第十五章轴对称 15.3.1 等腰三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 要点提示 1.等腰三角形的要崇：两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边州作睡，另一条边叫作表这，两腰的 夹角叫作顶角，婴和底边的夹角叫作意角. 2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等（简写成“等这对等角”），(2)等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互重合（筒写成“三箕合一"）， O1固基础 知识点1等腰三角形的性质1：等边对等角 1.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等 D 第6题围 第7题围 腰三角形的底角是 ( 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点 A.70°B.45° C.35° D.50 D.若BC=6,则CD= 2.(2024兰州)如图，在△ABC中，AB=AC, 8.如下图，AD平分∠BAC,且∠1=∠2 ∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=( (1)求证：BD=CD. A.100°B.115 C.130° D.145 (2)判断AD与BC的位置关系，并说明 理由 第2题图 第3题田 3.如图，△ABC≌△ADE.若∠BED=20°，则 ∠AED的度数为 ( A.60° B.90° C.80 D.20 4.如图，AB=AC=AD,∠BAD=50°，则 ∠BCD的度数为 第题围 第5题围 5.如图，△ABC内有一点D,且DA=DB= DC.若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则 ∠BDC的度数为 ·易错点对等腰三角形的底角和顶角不 知识点2等腰三角形的性质2：三线合 确定时，易漏解 6.如图，AB=AC,AD,CE分别是△ABC的 9.已知△ABC是等腰三角形，若∠A=40,则 中线和角平分线.若∠CAD=20°，则∠ACE △ABC的顶角度数是 的度数为 上册第十五章 ……念O2提能力 (2)若∠BAD=20°，求∠FGB的度数. 10.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD 的垂直平分线与AB相交于点E,CD的垂 直平分线与AC相交于点F,已知△ABC 的三个内角皆不相等，根据图中所标示的 角，判断下列叙述正确的是 () A.∠1=∠3，∠2=∠4 B.∠1=∠3，∠2≠∠4 C.∠1≠∠3，∠2=∠4 D.∠1≠∠3，∠2≠∠4 。。。。 O3拓思维心… 14.如图，在△ABC中，BD=CD,BD为 △ABC的角平分线. 第10题图 第11题图 (1)若AB=BD,则∠A的度数为 11.如图，在△ABC中，AF是△ABC的外角 ∠EAB的平分线，交CB的延长线于点F, (2)如图①，若E为线段BC上一点， BG是△ABC的外角∠DBC的平分线，交 ∠DEC=∠A,求证：AB=EC. AC的延长线于点G.若AF=BG=AB, (3)如图②，若E为线段BD上一点， 则∠F的大小为 ∠DEC=∠A,求证：AB=EC. 12.在△ABC中，∠C=24°，∠ABC>90°，过 顶点B的一条直线把这个三角形分割成两 个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个 为直角三角形，则∠A的度数为 图② 13.(2025宁波期末)如下图所示，△ABC是等 腰三角形，AB=AC,D,E分别为线段 BC,AC上一点，BD=CD=CE,过点E作 AC的垂线交AD于点G,交AB于点F,连 接BG,CG (1)证明：△CGD≌△CGE 名 数学八年级刷版 第2课时等腰三角形的判定 要点提示 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角时等边”）， ◆O1固基础 5.如图，在△ABC的BC边 上截取BE=AB,连接 知识点等腰三角形的判定 AE,作△ABE的角平分 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°， 线BD交AE于点D.若 第5题国 ∠C=72°，则图中等腹三角形有 ∠EAC-∠C,BC-9,AB-5,则AD= A.0个 B.1个 6.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC, C.2个 D.3个 第1题卧 ∠DAB的平分线交BC的延长线于点E, 2.如图，∠1-∠2-70°，∠3=35°，则下列结论 BG⊥AE,垂足为F,交CD于点G. 错误的是 ) (1)求证：BG平分∠ABE. A.AB∥CD (2)若∠DCB=100°，∠DAB=60°，求 B.∠B=35 ∠BGC的度数. C.∠B十∠CGF=∠EFC D.CG>FG D 第2题国 第3题国 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36, D,E是BC上的两点，且∠BAD=∠DAE -∠EAC,则图中等腰三角形的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C= 30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上我 ·易错点 因不确定等腰三角形的腰和底 一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法 边而出错 正确的有 7.如图，已知P是射线 个 ON上一动点，∠O= 下X汉 45°.