第十三章三角形 13.3.1 三角形的内角-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

参考 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.823.D4.A5.C6.C 7.解：6对.“共角三角形”有△ABC与△EBC,△ABC与 △EBD,△EBD与△EBC,△ABD与△ABC,△EBC与 △ABD,△EBD与△ABD. 13.2与三角形有关的线段 132.1三角形的边 1.B 2,解：：8-2<x<8十2，即6<x<10,且x为正整数，则x可取的 值为7,8,9，这样的三角形有3个. 3.C4.B5.三角形的稳定性6.稳定性 7.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm. ,三角形的周长为36cm, ∴.x十2x十2x■36，解得x=7.2,.2x=14.4 故各边的长分别为7.2cm,14.4cm,14.4cm (2)能围成有一边的长为9cm的等腰三角形. 当腰长为9cm时，三角形的三边长分别为9cm,9cm, 18cm,9十9=18，不符合三角形的三边关系，.不能围成 三角形： 当底边长为9cm时，三角形的三边长分别为9cm 13.5cm,13.5cm. ,9+13.5>13.5,符合三角形的三边关系，∴.能围成三 角形， 综上所述，它另外两边的长分别为13.5cm,13.5cm. 8.A9.A10.24 11.解：由三角形的三边关系可知，7一3<m<7十3，即4<m <10, 因此整数m的最大值是9， 12.解：，a,b,c是△ABC的三边长， .a十b十c>0,a<b十e,a+c>b, .a-b-c<0,a十c-b>0, la+b+el+la-8-c1+la+c-b1=(a+8+c)-(a -b-c)十(a十c-b)=a十b+c-a+b+c十a+c-b=a 十b+3c 13.解：(1)证明：如图，延长BP,交AC于点D 在△ABD中，AB十AD>PB十PD. 在△PCD中，PD+DC>PC,.AB+ADH PD+DC>PB+PD+PC, 即AB+AC>PB十PC. (②PA+PB+PC>号AB+BC+AC 理由：在△ABP中，PA十BP>AB 同理可得，BP+PC>BC,PA十PC>AC 以上三式左，右两边分别相加，得2(PA十PB十PC)>AB 十BC十AC, PA+PB+PC>(AB+BC+AC). 13.2,2三角形的中线、角平分线、高 1.B293D4305B6A7.8孩168C95 10.5 11.解：(1)由题意知，AF是△ABE的角平分线，AD是△ABC 的角平分线，BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线. (2),'△ADE的而积为3，E是AC的中点， .S△Ae=2S6Abg=2X3=6. 答案 BD=2CD,S△c=3S△Ax=3X6=18 12.解：(1)4 ③由题意：得点P运动至点A所需时间为营点P后动 至点B所需时间为8+10=6(，AP=(3一8em 3 ①当点P在边AC上，即0<<号时，CP=em, 则Sas-CP·BC. 即18-号×3·6，解得4-21 ②当点P在边AB上，即号<1<6时，BP=AB一AP与 (18-3r)cm. 如图，过点C作CD⊥AB于点D,则S△ =AC·BC=AB·CD, 即号×8X6=号×10：CD,每得CD 24 Sac=2CD·BP, 综上，当1-2或号时，△BCP的面积为18em 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 1.A2.45 ∠A+∠B=∠C 3.解：(1)根据题意，得∠A=∠B, ∠A+∠B+∠C=180, ∠A=45, 解得∠B=45, ∠C=90°. (2)等腰直角 4.90°5.A6.B7.100°8.90或60°9.C10.65 11.证明：，AB/CD,∴.∠BEF十∠DFE=180° :∠BEF与∠DFE的平分线相交于点P, ∠PEF-吉∠BEF,∠PFE-号∠DFE, ∠PEF+∠PFE-专（∠BEF+∠DFE)-专X18O =90, “△EPF为直角三角形， 12.解：(1)10 （②∠DEF=∠C-∠B.理由知下： :∠BAC=180°-∠B-∠C,∠1=∠2 ∴∠2=号a0-∠B-∠c, ∴∠AD0=10-∠C-∠2=0-2∠C+号∠B, 上册参考咨案 169 ∠EDF=90-音∠C+∠B :EF1C,∠DEF=0-(90-∠C+∠B） 32c-∠B. 13.解：(1)证明：∠A十∠B+∠AOB=180°，∠C十∠D十 ∠C0D=180,∠A0B=∠C0D,∴∠A+∠B=∠C +∠D (2)有3个，分别是ABCD,ABED,BEDC (3)BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∴∠ABE=∠CBE,∠CDE=∠ADE,由(1D,同理可证得 ∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+ ∠CBE,∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE +∠E+∠CBE,∠E-2☑A+∠C, 13.3.2三角形的外角 1.C2.C3.C4.37.55.58°6.90 7.解：(1)AD平分∠BAC,∠BAC=68 ∠DAC-∠BAC=3 :∠ADB是△ADC的外角，∠C=52°： .∠ADB=∠C+∠DAC=86 (2):AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE ∠BED是△ABE的外角，∠BED=57”, ∠BAD十∠ABE=∠BED=57”, ∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=114 :∠BAC+,∠ABC+∠C=180°， ∴.∠C=180°-（∠BAC+∠ABC)=66 8.B9.15°10.250° 11.解：(1)：∠ACB=48", .∠ACD=180°-48°=132 :CE是△ABC的外角，∠ACD的平分线 ∠BCD=是∠ACD=66 ∴∠E=∠ECD-∠B=66°-20=46° (2)证明：CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE ∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E '∠BAC=∠ACE+∠E, .∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E 12.