专题训练三、四 探索与三角形角平分线相关的结论 证明三角形全等的解题思路-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专题训练三 探索与三角形角平分线相关的结论 (限时：30分钟) 类型①两个内角平分线的夹角 1.(1)如图①，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC, ∠ACB的三等分线交于点O1,O2,连接 O1O2,则∠BOO1的度数为 图② (2)如图②，在△ABC中，∠ABC的三等分线 分别与∠ACB的平分线交于点O1,O2.若 ∠1-115°，∠2=135°，求∠A的度数 类型3内角平分线和外角平分线的夹角 3.如下图，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠ABC 的平分线与外角∠EAC的平分线交于点D. (1)求证：AD∥BC. (2)若∠BAC-36°，求∠ADB的度数 类型2两个外角平分线的夹角 2.推理能力如图，BO,CO分别平分△ABC的 外角∠EBC,∠FCB. (1)①若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠O的 度数为 ②若∠A=60°，则∠0的度数为 (2)试探索∠O与∠A之间的数量关系. (3)如图②，延长OC至点G,连接BG,使得 ∠A=2∠G,CO:CG=8:5.若△BOC的面 积为4，BG=4,则线段BO的长度为 上册专题练 93 专题训练四 证明三角形全等的解题思路 (限时：45分钟) 类型1已知两边对应相等 (2)若∠A=70°，求∠E的度数. 1.如右图，OA=OC,OB=OD, ∠AOD=∠COB.求证：AB =CD. 类型2已知两角对应相等 4.(教材变式)如右图，A,C, D,B四点共线，且AC= BD,∠A=∠B,∠ADE ∠BCF.求证：DE=CF. 2.如右图，在△ABC中，AB>AC, 点D在边AB上，且BD-CA. 过点D作DE∥AC并截取DE -AB,且点C,E在AB的同 侧，连接BE.求证：△DEB≌△ABC. 5.如下图，AB=CD=5,AD=4,∠ACB=∠E, ∠A=∠CDE. (1)求证：△ABC≌△DCE. (2)求DE的长 3.如右图，CD平分∠ACE, CE平分∠BCD,且AC BC,CD=CE. (1)求证：△ACD≌△BCE. 94 数学八年级RJ版 类型3已知一边一角对应相等 6.如下图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC 的角平分线AD,BE相交于点P,过点P作 .....G PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于 点H. 图① 图② (1)求∠APB的度数. (2)求证：△ABP≌△FBP 类型4根据“L”证两直角三角形全等 8.(2024一2025九江期中)如下图，0是线段 AB的中点，在线段AB的同侧作AC=AO, BD=BO,过点C作CE⊥AB于点E,过点 D作DF⊥AB于点F,已知CE=DF. (1)求证：∠CAB=∠DBA. (2)求证：OE=OF 7.抽象能力如图①，小明与爸爸妈妈在操场上 荡秋千.图②是小明荡秋千的示意图，小明坐 在秋千上的A处，起始位置OA与地面垂直 小明双脚在地面上用力一瞪，妈妈在距地面 1.2m高的B处接住他，妈妈用力一推，爸爸 在C处接住他.若妈妈与爸爸到秋千起始位 置OA的水平距离BF,CG分别为1.8m和 2.2m,∠B0C=90°. (1)△COG与△OBF全等吗？请说明理由. (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小明？ 95 上册专题练16,解：0们当m=1时，分式方君为，吾=2-3之 1 方程两边同时乘(x一3)， 得x=2(x-3)十1， 解得x=5. 检验：当x=5时，x3+0,所以当m=1时，分式方程的解 为x=5. ②子=2- 拉 方程两边同时乘(x一3)： 得x=2(x一3)十m, 解得x=6一m. 这个方程的解为正数， .6-m>0且6-m≠3， 解得m<6且m≠3. 17.B 18.解：(1)设甲操控A型号收割机每小时能收剂x宙水霜，则 乙操控B型号收制机每小时能收割(1一40%)x亩水稻 依题意，得0-40%)工工 =0.4,解得x=10. 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意， .(1一40%)x=6 故甲操控A型号收割机每小时能收割10亩水稻，乙操控B 型号收割机每小时能收制6亩水稻， (②)设安排甲收制yh,则安排乙收制00-10yh 依题意，得3%×10y+2%×6×100102≤2.4%×100， 6 解得y≤4 故最多安排甲收割4h. 