第十七章因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 17.2 用公式法分解因式-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 要点提示 1.把一个》顶式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分 解因式，国式分解与整式乘法是方向相反的变形. 2.一个多项式的各项都含有的云共的因式作这个多项式各项的公图式， 3.把多项式各项的公图式提取出来，将多项式写成云因式与另一个图式的兼热的形式，这种分解固式的方法阿叫作提名 因式法 O1固基础 易错点负数的偶次幂与奇次幂的符号 容易出错 知识点①因式分解的定义及公因式的概念 6.(教材变式)已知2x+y=a,x-3y=b 1.(2025广州期末)下列从左到右的变形，属于 因式分解的是 用含a,b的式子表示7x(x-3y)2 A.x+x=x(x+1) 2(3y-x)°的值. B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.(x十1)2-x2+2.x+1 D.x2-x+1=x(x-1)+1 2.(2024一2025宜春月考)多项式-4a+8a2 中各项的公因式是 A.a B.4a C.4a2 D.8a 知识点2运用提公因式法分解因式 02提能力 3.将多项式(m一n)3-m(m-n)2-n(n一 7.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的 m)2因式分解，结果为 问题：1十x十x(x十1)十x(x十1)2=(1十 A.2(m-n) B.2m(m-n)2 x)[1十x+x(x+1)]=(1十x)2(1+x)=(1 C.-2n(m-n)2 D.2(n-m) 十x)3 4.(2024枣庄)因式分解：x2y+2xy= (1)上述分解因式的方法是 共应用了 次 5.对下列多项式进行因式分解： (2)分解因式：1十x十x(x十1)+x(x+1) (1)-4a3b+6a2b-2ab. +…十x(x十1)*(n为正整数). (2)(a-3)2-(2a-6). 56 数学八年级R利版 17.2用公式法分解因式 第1课时利用平方差公式分解因式 要点提示 1.平方差公式：a°-b°■(a十b)(a-b). 2.特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相东：右边的分解因式的结果是两个数的和与羞的” O1固基础念 (2)9a(x-y)+16b2(y-x). 知识点①直接运用平方差公式分解因式 1.在下列多项式中，能用平方差公式分解因式 的是 () A.a2+62 B.4m2-16m 44++…t4 02提能力念…… C.-x-y D.-x2+16 7.对于任何正整数m,多项式(4m十5)2一9都 2.（2024海南)因式分解：x2一4= 能 () A.被8整除 B.被m整除 3因式分解：(125-1m C.被m一1整除 D.被2m一1整除 8.设a=192×918,b=8882-302,c=6982 2202,则a,b,c的大小关系为 (用“<”连接) (2)4m2-(m十n)2. 9.已知x,y互为相反数，且(x十2)2-(y+ 1)2=4,求x,y的值. 知识点2先提公因式再用平方差公式分解 因式 4.小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为 她做得不够完整的是 A.x3-x=x(x2-1) 10.把20cm长的一根铁丝分成两段，将两段 B.zy-y=y(z+y)(x-y) 分别围成正方形.如果这两个正方形的面 C.-m2十4n2=(2n十m)(2n-m) 积之差为5cm2,分别求这两段铁丝的长. D.3p2-27g2=3(p+3q)(p-3q) 5.(2024一2025北京海淀区月考)分解因式： 2abx2-8ab= 6.因式分解： (1)3x3-12xy2. 上册第十七章 第2课时利用完全平方公式分解因式 要点提示 1.