第十五章轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 要点提示 1线段的垂直平分线的性质：线：嘉直平分孩上的点与这条线段两个端点的距离相等， 2.线段的垂直平分线的判定；与线两个端点距离相等的点在这条线段的垂真平分线上 3.互逆命题：一个命题的题设和结论正好是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题作互是命题，如果把其 中一个叫作源命题，那么另一个叫作它的造命整 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定埋叫作玉是定理，其中 一个定理叫作另一个定理的是定键. O1因基础 4。+。4。 4.如下图，已知在△ABC中，点D在边AC 上，且AB=AD. 知识点①线段的垂直平分线的性质 (1)用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP, 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P 交BC于点P(保留作图痕迹，不写作法)， 为直线CD上的一点.已知线段PB=3cm, (2)在(1)的条件下，连接PD.若AC=AB 则线段PA的长为 十BP,求证：点D在线段PC的垂直平分 A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 线上 第1题图 第2题图 2.A,B,C三地的位置如图所示，分别连接 AB,AC,BC,形成了一个三角形.若想建立 一个货物中转仓，使其到A,B,C三地的距 离相等，则中转仓的位置应选在 A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 知识点3互逆命题与互逆定理 C.三条角平分线的交点 5.下列命题的逆命题是真命题的是( D.三边上高的交点 A.全等三角形的面积相等 知识点2线段的垂直平分线的判定 B.如果a=b,那么|a=b 3.如图，AD是△ABC的角平 C.两直线平行，内错角相等 分线，DE,DF分别是 D.全等三角形的对应角相等 △ABD和△ACD的高，则 6.下列定理中，没有逆定理的是 AD与EF的关系是() 第3题图 A.三边分别相等的两个三角形全等 A.EF垂直平分线段AD B.直角三角形的两个锐角互余 B.AD垂直平分线段EF C.斜边和一条直角边分别对应相等的两个 C.AD与EF互相垂直平分 直角三角形全等 D.无法确定 D.对顶角相等 数学八年级RJ板 O2提能力念 11.如右图，AB=CD,线段AC 的垂直平分线与线段BD的 7.下列说法错误的是 垂直平分线相交于点E.求 A.一个三角形两边的垂直平分线的交点到 证：∠ABE=∠CDE. 这个三角形三个顶点的距离相等 B.若a>b,则a>b2的逆命题是真命题 C.在角的内部，到角的两边距离相等的点一 定在这个角的平分线上 D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别为 边AB,AC上的点，BE与CD相交于点F, 连接AF,∠ADC=∠AEB.下列结论不正 确的是 () A.△ABE≌△ACD …03拓思维) B.BF=CF 12.如右图，在△ABC中， C.AF所在的直线垂直平分BC ∠ABC的平分线与 D.四边形ADFE的面积与△BCF的面积 AC的垂直平分线DE 相等 相交于点D,过点D作 DF⊥BC,DG⊥AB,垂足分别为F,G (1)求证：AG=CF (2)若BG=5,AC=6,求△ABC的周长. 第8题图 第9题图 9.(教材变式)如图，在△ABC中，DE是BC 的垂直平分线.已知△ABC的周长为 16cm,△ABD的周长为12cm,则BE的长 为 cm. 10.如图，在△ABC中，已知O是边AB,AC 垂直平分线的交点，E是∠ABC,∠ACB 平分线的交点.若∠O十∠E=180°，则∠A 的度数为 第10题图 上册第十五章 第2课时线段的垂直平分线的作法 要点提示 1线段的垂直平分线的作法：(1)如右图，分别以点A,B为唐心，大于 2AB的长为摩桂作孤， 两孤相交于C,D两点；(2)作直线CD,划CD就是所求作的直线， 2.画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形 的任意一对对称点：（②）连接这对对称点：(3)画出对称点所连线段的垂直平分线.这条垂直 平分孩就是该轴对称图形成成轴对称的两个困形的对称和 O1固基础 0。+。。04。 A.AD=CD B.∠A=2∠DCB C.∠ADE=∠DCBD.∠A=∠DCA 知识点1作线段的垂直平分线 1.下列作线段的垂直平分线的尺规作图中，正 确的是 第3题图 第4题围 4.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°.通 过观察尺规作图的痕迹，解决下列问题： (1)BD与一条线段的长相等，则这条线段 为 (2)∠DAE= 5.如下图，A,B是两个蓄水池，都在河流a的 同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个 抽水站，将河水送到A,B两地.问该站建在 2.