＝3AC＝42cm， 同理B′D′＝3BD＝36cm， ∴至少需用42+36＝78cm的材料； （3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm）2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【题型8 三角形中内接矩形】 【例8】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ∴，， ∴， ， 为中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， ∴这个零件的边长为； （3）解：过点作于，交于，如图所示： 同理可证，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 【变式8-1】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【答案】矩形的长为，宽为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作交于点，交于点，用勾股定理求出的长，再证明，从而求出；然后证明，设，则，由矩形的长与宽的比为可知，根据相似列比例式求解即可，判断三角形相似，并列出比例式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点． ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，． ． ． 设，则，由矩形的长与宽的比为可知． ． 解得． ． 答：矩形的长为，宽为． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【答案】汽车盲区的长度为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先过作于点，交于点，则，，由四边形是矩形，，，从而证明四边形是矩形，故有，通过线段和差得出，然后证明，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴汽车盲区的长度为． 【变式8-3】（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米． ①探究与是否相似并说明理由； ②求的长． （2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．    【答案】（1）①，理由见解析；②26米；（2），平方米． 【分析】（1）①通过两边对应成比例且夹角相等，证明出；②利用相似三角形的性质即可求出的长； （2）作交于点G，通过三角形的面积求出的长，然后通过得到，用含有n的式子将需要的量表示出来，放在中，通过勾股定理得到一个二次函数解析式，利用二次函数图像和性质求出最值即可． 【详解】解：（1）①，理由如下： ∵米，米，米，米， ∴， 又∵， ∴， ②∵， ∴， ∴米． （2）如图所示，作交于点G， ∵平方米， ∴平方米， ∴米， ∵四边形为矩形，    ∴， ∴， ∴， 设，则，即，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴当时，最小，最小为，即最小为， 此时，， ∴， ∴最小值为，此时花卉种植区域的面积为平方米．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质等知识点，解题的关键在于能够合理的添加辅助线，构造相似三角形，要求能够熟练运用相似三角形的性质以及二次函数性质. 【题型9 实物抽象出相似问题】 【例9】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式9-1】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【变式9-2】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 【变式9-3】如图是一个矩形足球球场，为球门，于点D，米．某球员沿带球向球门进攻，在Q处准备射门，已知米，米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，中点与距离 米时，刚好能成功防守． 【答案】/ 【分析】过点B作，证明，作，依次证明，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点B作， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$