专题22.6 图形的位似（举一反三讲义）数学沪科版九年级上册

专题22.6 图形的位似（举一反三讲义） 【沪科版】 【题型1 位似图形的概念】 2 【题型2 画位似图形】 4 【题型3 求两个位似图形的相似比】 5 【题型4 求位似图形的线段长度】 7 【题型5 求两个位似图形的周长比】 8 【题型6 求两个位似图形的面积比】 9 【题型7 求位似图形的对应坐标】 10 【题型8 找位似中心】 11 【题型9 与位似有关的规律探究】 13 知识点1 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点3 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 位似图形的概念】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（   ） A． B．，，三点在同一条直线上 C． D． 【变式1-2】（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【变式1-3】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 画位似图形】 【例2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ； (2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ； (4)判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中，与的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形． (1)在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与位似的，使与的位似比为． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画，使与位似，且相似比为； (2)写出点、的坐标． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 【题型3 求两个位似图形的相似比】 【例3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【变式3-2】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（   ）． A． B． C． D．2 【变式3-3】（2023·河北张家口·一模）如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【题型4 求位似图形的线段长度】 【例4】（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-1】（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【变式4-2】（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【变式4-3】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为 ． 【题型5 求两个位似图形的周长比】 【例5】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【变式5-3】如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 【题型6 求两个位似图形的面积比】 【例6】（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式6-2】如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【题型7 求位似图形的对应坐标】 【例7】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 . 【变式7-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型8 找位似中心】 【例8】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【变式8-1】（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式8-2】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【变式8-3】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【题型9 与位似有关的规律探究】 【例9】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.6 图形的位似（举一反三讲义） 【沪科版】 【题型1 位似图形的概念】 2 【题型2 画位似图形】 5 【题型3 求两个位似图形的相似比】 10 【题型4 求位似图形的线段长度】 13 【题型5 求两个位似图形的周长比】 17 【题型6 求两个位似图形的面积比】 20 【题型7 求位似图形的对应坐标】 23 【题型8 找位似中心】 26 【题型9 与位似有关的规律探究】 29 知识点1 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点3 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 位似图形的概念】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【变式1-1】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（   ） A． B．，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质直接判断即可，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，，，三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 【变式1-2】（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 【变式1-3】（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型2 画位似图形】 【例2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ； (2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ； (4)判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 (3) (4)是，将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到 【分析】本题主要考查作图，位似变换，几何变换等，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）对应点的连线的交点即为位似中心，再写出坐标即可； （2）根据位似变换的知识，找到变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点M在中的对应点的坐标； （4）根据点的坐标变化求解即可． 【详解】（1）解：连接与交于点，点位置如图，点P的坐标为； （2）解：根据位似比画出图形，得 ； （3）解： 与的位似比为， 故在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为； （4）解：将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中，与的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形． (1)在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与位似的，使与的位似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了位似图形、找位似中心，熟练掌握位似图形的画法是解题关键． （1）根据位似中心是每一组对应点所连直线的交点解答即可； （2）先分别画出对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． ． （2）解：如图，即为所求． ． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画，使与位似，且相似比为； (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的关键． （1）根据的三个顶点，位似比的值，可算出点的坐标，连接即可求解； （2）根据相似比即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，以原点为位似中心，相似比为， ∴， ∴，即， ∴，则 同理，，连接，如图所示， ∴即为所求图形． （2）解：由（1）得，． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)，或，； (3)；27 【分析】此题考查了作图-位似变换，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键． （1）由以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比是，可求得各对应点的坐标，继而画出位似图形； （2）由（1），可求得点、的坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得与的相似比，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，的位似图形即为所求； （2）解：由图形知，或，； （3）解：∵，点A的对应点A2的坐标为， ∴与的相似比为：； 与的面积比为：， ∵的面积为， ∴的面积为27， 故答案为：；27． 【题型3 求两个位似图形的相似比】 【例3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 【变式3-1】（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 【变式3-2】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（   ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE即可解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF， 由图可知AB=，DE=， ∴ ∴△ABC与△DEF的相似比为2， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的性质． 【变式3-3】（2023·河北张家口·一模）如图，正方形中，对角线交于点O，分别延长，到点E，F，连接．若，且与的相似比为，则在图中，以点D为位似中心．和它位似的三角形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到，由题意，以点D为位似中心，与位似，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵与的相似比为， ∴ 设，则， ， ， ∵， ∴以点D为位似中心，与位似， ． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义，得到与位似是解答的关键． 【题型4 求位似图形的线段长度】 【例4】（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解： 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∵， ， 故选：C． 【变式4-1】（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得到点的坐标，再根据两点间的距离公式计算出的长即可得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，而，， ，或，， 或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，还考查了两点间的距离公式． 【变式4-2】（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 【变式4-3】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据坐标，得出，，再根据勾股定理，得出，然后分两种情况：当在第二象限时和当在第四象限时，根据位似图形的性质，得出，再根据点为的中点，即可得出的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 如图，当在第二象限时， ∵以点为位似中心，把缩小为原来的，得到， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴的长为； 如图，当在第四象限时， ∵以点为位似中心，把缩小为原来的，得到， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴的长为， 综上可得：的长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、位似图形的性质，解本题的关键在熟练掌握位似图形的性质． 【题型5 求两个位似图形的周长比】 【例5】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的周长比等于位似比即可求解． 【详解】解：由图可知，与的位似比为：， 故与的周长比为． 故选B． 【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的周长比等于位似比是解题的关键． 【变式5-1】（2025·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据对应坐标得出位似比，位似图形的周长比等于位似比，由此可解． 【详解】解：点 的对应点为， 四边形与四边形的位似比为3， 四边形与四边形的周长比为3， 四边形的周长为27， 四边形的周长为：， 故选A． 【变式5-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 【变式5-3】如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 【答案】27 【分析】连接EC，由题意易得，则有，OC=9，进而可得∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°，然后可求，最后问题可求解． 【详解】解：连接EC，如图所示： ∵正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴OC=9， ∵六边形OABCDE是正六边形， ∴∠OED=∠EDC=120°，OA=AB=BC=CD=DE=OE， ∴∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°， ∴OC=2OE， ∴， ∴正六边形OABCDE的周长为； 故答案为27． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【题型6 求两个位似图形的面积比】 【例6】（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 【变式6-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点，点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选：C． 【变式6-2】如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点，点的坐标可知，，，，进而求得两个正方形的面积即可求得面积之比． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，四边形和四边形均是正方形， ∴，，，， 则正方形的面积为： 正方形的面积为：， ∴两个正方形的面积之比为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 【题型7 求位似图形的对应坐标】 【例7】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．由矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形的位似比为，又由点B的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形的顶点O在坐标原点，，， 可得：， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， 点B的对应点的坐标是：或 故选：D 【变式7-1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 . 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵点B坐标，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∵以点O为位似中心，作与位似，点C坐标， 且即点C的坐标， ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即 故选D． 【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质计算即可，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 如图：过作轴于， 是等边三角形， ，， ， 与位似，位似中心是原点，位似比是， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 【题型8 找位似中心】 【例8】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 【变式8-1】（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 【变式8-2】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 【题型9 与位似有关的规律探究】 【例9】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查规律探索及位似图形的性质，理解题意，找出相应规律是解题关键 根据题意得出正的边长为，正的边长为，得出规律，即可求解． 【详解】解：∵点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点， ∴正的边长为， 同理：正的边长为， ⋮ 正的边长是， 故选：B． 【变式9-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$