完全平方公式：a2+2ab+b=(a+b)2,a°-2ab+b=(a-b)2. 2.特点：左边是两个数的平方和加上（或诚去）这两个数的积的2传：右边是这两个数的和（或羞）的平古 O1固基础念 。,+ 。卡”为。· 02提能力之 。。。。。。。 知识点1直接运用完全平方公式分解因式 8.(2024广西)如果a十b-3,ab-1,那么ab 1.(2025石家庄期末)下列多项式中，可以用完 +2a2b2十ab3的值为 () 全平方公式进行因式分解的是 ( A.0 B.1 C.4 D.9 A.x2+2xy+4y2B.-9x3-y2 9.若多项式x一3(m-2)x十36能用完全平 C.4x-y D.x8-8xy+16y2 方公式分解因式，则m的值为 ) 2.已知a,b,c满足a2+2b十b2十4a=-5,则 A.6或-2 B.-2 b一a的值为 C.6 D.-6或2 1 1 A.1 B.-5 C.-3D.-7 10.已知a=2024+2023,6=2024+2024,c 3.利用因式分解计算：1.222十2.44×2.78十 2024+2025,则代数式2(a2+62+c2 1 2.782 4.把下列各式分解因式： ab一bc一ac)的值是 () m2+m+是 A.0 B.1 C.4 D.6 11已知3a3-2a-5=0,则9a-12a+4a -10的值为 12.某同学不会做“分解因式：a‘十4”这道题 去问老师，老师说：“能否变成平方差的形 式？在原式加上4a2,再减去4a2…”老 (2)a2+2a(b+c)+(b+c)2. 师话没说完，此同学就恍然大悟，他马上就 做出了此题.你会吗？请解答此题. 知识点2先提公因式再用完全平方公式分 解因式 5.分解因式：3x3-6x2y十3xy.以下正确的 是 () A.3x(x-y)2 B.3x(x3-2xy十y2) C.x(3x-y)2 D.x(3x十y)(x-3y) 6.(2024呼伦贝尔)分解因式：a+2ab+ab2= 7.若n-m=1,则2m2-4mm十2n2的值为 数学八年级R刷版x=-2y=42=42-2 ②，原式=(x-y2+(y十1)2=0，∴.x-y=0,y十1=0， y=-1x=-1, .x+2y=-1+2×(-1)=-3. (2)x2+y2-2x+2y+3 -x°-2x十1十y2+2y十1+1 =(x-1)3+(y+1)3+1 (x-1)2≥0，(y+1)2≥0， (x一1)+(y+1)2+1的最小值为1， .不论x,y取何值，多项式x十y一2x十2y十3的值总是 正数. (3):a2+b=10a+86-41, ∴a3-10a+25+b2-8b+16=0, ÷(a-5)2+(6-402=0, a-5=0,b-4=0, .=5,b=4. 又，△ABC为不等边三角形，且c是最长边长， ,c的取值范围是5<c<9 第2课时添括号法则 1.B 2.(1)b-c+d(2)-c-d(3)2a-36 3.B4.x-y(或y-x) 5.解：(1)原式=[(x-2y)-3:]户=(x-2y)2-2·(x 2y)·3z十(3)2=x1-4xy十4y2-6xx十12y2十9x. (2)原式=[a-(26-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(26-3c)2 =a2-(4b2-12b十9c2)=a3-4b2+126c-9c2. 6.C 7.解：(1)：(x十2)(y十2)=12 .xy+2x+2y+4=12, .xy十2(x十y)十4=12 :x十y=3, xy+2X3+4=12, …xy=2. (2)原式=xy-x-y十1=xy-(x十y)十1， x十y=3,xy=2,∴.原式=2一3十1=0. 8.解：原式=(2a-)2-[(a+1)-b][(a+1)+b]+(a+1)2 =4a2-4ab+62-[(a+132-b2]十(a十1) =4a2-4ab+b2-(a+1)2+b°+(a+1) =4a2-4ab十2b°. 当a-，6=-2时，原式=4×（）广-4×号 (-2)+2×(-2)2=1+4+8=13. 本章小结 1.D2D3.C4.D5.9x‘y2 6.解：(1)原式=x2一x*一x十x =x2一x (2)原式=-x”·(一x)十8x‘-x =x十8x-x5 =8z5 7.