当∠A= 第7题围 时，△AOP为等腰三角 形. 第4题困 上册第十五章 …念02提能力念 (2)如图②，若DF⊥AD,交AB于点F,求 证：BF=DF. 8.如图，在△ABC中，AB=10,以点B为圆 心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于 点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点O,作 射线BO交AC于点D,过点D作DE∥ BC,交AB于点E.若AD=4,则△ADE的 周长等于 A.6 B.8 C.14 D.18 念O3拓思维)念 12.如下图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B= 40°，点D在线段BC上运动（点D不与点 B N B,C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE 第8题国 第9题图 交线段AC于点E. 9.如图，∠MAN一30°，B是射线AN上的定 (1)当∠BDA=115时，∠BAD= 点，P是直线AM上的动点.要使△PAB为 点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐 等腰三角形，则满足条件的点P共有() 变 (填“大”或“小”). A.1个B.2个C.3个 D.4个 (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE? 10.如图，I为△ABC角平 请说明理由. 分线的交点，AB=8, (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状 AC=6,BC=5.将 第10题周 也在改变.判断当∠BDA等于多少度时， ∠ACB向下平移，使其 △ADE是等腰三角形 顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周 长为 11.已知在△ABC中，∠C=3∠B,AD平分 40 409 B"6 ∠BAC交BC于点D. (1)如图①，若AE⊥BC于点E,∠C= 75°，求∠DAE的度数. 图1 图② 数学八年级R刷版6.解：如图，直线1即为所求（图②作法不难一） A(D) 7.D8.56 9.解：(1)如图①，直线AC即为所求。 (2)如图②，直线A0即为所求， 图① 10.解：(1)如图，直线DE即为所求 (2)如图，莲接AE. ,DE是边AC的垂直平分线， ..AE=CE. ,AB■6，CB=8,.△ABE的周长为 AB+AE+BE=AB+BE+CE=AB+BC=14. 11.解：(1)如图，射线AP,直线MN即为所求 (2)证明：连接EB,EC,过点E作 D EH⊥BD于点H,如图. :MN垂直平分BC,∴.EB=EC. ,AP平分∠DAC,EF⊥AC,EH⊥ BD,∴EF=EH 在Rt△BEH和Rt△CEF中， (BE=CE. EH=EF. ∴.Rt△BEH2Rt△CEF(HL), .BH=CF,,AB十AH=CF 同理可得，Rt△AEH2Rt△AEF, AH=AF,AB十AF=CF,即AB十AC一CF=CF, .AB+AC=2CF. 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.B2.C3.林.共、品、吉4.B 5.解：如图（图①中对称轴答案不唯一） 图① 图2 6.解：(1)如图①，△AB'C即为所求. (2)如图②，△AB,C1和直线AD即为所求（答案不唯一）， 周① 第2课时用坐标表示轴对称 1.B2.C3.(-2,-5 4.(2,-2)(-2,-2)(-2,2) 5.解：(1D点A,B关于x轴对称， 化。都得公 (2)点A,B关于y拍对称， 2 2a+b+2b-一1=0解 a=-4' l5+a=-a十b, 3 (4a十46)2脑=(-7十6的2s=(-1)2%=一1. 6.(-3,2)(-3,3) 7,解：(1)如图，△A'B'C即为所求.A', B',C三点的坐标分别为A'(2,5),B (3,2),C1,1) 1 (2)△A'B'C的面积为2X4-2×1 X4- ×1x2-1×8= 8.(-1,-3)9.A10.C11.312.1013,1) 13.解：(1)画△A1B1C1如图. 由图知，A1(一3，一2). e号 (3)如图，点P即为所求 14.解：1D由E意，得a=2,6=一1-2=一3，则4(2,1)，B(2, -3,Saa=2×G+3》X2=4 (2)AB∥x轴， A,B两点的飘坐标相同，.b=1, “'AB=4,.|a一2=4，解得4=一2或a=6. 当a=-2时，a-b=-3:当a=6时，a-b=5. 综上所述，a一b的值是-3或5. 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.B3.C4.155°5.100°6.357.3 8.解：1)正明：AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD ∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中，∠1=∠2， AD=AD. .△ABD2△ACD(AAS),∴.BD=CD. (2)AD⊥BC.理由如下： 由(1)，得△ABD2△ACD. .AB=AC. AD平分∠BAC,.AD⊥BC 9.40或100°10.C11.48°12.45或33或42° 13.解：(1)证明：，AB=AC,BD=CD,AD⊥BC 又，FE⊥AC,,△CGD和△CGE是直角三角形 在Rt△CGD和Rt△CGE中， ICD=CE:.R△CGDR△CGE(HL). CG-CG. (2)AB=AC,BD=CD,∠BAD=20°， 上册参考各案 175 .∠BAC=2∠BAD=40° ∠ABC=∠ACB=2X180-40)=70 "Rt△CGD≌Rt△CGE, ∠DCG-∠ECG=1 ∠ACB,即CG平分∠ACB. 