第十四章全等三角形 14.3 角的平分线-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 要点提示 角的平分线的性质：南的平分线上的点到角两边的数离柳等， O1因基础 g。4。+ 4.如图，OA平分∠BOD,AC⊥OB于点C,且 AC-3.已知点A到y轴的距离为4，那么 知识点1角的平分线的画法 点A的坐标为 1.(2024一2025龙南期中)用 直尺和圆规作一个角的平分 线的示意图如图所示.能说 0 明∠AOC=∠BOC的依据 第1题园 第4题图 第5题围 是 5.如图，在△ABC中，AB=4,CA=6,三个内 A.SSS 角的平分线交于点O.若△CAO的面积为 B.ASA 9,则△ABO的面积为 C.AAS 6.如下图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠D D.角平分线上的点到角的两边的距离相等 =90°，BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接 2.如下图，点D在△ABC的边AB上，且 EA.已知EA平分∠DEF. ∠ACD=∠A (1)求证：△ABF≌△ACD. (1)用尺规作∠BDC的平分线DE,交BC (2)若BF=7,DE=3,求CE的长. 于点E(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，∠BDC=∠ACD+ ∠A,则直线DE与直线AC的位置关系为 知识点2角的平分线的性质 3.如图，D是∠ABC平分线上 的一点，DE⊥BC,DF⊥ AB,垂足分别为E,F,连接 EF,交BD于点O.已知 第3题图 ∠EDF=120°，则∠DEF的度数为( A.40°B.35° C.30° D.25 上册第十四章 .……念O2提能力念 ◆03拓思维 7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD= 10.已知∠AOB=90°，OC为∠AOB的平 3,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P 分线 是BC边上的一个动点，则DP长的最小值 (1)如图①，若将三角尺的直角顶点放在 为 ) OC的任意一点P处，使三角尺的两条直 A.1 B.6 C.3 D.12 角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足分别 为E,F,则PE PF(填“>” “<”或“=”) (2)如图②，把三角尺按如图所示的方式放 第7题图 第&题图 置，点P在OC上，两直角边分别与OA, 8.如图，AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC OB交于点E,F.猜想PE与PF的数量 和∠ACD,EF过点P且与AB垂直，交AB 关系，并说明理由 于点F,交CD于点E.已知点P到AC的 距离为3cm,则EF的长为 9.如下图，四边形ABCD中，∠ADC十∠ABC =180°，对角线AC平分∠DAB. (1)求证：CD=CB. 图② (2)过点D作DE⊥AC于点E.若△DAB 的面积为20，求△EAB的面积. 数学八年级R刷版 第2课时角的平分线的判定 要点提示 角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平孩上 O1固基础 4.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线， E是CD上一点，∠BCD-26°，连接BE.当 知识点角的平分线的判定 点E到BC的距离等于DE时，∠DBE= 1.如图，已知D是∠BAC内一点，且DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE= 5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°， DF,作射线AD.若∠ADE=68°，则∠DAF OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM= 的度数为 ON,则∠ABO的度数为 A.22 B.30 C.32 D.68 第5题国 第6题周 6.如图，已知AB∥CD,AD⊥DC于点D,AE 第1题图 第2题围 ⊥BC于点E,∠DAC=35,CD=CE,则 2.(教材变式)如图，AD⊥OB,BC⊥OA,垂足 ∠B的度数为 分别为D,C,AD与BC相交于点P,连接 7.(教材变式)如下图，在△ABC中，∠ABC OP.若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系 的平分线与外角∠ACE的平分线交于点 是 P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA交BA的延 A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 长线于点H. C.∠1<∠2 D.无法确定 (1)若点P到直线BA的距离为5cm,求点 3.将两把完全相同的直尺按如图所示的方式 P到直线BC的距离. 摆放，一把直尺的一边与射线OB重合，另 (2)求证：点P在∠HAC的平分线上. 一边交射线OA于点M;另一把直尺的一边 与射线OA重合，另一边交第一把直尺于点 P,作射线OP.若∠BOP=28°，则∠AMP 的度数为 A.46 B.52 C.56 D.62 第3题图 第4题周 上册第十四章 念O2提能力念 (2)若AB=6,AD=4,CD=8,且S△4c0= 18,求△ABE的面积. 8.(2025景德镇期末)如图， 在△ABC中，D,E为边 AC上两点，连接BD,B 第8题图 BE,DFL⊥BE于点F.