强化训练一 全等三角形的常见模型-【课课练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步训练（人教版2024）

全等三角形的常见模型 1.如图，△ABC和△DEF中，AC=DF,AC∥DF,3.如图，点D在线段AB上，点E在线段AC上， BE CF; BE,CD交于点F,AD=AE,BD=CE. (1)求证：△ABC≌△DEF; (1)求证：△AEB≌△ADC; (2)若∠ABC=38°，∠DFE=70°，求∠D的 ; (2)求证：BF=CF 度数 2.如图，AB⊥BE,CD⊥DF,垂足分别为B,D,4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC). ∠1=∠2，A,F,E,C四点共线且AF=CE.请 (1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC: 判断线段AB与CD的数量关系与位置关系， (2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值 并说明理由 范围。 B 29 5.如图，BC⊥CA,BC=CA,DC⊥CE,DC=CE,直7.如图1，AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD= 线BD与AE相交于点F,与AC相交于点GC 3cm.点P在线段AB上以Icm/s的速度由点 (I)△BCD与△ACE全等吗？请说明理由. A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B (2)试判断BF与AE的位置关系，并说明 向点D运动.它们运动的时间为(s). 理由 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相 等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并 判断此时线段P℃和线段PQ的位置关系，请 分别说明理由， (2)如图2，将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改 为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变.设 点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x, 使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应 的x,的值；若不存在，请说明理由， D 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MW 图1 图2 经过点C,且AD⊥MW于点D,BE⊥MN于 点E (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， (1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证 明：若不成立，请写出新的结论并说明理由， 图1 图2 30D数学八年缓上用 则有 [x=y+40°， 2x=2y+∠ACB, .∠ACB=80° 又∠FCZ+∠FCY+∠ACB=180°， .2∠FCY+80°=180°， .∠FCY=50°， 即∠BCF=50°， 故选B. 11.30 中考一点通 12.(1)证明：DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F, .∠E=∠DFC=90° 在Rt△BDE与Rt△CDF中， [BD=CD, BE =CF, ∴.RL△BDE≌Rt△CDF(HL), .DE DF, ∴.AD是∠BAC的平分线； (2)解：AB+AC=2AE. 理由：：BE=CF,AD平分∠BAC, .∠EAD=∠CAD ∠E=∠AFD=90°， .∠ADE=∠ADF 在△AED与△AFD中， ∠EAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADE=∠ADF, .△AED≌△AFD(ASA), ..AE=AF, .AB +AC AE BE +AF CF=AF- CF +AF+CF =2AF =2AE. 12 13.解：(1)：∠B=50°，∠C=70°，∠BAC+ ∠B+∠C=180°， ∴，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- 50°-70°=60 :AD是△ABC的角平分线， ∠BMD=7LBMC=7×60=30 DE⊥AB, ∴.∠DEA=90°， .∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA= 180°-30°-90°=60°； (2)如图，过点D作DF⊥AC于点F, ,AD是△ABC的角平分线， ∴.DF=DE=3 又BC=7,△ABC周长为25， .AB+AC=25-7=18, .ADE+ 2AC.DF=2(AB+AC)·DE=2× 18×3=27. 强化训练一全等三角形的常见模型 1.(1)证明：BE=CF, ∴.BE+CE=CF+CE,即BC=EF. AC∥DF,∴∠ACB=∠F. 在△ABC和△DEF中， AC=DF, ∠ACB=∠F, BC =EF, .△ABC≌△DEF(SAS); (2)解：由(1)知：△ABC≌△DEF, ∴.∠DEF=∠ABC. :∠ABC=38°， .∠DEF=38°， 在△DEF中，∠D=180°-∠DEF- ∠DFE=180°-38°-70°=72. 2.解：AB=CD,AB∥CD.理由如下： .AF =CE, .AF+FE=CE+FE,即AE=CF AB⊥BE,CD⊥DF, ∴.∠B=∠D=90 在△ABE与△DCF中， r∠B=∠D, ∠1=∠2， LAE =CF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS), ,AB=CD,∠A=∠C,∴.AB∥CD. 3.证明：(1).AD=AE,BD=CE, ∴.AD+BD=AE+CE,即AB=AC. 在△AEB和△ADC中， AE =AD, ∠A=∠A, LAB=AC, ∴.△AEB≌△ADC(SAS); (2)△ADC≌△AEB,∴.∠C=LB. 在△EFC和△DFB中， r∠C=∠B, ∠EFC=∠DFB, LEC DB, ∴.△EFC≌△DFB(AAS), .BF CF 4.（1)证明：如图，延长AD至E,使AD= DE,连接BE, 衣考不反解新而 :AD为△ABC的中线， .CD=BD. 在△ACD和△EBD中， CD=BD, ∠ADC=∠EBD, LAD ED, ∴.△ACD≌△EBD(SAS), ∴，AC=EB, 在△ABE中，由三角形的三边关系可得 AB-BE <AE <AB+BE, 即AB-AC<2AD<AB+AC: (2)解：，AB=8cm,AC=5cm, 8-5<2AD<8+5, <0<号 3 5.证明：(1)△BCD≌△ACE,理由如下： :BC⊥CA,DC⊥CE, ∴.∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. 在△BCD与△ACE中， BC=AC, ∠BCD=∠ACE, CD =CE, .△BCD≌△ACE(SAS); (2)BF⊥AE,理由如下： :△BCD≌△ACE, ∴.∠CBD=∠CAE. 13 数学八年上圆 ,∠ACB=180°-∠CBD-BGC=90°， ∠AFB=180°-∠CAE-∠AGF ∠BGC=∠AGF, .∠AFB=∠ACB=90°， ∴.BF⊥AE. 6.证明：(1)：∠ACB=90°，AD⊥MW于点 D,BE⊥MN于点E, .∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠BCE. 在△DAC与△ECB中， ,∠DAC=∠ECB, ∠ADC=∠CEB, LAC CB. ∴.△DAC≌△ECB(AAS), .AD=CE,DC BE, .DE =CE DC =AD +BE; (2)如题图2，(1)中的结论不成立，新的 结论为DE=AD-BE, :∠ACB=90°，AD⊥MN, ∴.∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°， .∠DAC=∠BCE. 在△ACD与△CBE中， r∠DAC=∠ECB, ∠ADC=∠CEB, LAC CB, .△ACD≌△CBE(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE ∴.DE=CE-CD=AD-BE 7.解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ,理由如下： 当t=1时，AP=BQ=1,BP=AC=3, 在△ACP和△BPQ中， AP =BQ, ∠A=∠B, LAC BP, 140 ∴，△ACP≌△BPQ(SAS), ,∠ACP=∠BPQ, ∴.∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， ∴.∠CPQ=180°-（∠APC+∠BPQ)=90°， 即线段PC与线段PQ垂直； (2)存在， 理由：①若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ, 3=4-t, 则 t=xt, t=1, 解得 lx=1: ②若△ACP≌△BQP, 则AC=BQ,AP=BP, 3=xt, 则 t=4-t, rl=2, 解得 3 =2 rt=2, t=1, 综上所述，存在 或 3使得 x= 2 △ACP与△BPQ全等. 强化训练二 与全等三角形有关的 线段和角的计算与证明 1.C2.B 3.证明：.AD∥BC, .∠ADO=∠BC0. 在△AD0和△BC0中， ,∠AOD=∠BOC, ∠ADO=∠BCO, LAD BC, ∴.△ADO≌△BCO(AAS), ∴.A0=B0.