第十三章三角形 13.3.2 三角形的外角-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

13.3.2三角形的外角 要点提示 1,三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如下 图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 注意：一般地，三角形的一个顶点只取一个外角。 O1固基础 4。。。。。。。 知识点三角形的外角及其性质 1.如图，∠1，∠2，∠3中，是△ABC的外角的 第5题周 第6题图 是 ) 6.(2024一2025上饶广信区月考)如图，BP是 A.∠1，∠2 B.∠2，∠3 △ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC C.∠1，∠3 D.∠1，∠2，∠3 的外角∠ACM的平分线.若∠ABP=20°， ∠ACP=50°，则∠A+∠P= 7.(2025赣州于都期末)如下图，在△ABC中， AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分 ∠ABC交AD于点E. 第1题图 第2题阔 (1)若∠C=52°，∠BAC=68°，求∠ADB的 2.如图，直线a∥%，∠1=60°，∠B=20°，则∠2 度数 的度数为 ( (2)若∠BED=57°，求∠C的度数. A.20°B.30° C.40 D.50 3.图①所示的是一种路灯，图②所示的是该路 灯的平面示意图，则图②中∠CBN的度数 为 ( A.130° B.145 C.150° D.160 Mn 50 A 209 立祖 N 图① 国② 第3题图 第4题围 4.如图，在△ABC中，∠1：∠2=3：5，∠4 100°，则∠1= 5.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A =72°，CE平分∠ACB交BD于点E.若 ∠BEC=115°，则∠ABC的度数为 数学八年级RJ板 02提能力◆ O3拓思维念 8.如图，在平面直角坐标系中，若点A在y轴 12.【定义】在一个三角形中，如果有一个内角 上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交 是另一个内角的2倍，那么我们称这两个 △OAB的外角∠OBD的平分线于点C,则 内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心 ∠C的度数是 ( 三角形”.例如，在△ABC中，∠A=70°，∠B A.30° B.45° C.50° D.60 =35,则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC 为“开心三角形” 【理解】(1)若△ABC为“开心三角形”，∠A= 132°，则这个三角形中最小的内角度数为 第8题国 第9题周 (2)若△ABC为“开心三角形”，∠A=60°， 9.将一副三角板按如图所示的方式放置，则 则这个三角形中最小的内角度数为 ∠a= 10.如图，四边形ABCD中，AD 【应用】(3)如下图，AD平分△ABC的内角 ∥BC,∠C=110°.若沿图中 ∠BAC,交BC于点E,CD平分△ABC的 虚线剪去∠D,则∠1十∠2= 第10题图 外角∠BCF,分别延长BA和DC,交于点 P.已知∠P=30°，若在“开心三角形”ABE 中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B 11.(2024一2025新余渝水区月考)如下图，CE =a,求a的值. 是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE 交BA的延长线于点E. (1)若∠B=20°，∠ACB=48°，求∠E的 度数 (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E. 上册第十三章∠EDF=90-音∠C+∠B :EF1C,∠DEF=0-(90-∠C+∠B） 32c-∠B. 13.解：(1)证明：∠A十∠B+∠AOB=180°，∠C十∠D十 ∠C0D=180,∠A0B=∠C0D,∴∠A+∠B=∠C +∠D (2)有3个，分别是ABCD,ABED,BEDC (3)BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∴∠ABE=∠CBE,∠CDE=∠ADE,由(1D,同理可证得 ∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+ ∠CBE,∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE +∠E+∠CBE,∠E-2☑A+∠C, 13.3.2三角形的外角 1.C2.C3.C4.37.55.58°6.90 7.解：(1)AD平分∠BAC,∠BAC=68 ∠DAC-∠BAC=3 :∠ADB是△ADC的外角，∠C=52°： .∠ADB=∠C+∠DAC=86 (2):AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE ∠BED是△ABE的外角，∠BED=57”, ∠BAD十∠ABE=∠BED=57”, ∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=114 :∠BAC+,∠ABC+∠C=180°， ∴.∠C=180°-（∠BAC+∠ABC)=66 8.B9.15°10.250° 11.解：(1)：∠ACB=48", .∠ACD=180°-48°=132 :CE是△ABC的外角，∠ACD的平分线 ∠BCD=是∠ACD=66 ∴∠E=∠ECD-∠B=66°-20=46° (2)证明：CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE ∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E '∠BAC=∠ACE+∠E, .∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E 12.解：(1)16°(2)30或40 (3)分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时， ∠BAE=2∠B或∠BAE=2∠B, AD平分∠BAC,CD平分∠ECF, ,∠BAC=2∠BAE,∠BCF=2∠BCD ∠B+∠BAC=∠BCF,∠BCD=∠B+∠P, ∠B+2∠BAE-2∠B+∠P),即a+2×合a=2a+ 30)或a+2×2a=2(a+30), 解得。=20（第-个方程无解，即∠BAE=号∠B不成 立)： ②当∠AEB与∠B互为“开心角"时，∠AEB=之∠B或 ∠AEB=2∠B, 期∠BAE=180-∠B或∠BAE=180-3∠B 同①可得，a十2×(180-号）=2a十30)玻e十2× 180-30)=2a+307,解得a=75克=(9） 170 数学/八年级RJ版 综上所述，的值为20或75或(9 本章小结 1.C 9 2.解：解方程组 2红十ay=18得 =1+a 2x-y=0, 18 =1+a a是整数，且该方程组的解为正整数，∴a只能取0或2或 8.又，三角形三边的长分别是4cm,9cm和aCm,.9一4< a<4十9，即5<a<13,.a=8 3.B 4.解：(1)如图所示，AD即为所求 A (2)如图所示，BE即为所求 （3:SAMg=7BC.AD=×4X4=8 S-2SAAN-2X8-4. 5.解：1)∠BAC=90°，AD是边BC上的高， Sax-含AB·AC-BC·AD, AD-AB.AC-12x169.6(cm). BC 20 (2),AE是边BC上的中线，BC=20©m, BE=BC=2BC=号×20=10(cm. 由(1)可知AD=9.6cm, SA2BE.AD-2X10X9,6-48(em). (3)BE=CE=10cm, '.△ACE的周长一△ABE的周长=AC十AE十CE一(AB 十BE十AE)=AC-AB=16-12=4(cm) 故△ACE和△ABE的周长之差是4cm. 6.B7.C8.105°9.45 10.解：(1)①135 ②·O是△ABC的角平分线的交点， ∠A0=7∠ABC,∠aA0-∠BAC,∠0CB 1 ∠ACB,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180, 1 ∴∠BAC+∠ABC=180-∠ACB, ∠BOD=∠BA0+∠AB0=号∠BAC+∠ABC) 2180'-∠ACB)=90-】 2∠ACB “∠0Bc=90,∠0CB=号∠ACB,∠B0C=0 ∠0CB=90-2∠ACB,∠B0c=∠B00=∠B0C -∠D0E)=2X(135-159=60 (2):∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-R-B, ∠BOD=∠E0C=90-2∠ACB=90-A, .∠DOE=∠BOC-2∠BOD=9-a.