解：由题意，得a+6=5,a十4十4一b=7,解得a=2,b=3,, ab°=22×32=4×27=108. 8.懈：3×3*=27,3+=3，六a十2b=3. 又(5)2×(5)2÷(54)=1， 50×5÷54-1,52+-=5, .2a+4b-3ab=0,.2(a十2b)=3ab 将4十2b=3代入，得ab=2, a2+4b6=(a+2b)2-4ab=32-4×2=1 9.A10.D11.B12.A 13.解：(1)原式=2x”十nx2十2mx十mnx一6x-3 =2x3+(n+2m)x2+(mm-6)x-3 由题意可知，mn一6=0，一3m=一6， 180 数学/八年级RJ版 m=3,n=2 (2)(m十n)(m2-w十n2)=m3-m2n十mm2+m2n-mn 十n2=m3十方8】 ,m=3,n=2,.m1十n3=3十2=27+8=35， 14.解：(1)由题意，得C=(k-1)(2k+3)=2k2+3k-2k一3= 2k2十k-3, ,.程序自动呈现的整式C为25+一3 (2)B2-2C=(2k+3)-2(2k2+k-3)=4k2+120+9 4k2-2k+6=10k+15, 整式B2一2C的值大于5： .10k十15>5，解得k>-1. ,k为正整数， .秦的最小值为1 15.解：(1)根据酒意，得一个游冰港的面积为号(4a k30-a-（6ab-ac-c+3） 2②2x(6o6-6ac-2k+3）=12ab-8ac-9w+ie 将a=30,b=20,c=5代人上式，得12ab-8ac-96c十6c =7200-1200-900+150=5250. 故两个游泳池的总面积为5250m 16.A17.A18.x=10 19.解：原式=4a2-4ab+62-(4a2-3ab-b2)-2b2=-ab. 当0=26=-时，原式=-名×（吉）=日 20.都：1)2x十y2x-yy2+4x (2)A·B+A=(2x+y)·(2x-y)+(2x+y) =4x-y2十4x3十4xy十y =8x2+4xy 21.解：(1)y一元 (2)2xy (3)(2a-b+3)(2a-3+b)=[2a+(3-b)][2a-(3-b)] =4a2-(3-b)2=4a-(9-66十b2)=4a2-9十6b-b2, (4),边长为a一b的小正方形的周长为12， 4(a-b)=12,.a-b=3. 阴影部分的面积为10，.ab=10, .a2+b-ab=(a-b)2+2ab-ab=(a-b)2+ab=3+ 10=19. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 1.A2.B3.C4.xy(x十2) 5.解：(1)原式=一(4a6°-6a2b十2ab) =-2ab(2a2b2-3a+1). (2)原式=(a-3)2-2(a3) =(a-3)(a-5). 6.解：原式=7x(x一3y)2十2(x-3y)'=(x-3y)3(7x十2x- 6y)=3(x-3y)(3x-2y) 2x十y=a,x-3y=b, ∴两式相加，得3x一2y=a十6， .原式=3b(a十b). 7.解：(1)提公因式法2 (2)原式=(1十x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)+…+x(x +1)-1 ■(1+x)2[1+z+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-27 4 =1十x)"(x十1) =1+x)+1 17.2用公式法分解因式 第1课时利用平方差公式分解因式 1.D2.(x+2)(x-2) 3.解：1)原式=5°-(2m）-(5+名m)(5-之m） (2)原式=(2m十m十n)(2m一m一n） =(3m十n)(m一n》. 4.A5.2ab(x+2)(x-2) 6.解：(1)原式-3z(x2-4y2)=3x(x十2y)(x-2y. (2)原式=(x-y)(9a-1663)=(x-y)(3a+4b)(3a一 46), 7.A8.a<c<b 9解：(x十2)-(y十10°=4， ∴.[(x十2)+(y十1)][(x+2)-(y十1)]=(x+y十3)(x- y+1)=4. 