若∠A=90°，AD=DF, ∠DBF-25°，则∠BEC的度数为( A.115°B.120°C.125°D.140° 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上， DE⊥AB于点E,且DC=DE.若∠CBD: ∠A=2:1,则∠A的度数为 … O3拓思维◆… 12.如右图，CA=CB,CD =CE,∠ACB ∠DCE=a,AD,BE交 第9题周 第10题剧 于点H,连接CH,AB,DE. 10.如图，已知在△ABC和△ADE中，AB= (1)求证：△ACD≌△BCE. AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， (2)求证：HC平分∠AHE BD,CE交于点F,连接AF.下列结论： (3)直接写出∠CHE的度数（用含g的式 ①BD=CE;②AF平分∠BAD;③∠AFE 子表示). =45°.其中正确的是 (填序 号). 11.如下图，在△ABC中，点D在BC边上， ∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于 点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且 ∠AEF=50°，连接DE (1)求证：DE平分∠ADC. 数学八年级R刷版证明：在R△ABF和R△CDE中，B部=DE, AB=CD. ∴，Rt△ABF2Rt△CDE(HL),.AF=CE, ,AF+EF=CE十EF,即AE=CF ∠BFM=,∠DEM=90, 在△BFM和△DEM中，∠BAMF=∠DAME, BF-DE, ∴.△BFM≌△DEM(AAS),∴，MB=MD. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.A 2.解：(1)如图所示，DE即为所求 (2)DE∥AC 3.C4.(-4,3)5.6 6.解：(1)证明：∠D=90°，BE⊥AC, ∴·∠AFB=∠D=90°. EA平分∠DEF,AF⊥EF,AD⊥ED,,AF=AD 在△ABF有R△ACD中，B二G ,.∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HI) (2)由(1)，得Rt△ABF2Rt△ACD,∴.BF=CD :BF=7,DE=3,∴.CD=7, ∴.CE=CD一DE=7-3=4. 7.C8.6cm 9.解：(1)正明：如图，过点C分别作CF⊥AD 交AD的延长线于点F,CG⊥AB于点G. ,对角线AC平分∠DAB, ..CF=CG. ∠ADC+∠ABC=180',∠ADC+ ∠CDF=180°， .∠CDF=∠CBG ,∠F=∠CGB=90”, .△CDF≌△CBG(AAS),∴.CD=CB (2)如图，延长DE交AB于点H, 则.∠DEA=∠HEA=90", ,AC平分∠DAB,∴，∠DAE=∠HAE ,AE=AE,.△DAE2△HAE(ASA), .DE=EH,即E是DH的中点， 六S△AH=S△e,S△w=Sa0Ea 5am-756a=10, 10.解：1)= (2)PE=PF.理由如下： 如图，过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则 ∠PME=,∠PNF=90 OP平分∠AOB,PM=PN :∠AOB=∠PME=∠PNO=90°， ∴.∠MPN=90. ,∠EPF=90°， .∠MPE=∠NPF 在△PEAM和△PFN中， ∠PME=∠PNF, PM=PN, ∠MPE=∠NPF, ∴△PEM2△PFN(ASA),.PE=PF 第2课时角的平分线的判定 1.A2.A3.C4.32°5.15”6.70° 7.解：(1)如图，过点P作PF⊥BE于点F 点P在∠ABC的平分线上，PH⊥BA, PF⊥BE,,PF=PH=5cm, .点P到直线BC的距离为5cm (2)证明：：点P在∠ACE的平分线上，PD ⊥AC,PF⊥BE,.PF=PD :PF=PH,..PD=PH PD⊥AC,PH BA, 点P在∠HAC的平分线上 8.D9.1810.①③ 11.解：(1)证明：如图，过点E分别作EG⊥AD于点G,EH⊥ BC于点H B DH ,EF⊥AB,∠AEF=50°，.∠FAE=90°-50°=40. ∠BAD=100°， .∠CAD=180°-∠BAD-∠FAE=40°， .∠FAE=∠CAD=40°，AC为∠DAF的平分线 又，EF⊥AB,EG⊥AD,∴，EF=EG. ,BE是，∠ABC的平分线，.EF=EH ,EG=EH,∴.DE平分∠ADC. (2)设EG=x,则EF=EH-EG=x. :SAa-SaeE+Sa-号AD·BG+言CD·EH =18, :号×红+号×8x=18, 解得x=3,“EF=3 :AB=6,SAr=AB:EF=号×6X3=9, 12.解：(1)证正明：，'∠ACB=∠DCE=a, '.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD =∠BCE (CA=CB, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=,∠BCE, CD-CE, .△ACD②△BCE(SAS), (2)正明：如图，过点C分别作 CM⊥AD于点M,CN⊥BE于 点N, '△ACD2△BCE, S△ACn=SACEAD=BE, 2AD·CM=2BE·CN, ∴CM=CN,∴HC平分∠AHE 3)∠CHE=90-74. 本章小结 1.C2.B3.100°4.(3，-2)5.①②@④6.A7.C8.A 9.2710.2<EF<411.6 12.解：过点C作CM⊥AF于点M, 如图， ·∠CAM+∠ACM=90 ∠BAC=90°， ∴∠BAF+∠CAM=90°， ,∠BAF=∠ACM. 'BF⊥AE,∴.∠F=∠AMC=90° 又AB=CA, .△ABF2△CAM(AAS),.BF=AM=1,AF=CM, FM-AF-AM-4.6. :FG=AF,∴.FG=AMC 上册参考答案 173