解：(1)16°(2)30或40 (3)分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时， ∠BAE=2∠B或∠BAE=2∠B, AD平分∠BAC,CD平分∠ECF, ,∠BAC=2∠BAE,∠BCF=2∠BCD ∠B+∠BAC=∠BCF,∠BCD=∠B+∠P, ∠B+2∠BAE-2∠B+∠P),即a+2×合a=2a+ 30)或a+2×2a=2(a+30), 解得。=20（第-个方程无解，即∠BAE=号∠B不成 立)： ②当∠AEB与∠B互为“开心角"时，∠AEB=之∠B或 ∠AEB=2∠B, 期∠BAE=180-∠B或∠BAE=180-3∠B 同①可得，a十2×(180-号）=2a十30)玻e十2× 180-30)=2a+307,解得a=75克=(9） 170 数学/八年级RJ版 综上所述，的值为20或75或(9 本章小结 1.C 9 2.解：解方程组 2红十ay=18得 =1+a 2x-y=0, 18 =1+a a是整数，且该方程组的解为正整数，∴a只能取0或2或 8.又，三角形三边的长分别是4cm,9cm和aCm,.9一4< a<4十9，即5<a<13,.a=8 3.B 4.解：(1)如图所示，AD即为所求 A (2)如图所示，BE即为所求 （3:SAMg=7BC.AD=×4X4=8 S-2SAAN-2X8-4. 5.解：1)∠BAC=90°，AD是边BC上的高， Sax-含AB·AC-BC·AD, AD-AB.AC-12x169.6(cm). BC 20 (2),AE是边BC上的中线，BC=20©m, BE=BC=2BC=号×20=10(cm. 由(1)可知AD=9.6cm, SA2BE.AD-2X10X9,6-48(em). (3)BE=CE=10cm, '.△ACE的周长一△ABE的周长=AC十AE十CE一(AB 十BE十AE)=AC-AB=16-12=4(cm) 故△ACE和△ABE的周长之差是4cm. 6.B7.C8.105°9.45 10.解：(1)①135 ②·O是△ABC的角平分线的交点， ∠A0=7∠ABC,∠aA0-∠BAC,∠0CB 1 ∠ACB,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180, 1 ∴∠BAC+∠ABC=180-∠ACB, ∠BOD=∠BA0+∠AB0=号∠BAC+∠ABC) 2180'-∠ACB)=90-】 2∠ACB “∠0Bc=90,∠0CB=号∠ACB,∠B0C=0 ∠0CB=90-2∠ACB,∠B0c=∠B00=∠B0C -∠D0E)=2X(135-159=60 (2):∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-R-B, ∠BOD=∠E0C=90-2∠ACB=90-A, .∠DOE=∠BOC-2∠BOD=9-a.13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 要点提示 1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180 2.方向角：方向角是用从观测点到目标的射线与正北，正南方向的夹角来描述的.它有四种表迷方式：北偏东X×度， 北偏西××度，南偏东X×度，南偏西X×度， 3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角王金 4.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形， O1固基础◆ 。。。。。 知识点3直角三角形的性质与判定 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 知识点1三角形的内角和定理 1.在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C,则 56°，则∠A的度数为 () ∠C等于 ( A.34 B.44° A.32° B.36 C.40 D.128 C.124 D.134 2.(2024一2025高安期中)一个三角形，一个内 角的度数是另两个内角度数和的号，另两个 内角的度数相差18°.这个三角形中最小的 内角的度数是 第5题周 第7题 3.(教材变式)在△ABC中，∠A+∠B=∠C, 6.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C三个角的比 ∠B=∠A 例如下，其中能说明△ABC是直角三角形 (1)求∠A,∠B,∠C的度数. 的是 () (2)△ABC按边分类，属于 三 A.2:3:4 B.1:23 角形；△ABC按角分类，属于 C.4￥3：5 D.1:2:2 三角形 7.一副三角板按如图所示的位置放置，点A在 DE上，点F在BC上.若∠EAB=35°，则 ∠DFC= 卜易错点直角三角形中的直角顶点不确 定导致漏解 8.如图，已知∠O=30°，C是射线OD上的 知识点2方向角 一个动点，在点C的运动过程中，当 4.(教材变式)如图，点C在点B的 △AOC恰好是直角三角形时，∠A所有 北偏西60°方向，点C在点A的 可能的度数为 北偏西30°方向，点B在点A的 北偏东30°方向，则∠ABC= 第4题图 第8题 数学八年级RJ板 ……02提能力… (2)探索∠DEF与∠B,∠C的数量关系， 并说明理由 9.图①是一个左右对称的风筝，图②是其几何 示意图.已知∠BCD=84°，∠DAC=60°，则 ∠B的度数为 60 849 图① 图② 第9题周 A.60 B.76°C.78° D.84 10.跨物理学科如图①，光线射向一个平面镜 后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等 (∠1=∠2).如图②，光线射到平面镜甲上 ……03拓思维念… 后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被 13.“8”字的性质及应用： 反射到平面镜甲上，….若∠g=55°，∠y =75°，则∠3= (1)如图①，AD,BC相交于点O,得到1个 “8”字ABCD.求证：∠A十∠B=∠C十∠D. (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的 “8”字有多少个？请分别写出来。 ① 围② (3)如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相 第10题图 交于点E,利用(1)中的结论说明：∠E= 11.如下图，AB∥CD,∠BEF与∠DFE的平 分线相交于点P.求证：△EPF为直角三 3A+∠C. 角形. 图② 12.如下图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C> ∠B,E为射线AD上一点，且EF⊥BC于 点F, (1)若∠B=40°，∠C=60°，则∠DEF 上册第十三章