专题训练 专题训练一三角形三边关系的应用 1.B2.C3.3 4.解：(1)：三角形的三边长分别为3,5和m, ,5-3<m<5十3，即2<m<8. ,3是该三角形的最短边长， 3≤m<8. (2)由(1D可得，2<m<8 ,m为整数， ∴.m的最小值为3，此时周长最小，最小值为3十3十5=11： m的最大值为7，此时周长最大，最大值为3十5十7=15. 5.D 6.解：根据题意分情况讨论 ①若一腰长为3，则另一腰长也为3，.底边长为2.3十2 3,∴·此种情祝能构成三角形，符合题意：②若底边长为3，则 腹长为-么52.5十2,5>3此种情况能构成三角 形，符合题意，综上所述，腰长为3或2.5， 7<a2 8.解：，4，b,c为三角形的三边长， .a十b>e,a十c>b,b+c>a, ∴.原式=|(b十c)-a|十1b-(c十a)-lc-(a+b)|-|(a +e)-81=8+c-a+c+a-8-a-8+c-a-c+8=2c -2a. 9.B 专题训练二三角形内角与外角的应用 1.B 2.解：，∠ABC=20°，，∠ABF=180°-∠ABC=160°.，BD 平分∠ABF,∴∠ABD-2∠ABF=80.:∠D+∠DAB =180”-∠ABD=100°，∠D=∠DAB,.∠DAB=50, ∠EAC=5O°，AH平分∠EAC,∠CAH=∠EAH= z∠EAC-25,·∠AHC-∠EAH-∠ABC-25-20 =5 3.C4.705.B6.55 7.解：(1)∠BAF=∠B+∠C,∠B=40°，∠C=70°， ∴.∠BAF=110° (2),∠BAF=110',∠BAC=180°-110°=70° ”AD是△ABC的角平分线， ·∠DAC=2∠BAC=35. EFAD,∴∠F=∠DAC=35 专题训练三探索与三角形角平分线 相关的结论 1,解：(1)50° (2):∠2是△0201B的外角， .∠2=∠1+∠01B02. ∠1=115°，∠2=135°， .∠01B02=∠2-∠1=135°-115”=20， 由题意可知，BO:,BO1是∠ABC的三等分线， ÷∠01BC=∠0：B02=20°，∠ABC=3∠01B02=3X20 =60°， ∴∠01CB=180°-∠2-∠01BC-180°-135°-20°=25， CO1是∠ACB的平分线， ∠ACB=2∠0，CB=2×25°=50°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-50°=70°. 2.解：(1)①50°@60 (2):∠EBC-180°-∠ABC,∠FCB-180°-∠ACB, ∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°- (180°-∠A)=180°+∠A. B0,CO分别平分∠EBC,∠FCB, ,∴·∠EBC=2∠OBC,∠FCB=2∠OCB ∠0BC+∠0CB-∠EBC+∠FCB)-S0+2∠A, ∠0=180°-（∠0BC+∠0CB)=180-(90+7∠A) 3.解：(1)证明：∠ABC十∠C十∠BAC=180',∠CAD十 ∠EAD+∠BAC=180°， .∠ABC+∠C=∠CAD+∠EAD. AD为∠EAC的平分线，∠CAD-∠EAD 又'∠ABC=∠C,∠C=∠CAD,AD∥BC. (2)∠BAC=36°： d∠ABc=∠C=号180-∠BAC)=7g BD￥分∠ADC,∠ABD-∠CBD-∠ABC=6. :AD∥BC, .∠ADB=∠CBD=36°. 专题训练四证明三角形全等的解题思路 1.证明：∠AQD=∠C0B, ∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD, 即∠AOB=∠COD. OA=OC, 在△AOB和△COD中，∠AOB=,∠COD, OB=OD, ∴.△AOB2△COD(SAS),AB=CD 2.证明：DEAC,,∠A=∠EDB. 上卧参考答案 185 BD-CA, 在△DEB和△ABC中， ∠EDB=∠A, DE=AB, ,.△DEB2△ABC(SAS) 3.解：(1)证明，，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, ∴.∠1=∠2，∠2=∠3.∴.∠1=∠3. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠1=∠3， CD=CE ∴.△ACD2△BCE(SAS). (2)由(1)，得∠1=∠2=∠3，△ACD2△BCE, ∠A=∠B=70° ∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60°， ∴.∠E=180°-∠3-∠B=50 4.证明：AC=BD,.AC+CD=BD十CD, ..AD-BC ∠A=∠B 在△AED和△BFC中，AD=BC, ∠ADE=,∠BCF .