第3章 不等式（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第3章 不等式（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 利用作差法、作商法比较大小 1．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 3．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 4．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 5．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 题型2 利用不等式的性质求取值范围 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 题型3 利用不等式的性质证明不等式 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； 题型4 条件等式求最值 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 4．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 5．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 题型5 利用基本不等式证明不等式 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 题型7 基本不等式的有解问题 1．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足． (1)求xy的最小值； (2)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围． 5．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，. (1)且有解，求实数的取值范围； (2)，求的最小值. 题型8 由一元二次不等式的解确定参数 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设. (1)解关于的不等式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版（2019）】 题型1 利用作差法、作商法比较大小 1．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 2．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞ 【解题思路】利用作差法求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞. 4．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【解题思路】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【解答过程】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 5．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 题型2 利用不等式的性质求取值范围 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解答过程】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·周测）若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由不等式式性质计算即可. 【解答过程】因为，， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由不等式的性质求解即可； （2）由不等式的性质求解即可； 【解答过程】（1）因为，， 所以，所以． （2）由，，得，， 所以． 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【解答过程】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 题型3 利用不等式的性质证明不等式 1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质，判断各选项是否正确. 【解答过程】由，则，A选项错误； 由，时，不满足，B选项错误； 由，则，C选项错误； 由，则，D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误. 【解答过程】解:由题知, 不妨取 则有, , 故选项A,B错误; 关于选项C, 不妨取 , 故选项C错误; 关于选项D, , , 故选项D正确. 故选:D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由，，和，，证明即可. 【解答过程】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【解答过程】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 题型4 条件等式求最值 1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【解答过程】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【解答过程】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【解题思路】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【解答过程】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35. 4．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 5．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 题型5 利用基本不等式证明不等式 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知为不相等的正实数，满足．则下列不等式中不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得，再利用基本不等式判断各个选项. 【解答过程】由， 因为为不相等的正实数，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当，即 或时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，等价于，即，当且仅当，即 时等号成立，故D正确． 故选：C． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【解答过程】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 题型6 基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【解答过程】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B. 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【解答过程】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【解答过程】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为. 题型7 基本不等式的有解问题 1．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【解答过程】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足． (1)求xy的最小值； (2)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)8； (2)或﹒ 【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不等式求其值域﹒ 【解答过程】（1）∵x，y为正实数，， ∴ 解得：， 当且仅当，即x＝4，y＝2时，等号成立， 则xy的最小值为8． （2）由得：，则， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立﹒ ∴，解得：或． 5．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，. (1)且有解，求实数的取值范围； (2)，求的最小值. 【答案】(1) (2)25 【解题思路】（1）利用基本不等式可求的最小值，进而得不等式，求解即可； （2）由得，消元后利用基本不等式求最小值即可. 【解答过程】（1）因为正数，满足，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为25， 由有解，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. （2）因为，，且满足， 所以，所以，， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值25. 题型8 由一元二次不等式的解确定参数 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解题思路】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【解答过程】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【解答过程】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【解题思路】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【解答过程】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为，且， 所以恒成立，且的两根为1，2. 故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 5．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 题型9 一元二次不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】当时符合题意，当时，根据一元二次不等式在上恒成立可得的取值范围. 【解答过程】当时，恒成立，符合题意. 当时，，解得. 综上得，的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【解答过程】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围. （2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集. 【解答过程】（1）关于的不等式恒成立， 则当时，原不等式为恒成立； 当时，，解得， 所以的取值范围为. （2）不等式化为， 由（1）知，，则，解得， 所以原不等式的解集为. 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设. (1)解关于的不等式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）就的不同的取值范围分类讨论后可得不等式的解集； （2）利用参变分离结合二次函数的性质可求参数的取值范围； （3）构建关于的一次函数，根据其单调性可得关于的不等式，从而可求的范围. 【解答过程】（1）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，不等式解得， 当时，不等式解得或， 当时，不等式解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. （2）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，所以有在上恒成立， 当时，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （3）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增， 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. 题型10 一元二次不等式有解问题 1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【解答过程】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 3．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【解答过程】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 5．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$