又：x,y互为相反数，y=一x, 32x+D=4x=专y-合 10.解：设其中较长的一段铁丝的长为xcm(x>10),则另一段 铁丝的长为(20一x)cm, 两个正方形的边长分别为xcm和子（20-xem ,两个正方形的面积之差为5cm, (-[g0-]=5,即合-）=5 解得x=12,则另一段铁丝的长为20一12=8(cm). 故两段铁丝的长分别为12cm和8cm, 第2课时利用完全平方公式分解因式 1.D2.A3.16 4.解：)原式=m+2·m·言+（合》 -(m+2)月 (2)原式=[a十(b+c)]=(a十b十c) 5,A6.4(1+b)27.28.D9.A10.D11.15 12.解：a1十4=(a'十4a2+4)-4a9 =(a8+2)2-(2a)2 =(a2十2+2a)(a2+2-2a) =(a+2a+2)(a1-2a+2). 本章小结 1.B2.A3.C4.C5.C6.D7.A8.-6 9.解：(1)原式=2a(4a2-1) =2a(2a+1)(2a-1). (2)原式-[3(x-y)+2] =(3x-3y+2)2 (3)原式=[(3x-2)+(2x+7)][(3x一2)一(2x+7)] =(5x十5)(x一9) ■5(x十1)(x-9) 10.解：'R=7dm,r=1.5dm, .S制*n分=元R2-4xr2=r(R+2r)(R-2r)=x(7+2X1. 5)(7-2×1.5)=π×10×4=40rdm). 故剩余部分（阴影）的面积为40rdm 11,解：(1)由题意，得P=B十A·C=a十2a(a十2)=a°十 2a3十4a=3a2十4a. (2)投□=x,则A+B+□C=2a+a°+x(a十2)=a2+(2 +x)a十2x. (a十2)(a-2)=a2-4, …a2+(2+x)a+2x-a3-4, ∴2+x=0,2x=-4,解得x=-2, 即口内实数的值为一2. 12.解：(1)ac-bc=c(a-b),-a2+2ab-b3=-(a2-2ab+ 62)=-(a-b)2. (2)△ABC是等腰三角形.理由如下： ac-bc=-a2+2ab-62,c(a-b)=-(a-b)2, 即c(a-b)十(a-b)2=0, .(a-b)(c十a-b)=0. a,b,e分别是△ABC的三边长，满足两边之和大于第三 边，即c十a一b>0,∴.4一b=0,即a=b. 故△ABC是等腰三角形， 13.解：(1)原式=z2十4x十4一4十3 =(x+2)2-1 =(x+2+1)(x+2-1) ■(x十3)(x十1). (2)x2+10x+28-x°+10x十25+3=(x十5)2+3. (x十5)3≥0， ∴.当(x十5)=0时，多项式有最小值，最小值是3，此时x =-5. 第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 1B2票3.C4D5A6-17D8-39-1 a-2=0, 10.解：根据西意，得6-16=0，解得a=2, 6=4, 6十4≠0， .3a-b=3×2-4=6-4=2. 故3a一b的值是2. 18.1.2分式的基本性质 1.D2.B3.(1)10ab(2)3y(3)2a+2ad 4B5A6 9x 7.解：(1)原式=一6xy 2(a-b)2 (2)原式= =2a-26 (a-b)(a十b)a十b 8.D 9.解：)之=功，是= ac abe'be abe' (2)2x x-92(x+3)(x-3)' x x(x-3) 2x+62(x+3)(x-3 10.B11.C12.a(a-1)213.② (0.5x-3y)×60 30x-20y 14.解：(1)源式-0.25x-0.2y)×6015x-12y /5 (4x+y)X12 (2)原式= 15x+12y /31 (4x-3y)×12 9x-4y 15.解：由62-4a=0,得62=4a, ab ab a62 六a-2+6-4.2=4a十4+6-。-4如+8- 4a* 16解：1把x+=5两边平方，得(+）}'=25，即2+ 十2=25，x+1 1 23. (2)x-x1 =4, x x =41 整理，得x-1=5 两边平方，得(-》”-器 -6 上册参考答案 181