已知在△ABC(AC<AB<BC)中，用尺规 河边什么地方，可使所修的抽水站到A,B 在线段BC上确定一点P,使得PA十PC= 两地距离相等，请用尺规作图，在图中确定 BC,则符合要求的作图痕迹是 该点（保留作图痕迹，不写作法）. B 知识点2画对称轴 D 6.如图，△ABC与△DFE关于直线l对称.请 仅用无刻度的直尺，在下面的两个图中分别 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点 作出直线1（保留作图痕迹，不写作法）， A和点C为圆心，相同的长大于2AC为 半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线 MN交AB于点D,交AC于点E,连接 CD.下列选项错误的是 数学八年级RJ板 ……02提能力之 (2)在(1)的条件下，求△ABE的周长. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点 B和点C为圆心，相同的长（大于2BC)为 半径作弧，两弧相交于点E和点F,作直线 EF交BC于点D,交AB于点G,连接AD. 现有下列结论：①AD平分∠BAC: ②S△ADC=S△ABD:③AC∥EF.其中正确的 是 …念03拓思维 A.①②③ B.①③ 11.如下图，已知△ABC C.①② D.②③ (1)请用直尺和圆规作出△ABC的外角 ∠DAC的平分线AP和BC边的垂直平分 线MN(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)的条件下，AP交MN于点E, EF⊥AC于点F,求证：AB+AC=2CF, 第7题钢 第8题困 8.如图，根据长方形ABCD中尺规作图的痕 迹，得∠a 9.如图，请仅用无刻度直尺，按下列要求完成 作图（保留作图痕迹，不写作法）. (1)如图①，AB=AD,BC=CD,连接BD. 作出线段BD的垂直平分线 (2)如图②，AB=AC,BM=CN.作出 △ABC的对称轴. 图① 图② 10.如下图，在△ABC中，AB=6,CB=8. (1)作边AC的垂直平分线DE,分别交 AC,BC于点D,E(不写作法，保留作图痕 迹) 上册第十五章:∠F=∠CMH=90',∠GHF=∠CHM △GHF2△CHM(AAS),FH=MH=ZFM=2.3, 13.解：(1D∠BAD十∠BCD=180°，∠BAD=90°， .∠BCD=90 在R△BAD和R△BCD中，AB=CB, (BD=BD, .Rt△BAD2Rt△BCD(HL),.DA=DC-7, (2)正明：如图，延长DC至点K,使得CK AP,连接BK ∠BCD+,∠BCK=180',∠BAD+∠BCD =180°， ∠BAD=∠BCK, 又，AP=CK,AB=CB, ∴.△BPA2△BKC(SAS),∴.，∠1=∠2，BP=BK ,PQ=AP十CQ,KQ=CK十CQ,,PQ=KQ. 又，BQ=BQ,∴.△PBQ2△KBQ(SSS), .∠PBQ=∠KBQ=∠2+∠QBC=∠1+∠QBC 即.∠PBQ=∠ABP+∠QBC. 3∠PBQ-90+7∠ADC, 14.A 15.解：(1)AD⊥BC,.∠ADC=90 :∠C=70,∠BAC=50, .∠DAC=180°-90°-70=20°，∠ABC=60° ,AE是∠BAC的平分线，.∠BAO=25 :BF是∠ABC的平分线，.∠ABO=30°， ∴.∠B0A=180°-∠BAO-∠AB0=180°-25-30 =125° (2)连接OC,过点O分别作QM⊥BC于点M,ONAC于 点N,如图①. :AE,BF是角平分线，且交于点O, .CO是∠ACB的平分线， .∠OCF=∠OCE,OM=ON 在R△0EM有R△0FN中，8-O. .Rt△OEM≌Rt△OFN(HL).∴.∠EOM=∠FON, ÷∠MON=∠EOF=180°-∠ACB. :AE,BF是角平分线， ÷∠A0B=180-(∠0AB+∠0BA)=180°- 2(∠BAC +ZABC)-180-号a80-∠ACB=90+2∠ACB 又：∠AOB=∠EOF, 六90+ 2∠ACB=180°-∠ACB,∠ACB=60 ME 图① (3)如图②，连接OC,过点O分别作OD⊥AB于点D,OG ⊥BC于点G,OH⊥AC于点H, AE,BF是角平分线，且交于点O, ..OD=0G=0H. 又：5A=Sa0m+SAr十S,X8X6= 10OD+ 2×80G+ 1 X60H, 0D=2,∴.S△408= 1 ×10×2=10. 174 数学八年级RJ版 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.D2.D3.B4.B5.132°6.A7.D8.95 9.解：(1)，△ABC和△ADE关于直线MN对称， .△ABC2△ADE,.∠DAE=∠BAC=100 .∠CAD=30°，.∠AE=100-30°=70 (2),BC∥AD,.∠BFE=∠D :△ABC②△ADE,∠BAC=∠DAE,∠C=,∠E 由对称性可知，∠EAF■∠CAF。 又：AE平分∠BAM,∴.∠BAE=∠EAF=∠CAF, '∠BFE十∠C=8I",.∠D十∠E=81", .∠DAE=180°-81=99°，∴.∠BAC=99°， ∠EAF-号∠BAC=3 10.解：1)，∠1=2∠A (2)2∠A=∠1十∠2.理由如下： 由四边形内角和，得∠A十∠A'+∠A'DA+∠AEA =360 又：∠1+∠ADA+∠2+∠AEA=180°+180=360°， “∠A+∠A=∠1+∠2， 由折叠可得∠A=∠A',∴.2∠A=∠1十∠2. (3):∠DME=∠A'+∠2，∠1=∠A+∠DME, 且由折叠可得∠A=∠A', .