六BG平分∠ABC,∠ABG=立∠ABC-35 在R△AEF中，∠BAC=40°，，∠AFE=90°-40°=50 :∠AFE=∠ABG+∠FGB,∴.∠FGB=15 14.解：(1)72 (2)正明：：BD=CD,.∠DBC=,∠C 'BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC..∠ABD=∠C ∠A=∠DEC, 在△ABD和△ECD中，∠ABD=∠C. BD=CD, ,△ABD2△ECD(AAS),∴，AB=EC (3)正明：如图，延长BD到点T,使得CD =CT,.∠T=∠CDT=∠ADB .BD=CD,..BD=CT. 在△ABD和△ECT中， ∠A=∠CET, ∠ADB=∠T, BD=CT. .△ABD2△ECT(AAS),,.AB=EC 第2课时等腰三角形的判定 1.D2.D3.C4.35.2 6.解：(1)证明：AD∥BC,∴∠DAE=∠E AE是∠DAB的平分线， ∠DAE=∠BAE,.∠BAE=∠E,BA=BE :BG⊥AE,BG平分∠ABE (2),AE是∠DAB的平分线，∠DAB=60° ∠DAE=∠BAE=∠DAB=30 ,BG⊥AE,∴.∠ABF=90°-∠BAE=90°-30°=60° 由1)知，∠EBF=∠ABF,即∠EBF=60',∴∠BGC=180 -∠BCG-∠EBF=180°-100°-60°=20 7.45或67.5"或90°8.C9.D10.8 11,解：(1)：∠C=3∠B,∠C=75, ∴∠B=25,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80 :AD平分∠BAC,∠DAC-号∠BAC-40 AE⊥BC,∴.∠EAC=90°-∠C=15, .∠DAE=∠DAC-∠EAC=25 (2)证明：设∠B=a,则∠C=3a,∠BAC=180°-∠B ∠C=180°-4a. 1 :AD平分∠BAC,∠BAD-名∠BAC-90-2a. DF⊥AD,∴.∠ADF=90°， ∠AFD=90°-∠BAD=2a :∠AFD=∠B十∠BDF=a十，∠BDF ∠BDF=a=∠B,∴.BF=DF 12.解：(1)25”小 (2)当DC=AB=2时，△ABD2△DCE.理由如下： ,,∠ADE+∠CDE=∠ADC=∠B十∠BAD,∠B ∠ADE=40°，.∠CDE=∠BAD. AB=AC,.∠B=∠C, .当DC=AB=2时，△ABD2△DCE (3)由(2)可知，∠B=∠C=40°.根据题意，分戒以下三种 情况进行讨论： ①当AD=AE时，∠ADE=,∠AED=40°，此时点B,D重 合，不符台题意， 176 数学八年级RJ版 ②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=2X180-40) 70°，∴.∠BDA=∠DAE+∠C=110: 当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40”, .∠BDA=∠DAE+∠C=80' 综上所述，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰 角形， 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.B2.B 3.正明：：△CAP和△CBQ都是等边三角形， .∠ACP-∠CBQ=60 ∠ACB=90°，∠BCP=∠ACB-∠ACP=30 在△BCH中，∠BHC=180”-∠BCP-∠CBQ=180°-30° -60°=90°..BQ⊥CP 4.D5.20 6.证明：，∠A=120°，AB=AC,.∠B=∠C=30 又：DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°， ∴.∠BDE=∠CDF=60',.∠EDF=60 D是BC的中点，∴BD=CD ∠B=∠C 在△BDE和△CDF中，BD■CD, ∠BDE=∠CDF, ,.△BDEe2△CDF(ASA), .DE=DF,△DEF是等边三角形 7.B8.C9.2 10.解：(1)证明：'∠DAE=,∠BAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC .∠BAD=∠CAE AB-AC. 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD2△ACE(SAS). (2)①证明：由(1)可知，△ABD2△ACE。 .∠B=∠ACE. CE平分∠ACF,.∠ACE=∠FCE. AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴.∠B=∠ACB=∠ACE=∠FCE :∠ACB+∠ACE+∠FCE=130', ∴∠ACB=60',∴△ABC是等边三角形 ②025 11.解：(1)12(2)4 (3)当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN. 由(1)知，当点M,N运动12s时M,N两 点重合，恰好在点C处，如图，假设 △AN是等腰三角形，则AM=AN, .∠AN=∠ANM, '∠AMC=∠ANB AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形， .∠C=∠B, ∠AMC=∠ANB, 在△ACM和△ABN中，∠C=,∠B, AC-AB, .△ACM2△ABN(AAS),.CM=BN 设当点M,N在BC边上运动且点M,N运动的时间为ys 时，△AMN是等腰三角形， .CM=y-12,NB=36-2y. CM=BN.∴y-12=36-2y 解得y=16,故假设成立， ∴当点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时点M,N运动的时间为16s.