第十五章轴对称 15.1.1 轴对称及其性质-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 要点提示 1,轴对称图形的概念：如果一个平而图形沿一条直线折叠，直线两》的部分能够互相重合，这个图形就网作勃 对森田形，这条直战就是它的对称轮，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点， 2.轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形类于 这条直线（成轴）对称，这条直线州作对非轴，折叠后重合的点是对金点，网作对悲点， 3线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂薰平分孩， 4,轴对称和轴对称图形的性质：(1)咸轴对称的两个图形全等，(2)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段 被对称轴垂直平，(3)成轴对格的两个图形和轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连能段的垂直平分线 O1固基础 +。，。 知识点2成轴对称 3.下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对 知识点1轴对称图形 称的是 1.跨语文学科（2024徐州)古汉字“雷”有下列 四种写法，其中可以看作轴对称图形的是 ⊕（© 0)0 A B 田田 知识点3轴对称及轴对称图形的性质 @@ 4.如图，△ABC和△AB'C关于直线1对称， 面亩 连接CC‘交对称轴（于点D.若AB=4, C D B'C'=2,CD=0.5,则五边形ABCC'B'的 2.下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线， 周长为 其中不是轴对称图形的是 A.14 B.13 C.12 D.11 笛卡尔心形线 三叶攻瑰形曲线 A 8 第4题图 第5题图 5.如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称， △ABC和△ADC关于直线AC对称，AD 蝴蝶形曲线 太极曲线 与BE相交于点F.若∠ABC=32,∠ACB C D =18,则∠BFD 数学八年级R利版 ●易错点判断轴对称图形对称轴的条数 (2)若BC∥AD,AE平分∠BAM,∠BFE 出错 +∠C=81°，求∠EAF的度数. 6.(教材变式)下列轴对称图形中，只有两条 对称轴的是 ◆02提能力 7.（2024一2025准南期中)如图，△ABC与 △A,B,C关于直线MN对称，P为MN 上任一点(P不与AA,共线).下列结论中， 错误的是 ……念O3拓思维念…… A.AP=AP B.MN垂直平分AA 10.推理能力将三角形纸片ABC沿DE折 C.∠PAC=∠PAC 叠，使点A落在点A'处. D.直线AB,A1B:的交点不一定在MN上 图① 田②@ (1)如图①，点A落在四边形BCDE的边BE 100 上，则∠A与∠1之间的数量关系是 第7题品 第8题图 8.如图，在四边形ABCD中，∠A=100°，∠C (2)如图②，若点A落在四边形BCDE的 =70°，点M,N分别在AB,BC上，将 内部，则∠A与∠1十∠2之间存在怎样的 △BMN沿MN翻折，得到△FMN.若 数量关系？请说明理由。 MF∥AD,FN∥DC,则∠B的度数为 (3)如图③，点A落在四边形BCDE的外 部.若∠1=80°，∠2=24°，求∠A的度数. 9.如下图，△ABC和△ADE关于直线MN对 称，BC与DE的交点F在直线MN上. (1)若∠BAC=100°，∠CAD=30°，求 ∠CAE的度数. 31 上册第十五章,'∠F=∠CMH=90',∠GHF-∠CHM. 六△GHF2ACHM(AAS),FH=MH=2FM=之.3. 13.m:(1)∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=90°， ∠BCD=90 在R△BAD和R△BCD中，AB=CB, (BD=BD, ,R△BAD2R△BCD(HL),∴.DA=DC=T. (2)正明：如图，延长DC至点K,使得CK AP,连接BK :∠BCD+∠BCK=180°，∠BAD+∠BCD =180°， ,∠BAD=∠BCK 又AP=CK,AB=CB, .△BPA2△BKC(SAS),.