△AED2△BFC(ASA),∴.DE=CF」 5.解：(1)正明：在△ABC和△DCE中， ∠A=∠CDE, ∠ACB=∠E,.△ABC2△DCE(AAS). AB=DC. (2)△ABC2△DCE,∴AC=DE AD=4,DC=5, DE=AC=AD+DC=9,即DE的长为9 6.解：(1)，∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90 AD,BE是△ABC的角平分线 ∠PAB-号∠CAB,∠PBA=∠CBA, ∠PAB+∠PBA=z(∠CAB+∠CBA)=45, ∴.∠APB=180-45=135 (2)正明：由(1)可知，∠APB=135°，.∠BPD■45， :FP⊥AD,.∠FPB=90°十45°=135° ∴.∠APB=∠FPB. BE平分∠ABC,∴.∠ABP=∠FBP. {∠ABP=∠FBP 在△ABP和△FBP中，BP=BP, ∠APB=∠FPB, ∴△ABP2△FBP(ASA). 7.解：(1)△COG与△OBF全等.理由如下： 由题意可知，∠OGC=∠BFO=90°，OC=OB ,∠BOC=90°， .∠COG十∠BOF=∠BOF十∠OBF=90°， ∴.∠COG=∠OBP ∠COG=∠OBF, 在△COG和△OBF中，∠OGC=∠BFO, OC-BO, ∴.△COG2△OBF(AAS). (2)由△COG2△OBF,得CG=OF,OG=BP BF=1.8m,CG=2.2m ∴，FG=0F-0G=CG-BF=2.2-1.8=0.4(m),0.4 2=1.6(m). 散爸爸在距离地面1.6口高的地方接住小明 8.证明：(1)，O是线段AB的中点，.OA=OB ,AC=AO,BD=BO,∴，AC=BD. CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEA=∠DFB=90 ,CE=DF,.Rt△AEC≌Rt△BFD(HL), ∴∠CAB=∠DBA. 186 数学八年级版 (2),Rt△AEC2R△BFD,,AE-BF OA=OB,∴，AE+EO=FB+OF,∴.OE=OF 专题训练五构造全等三角形的常用技巧 1.证明：如图，延长AM至点N,使MA= MN,连接BN,M为BC的中点， ..CM=BM. 又'∠CMA=∠BMN,.△AMC2 △NMB(SAS〉：∴.AC=NB,∠C ∠NBM,∴.∠ABN-∠ABC+∠NBM ∠ABC+∠C=180°-∠BAC.:∠EAD= 360°-∠BAE-∠CAD-∠BAC=180°-∠BAC, ∠ABN=∠EAD.又：NB=AC=DA,AB=EA, △ABN2△EAD(SAS),∴.NA=DE,又：AM=MN, ∴.DE=2AMg 2.解：(1)如图，延长AE至点F,使EF■ AE,莲接BF, 则AF=2AE 'AE是△ABD的中线，'.BE=DE 在△ADE与△FBE中， (AE-FE, ∠AED=∠FEB DE=BE, .△ADE2△PBE(SAS),.BF=DA=3. 在△ABF中，AB一BF<AF<AB十BF, ,5-32AE5+3,.1AE<4 (2)证明："，△ADE2△FBE, ∴.DA=BF,∠FBE=∠ADE :∠ABF=∠ABD+∠FBE,∠BAD=∠BDA, ,∠ABF=∠ABD十∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC. (AB=CD, 在△ABF与△CDA中，∠ABF=∠CDA, BF=DA. .△ABF2△CDA(SAS),∴.AF=CA AF=2AE,∴.AC=2AE. 3.证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG⊥AD, 交AD的延长线于点G .∠G=∠CFD=90° ,AD是△ABC的中线，，BD=CD 又，∠BDG=∠CDF, ,.△BDG2△CDF(AAS), BG=CF. 在Rt△BGE和Rt△CFA中， BE=CA, BG-CF .Rt△EBGE2Rt△CFA(Hl),.∠BED=∠CAD 4.解：如图，过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F, 'CE⊥AD,.∴.∠DEC=∠F=90 ,'∠D+∠ABC=180°，∠CBF十∠ABC =180°，.∠D=∠CBF 在△CDE与△CBF中， ∠D=∠CBF, ∠DE℃=∠F CD-CB. .△CDE2△CBF(AAS),∴.CE=CF,DE=BF=4. 在△ACE有△ACF中，S-8C, ,Rt△ACE2Rt△ACF(HL), AE=AF=10,.AB=AF-BF=6 5.解：1)证明：AD∥BC,∴.∠DAB十∠ABC=180° ,AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC, ,∠EAB= 2∠DAB,∠ABE= 2∠ABC,