∠1=∠A十∠A'+∠2=2∠A+∠2， .2∠A=∠1-∠2=80-24°=56，∠A=28 15,1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.D2.A3.B 4.解：(1)如图，射线AP即为所求 (2)证明：如图，连接PD.,AP平分 ∠BAC,∴∠PAB=∠PAD .AB=AD.AP=AP, .△PAB2△PAD(SAS),.BP=DP. ,AC=AB十BP,AC=AD十DC,AB=AD, ..BP=DC,..DP=DC, 点D在线段PC的垂直平分线上 5.C6.D7.B8.D9.210.36 11.证明：如图，连接AE,CE.AC,BD的垂 直平分线相交于点E,.AE=CE,BE =DE. (AB-CD, 在△ABE和△CDE中，AE=CE, BE-DE. ∴△ABE2△CDE(SSS),∴∠ABE=∠CDE. 12.解：(1)证明：如图，连接AD,DC BD平分∠ABC,DG⊥AB,DF ⊥BC,∴.DG=DF ,点D在AC的垂直平分线上， ..DA=DC. 在R△DGA和Rt△DFC中，DG=DF, DA=DC, ,Rt△DGA≌Rt△DFC(HL),∴.AG=CF (2)由(1)知DG=DF. 又，BD=BD,R△BDG2R△BDF(HL),.BG=BF, AG-CF. ,∴·△ABC的周长=AB十BC十AC=BG-AG十BF十CF 十AC=2BG+AC=2×5十6=16， 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.C2.D3.B4.(1)AD(2)25 5.解：如图，点P即为所求 6.解：如图，直线1即为所求（图②作法不难一） A(D) 7.D8.56 9.解：(1)如图①，直线AC即为所求。 (2)如图②，直线A0即为所求， 图① 10.解：(1)如图，直线DE即为所求 (2)如图，莲接AE. ,DE是边AC的垂直平分线， ..AE=CE. ,AB■6，CB=8,.△ABE的周长为 AB+AE+BE=AB+BE+CE=AB+BC=14. 11.解：(1)如图，射线AP,直线MN即为所求 (2)证明：连接EB,EC,过点E作 D EH⊥BD于点H,如图. :MN垂直平分BC,∴.EB=EC. ,AP平分∠DAC,EF⊥AC,EH⊥ BD,∴EF=EH 在Rt△BEH和Rt△CEF中， (BE=CE. EH=EF. ∴.Rt△BEH2Rt△CEF(HL), .BH=CF,,AB十AH=CF 同理可得，Rt△AEH2Rt△AEF, AH=AF,AB十AF=CF,即AB十AC一CF=CF, .AB+AC=2CF. 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.B2.C3.林.共、品、吉4.B 5.解：如图（图①中对称轴答案不唯一） 图① 图2 6.解：(1)如图①，△AB'C即为所求. (2)如图②，△AB,C1和直线AD即为所求（答案不唯一）， 周① 第2课时用坐标表示轴对称 1.B2.C3.(-2,-5 4.(2,-2)(-2,-2)(-2,2) 5.解：(1D点A,B关于x轴对称， 化。都得公 (2)点A,B关于y拍对称， 2 2a+b+2b-一1=0解 a=-4' l5+a=-a十b, 3 (4a十46)2脑=(-7十6的2s=(-1)2%=一1. 6.(-3,2)(-3,3) 7,解：(1)如图，△A'B'C即为所求.A', B',C三点的坐标分别为A'(2,5),B (3,2),C1,1) 1 (2)△A'B'C的面积为2X4-2×1 X4- ×1x2-1×8= 8.(-1,-3)9.A10.C11.312.1013,1) 13.解：(1)画△A1B1C1如图. 由图知，A1(一3，一2). e号 (3)如图，点P即为所求 14.解：1D由E意，得a=2,6=一1-2=一3，则4(2,1)，B(2, -3,Saa=2×G+3》X2=4 (2)AB∥x轴， A,B两点的飘坐标相同，.b=1, “'AB=4,.|a一2=4，解得4=一2或a=6. 当a=-2时，a-b=-3:当a=6时，a-b=5. 综上所述，a一b的值是-3或5. 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.B3.C4.155°5.100°6.357.3 8.解：1)正明：AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD ∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中，∠1=∠2， AD=AD. .△ABD2△ACD(AAS),∴.BD=CD. (2)AD⊥BC.理由如下： 由(1)，得△ABD2△ACD. .AB=AC. AD平分∠BAC,.AD⊥BC 9.40或100°10.C11.48°12.45或33或42° 13.解：(1)证明：，AB=AC,BD=CD,AD⊥BC 又，FE⊥AC,,△CGD和△CGE是直角三角形 在Rt△CGD和Rt△CGE中， ICD=CE:.R△CGDR△CGE(HL). CG-CG. (2)AB=AC,BD=CD,∠BAD=20°， 上册参考各案 175