∠1=∠2，BP=BK PQ=AP+CQ,KQ=CK+CQ,PQ=KQ. 又，BQ=BQ,.△PBQ2△KBQ(SSS), ∴，∠PBQ=∠KBQ=∠2+∠QBC=∠1+∠QBC 即∠PBQ=∠ABP+∠QBC. 3∠PBQ=90+2∠ADC 14.A 15.解：(1)，AD⊥BC,.∠ADC=90 ∠C=70,∠BAC=50°， .∠DAC=180°-90°-70°=20°，∠ABC=60° AE是∠BAC的平分线，.∠BAO=25° :BF是∠ABC的平分线，∠ABO=30, ∴.∠B0A=180°-∠BA0-∠AB0=180°-25-30 =125 (2)连接OC,过点O分别作OM⊥BC于点M,ON⊥AC于 点N,如图①. AE,BF是角平分线，且交于点O, .CO是∠ACB的平分线， .∠OCF=∠OCE,OM=ON 在Ra0EM有R△0PN中，8-O. .Rt△OEM≌Rt△OFN(HL),∴.∠EOM=∠FON, ·∠MON=∠EOF=180°-∠ACB. AE,BF是角平分线， ÷∠A0B=180°-（∠0AB+∠0BA)=180-】 (∠BAC +∠ABC)=180-2a80°-∠AC8)=90+ 2∠ACB. 又：∠AOB=∠EOF, 90+1 ∠ACB=180°-∠ACB,∴∠ACB=60 ME 图① 图② (3)如图②，连接OC,过点O分别作OD⊥AB于点D,OG ⊥BC于点G,OH⊥AC于点H. :AE,BF是角平分线，且交于点O, ∴.OD=OG=OH. 2 1 100D+2×80G+2×60H, 1 :.0D=2,∴.SaoB= ×10×2=10 174 数学八年级RJ版 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.D2.D3.B4.B5.132°6.A7.D8.95 9.解：(1)，△ABC和△ADE关于直线MN对称， .△ABC2△ADE,∠DAE=∠BAC=1O0°. ,∠C4D=30°，.∠CAE=100°-30°=70°. (2)BC∥AD,.∠BFE=∠D ,'△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠C=,∠E. 由对称性可知，∠EAF=∠CAF 又AE平分∠BAM,∴，∠BAE=∠EAF=∠CAF ,∠BFE十∠C=81°，，∠D+∠E=81, .∠DAE=180-81°=99°，.∠BAC=99°， ÷∠EAF=号∠BAC=3 10.解：(1)∠1=2∠A (2)2∠A■∠1十∠2.理由如下： 由四边形内角和，得∠A十∠A'+∠A'DA十∠A'EA =360° 又：∠1十∠ADA十∠2十∠A'EA=180”+180'=360°， ∴∠A'+∠A=∠1+∠2. 由折叠可得∠A=∠A',.2∠A=∠1十∠2 (3)'∠DME=∠A'+∠2，∠1=∠A十∠DME, 且由折叠可得∠A=∠A', .∠1=∠A十∠A'+∠2=2∠A十∠2， 2∠A=∠1-∠2=80°-24°=56，∴∠A=28" 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.D2.A3.B 4.解：1)如图，射线AP即为所求， (2)证明：如图，崖接PD.AP平分 ∠BAC,∴.∠PAB=∠PAD .AB=AD,AP=AP, ∴.△PAB2△PAD(SAS),∴，BP=DP ,AC=AB十BP,AC=AD十DC,AB=AD, .BP=DC,.DP=DC, ∴，点D在线段PC的垂直平分线上 5.C6.D7.B8.D9.210.36 11.证明：如图，连接AE,CE.AC,BD的垂 直平分线相交于点E,.AE=CE,BE =DE. (AB-CD, 在△ABE和△CDE中，AE=CE, BE=DE, ∴.△ABE2△CDE(SSS,.∠ABE=∠CDE. 12.解：(1)正明：如图，逢接AD,DC. ,BD平分∠ABC,DG⊥AB,DF ⊥BC,∴.DG=DF ,点D在AC的垂直平分线上， ..DA=DC. 在R△DGA和R△DFC中，DF: ∴.Rt△DGA2Rt△DFC(HL),.AG■CF (2)由(1)知DG=DF. 又BD=BD,.R±△BDG2Rt△BDF(HL,∴.BG=BF TAG=CF, ∴·△ABC的周长=AB十BC十AC=BG一AG十BF十CF +AC=2BG+AC=2×5+6=16. 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.C2.D3.B4.(1)AD.(2)25 5.解：如图，点P即为所求