第七章 证明 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

3平行线的证明 第1课时平行线的判定 1.C 2.证明：∠CGF+∠DGF=180,∠CGF+∠C+∠AFC =180°， ∴∠DGF=∠C+∠AFC ∠A=∠C+∠AFC, ∴∠A=∠DGF,∴AB∥CD. AB∥EF ..CD//EF. 3.B4.A5.A6.b 7.解：(1)：∠1=∠2，AD∥BC. (2):∠ABC十∠BCD=180°，∴AB//DC 8.B9.D10.平行 11.90”垂直的定义90°14等角的余角相等同位角 相等，两直线平行 12.证明：(1)，∠A=∠3，.AB∥CK ∠KCE=180°-∠1-∠3-∠2=35°=∠E, .CK∥DE,.ABDE (2)如图，作∠ACK=∠A .AB∥CK,∠ACK=∠1. ￥AC⊥EC,.∠ACE=90', ·∠KCE=90°-∠ACK=90°-∠1 又：∠2=90°-∠1=∠E, '∠E=∠KCE,.CKDE,∴ABDE 13.解：(1)70 (2)∠BCD+∠ACE=180°.由： ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, ∴∠BCD+∠ACE=90+∠ACD+∠ACE=90°+9o =180° (3)①如图①所示，当∠BCD=30°时，AB∥CE. 理由：∠BCD=30°，∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠B=60, .AB∥CE 图① 图② ②如图②所示，当∠BCD=150时，ABCE. 理由：，∠BCD=150',∠ACB=∠ECD=90°， .∠ACE=30°，.∠A=∠ACE=30°， ∴.ABCE. 综上所述，当∠BCD等于30或150时，ABCE 第2课时平行线的性质 1.C2.C3.78 4.解：(1)'AB∥CD,∠AEF=∠EFD, 即∠AEG+∠FEG=∠EFH+∠HFD. ,'∠AEG=30°，∠FEG=45”,∠EFH=30°， .∠HFD=45 (2)(15+a)° 5.D6.70 7.证明："AD⊥BC,GF⊥BC(已知)， ∴.∠ADC=∠GFD=90'(垂直的定义)， .ADGF(同位角相等，两直线平行)， ∴，∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又￥∠4=∠B(已知)， .DE∥AB(同位角相等，两直线平行)， ,∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）， ∠1=∠2（等量代换）. 8.相等或互补9.A10.A11.12512.①②③ 13.解：(1)∠FAB=∠BDC.理由如下： AC∥FE,∴.∠1+∠FAC=180" ∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2， ∴.FA∥CD,.∠FAB=∠BDC. (2):AC平分∠FAD, ∠FAC=号∠FAD=X76=8. 由(1)可知，∠FAC=∠2，.∠2=38° EF⊥BE,AC∥FE, .AC⊥BE,∠ACB=90 ∴.∠BCD=∠ACB-∠2=90-38°=52° 14.解：(1)，AM∥BN,.∠ABN+∠A=180°， ∴.∠ABN=180°-∠A=120°， ∴.∠ABP+∠PBN=120 BC平分∠ABP,BD平分∠PBN, ∴.∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP, ∴.2∠CBP+2∠DBP=120° ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=6O', (2)不变. .AM∥BN,,∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN :BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN, .∠APB1∠ADB=2:1, (3),AM∥BN,∴，∠ACB=∠CBN 当，∠ACB=∠ABD时，∠CBN=∠ABD, '.∠CBD十∠DBN=∠ABC+,∠CBD, ∴.∠DBN=∠ABC 由(1)可知，∠ABN=120°，∠CBD=60, ∴∠ABC+∠DBN=60',∠ABC=30 本章小结 1.C2.C 3.解：(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数.条件是 一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数，是假命题. (2)如果一个数是末位数学是5的整数，那么这个数船被5 整除.条件是一个数是末位数字为5的整数，结论是这个数 能祓5整除.是真命题， (3)如果两个数是负数，那么他们的积是正数.条件是两个 数是负数，结论是他们的积是正数.是直命题， 4.B5.D 6.证明：'OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC +∠E0B=号∠A0B,∠BOF= ∠BOC. 又：∠AOB+∠BOC-180", ÷∠E0B+∠B0F=合（∠A0B+∠B0C)=号X180 90,即∠E0F=90",∴OE⊥OF 7.A8.B9.105 10.解：(1)证明：如图①，延长DE交AB于点F, ,∠ACB+∠BED=180°，∠CED+∠BED=180°， ∠ACB=∠CED,∴AC/∥DP,∠A=∠DFB. ,∠A=∠D,∠DFB=∠D,.AB∥CD. 上册参老答案 191 y 因① 因2 (2)如图②，作EM∥CD,HNCD. ABCD,∴.AB∥EM∥HNCD .∠1十∠EDF=180°，∠MEB=∠ABE :BG平分∠ABE,小∠ABG=2∠ABE, AB∥HN,∴·∠2=∠AEC. :CF∥HN,.∠2+∠B=∠3， 号∠ABE+∠B=∠a :DH平分∠EDF,∴∠3= z∠EDP,1 ∠ABE+∠B -是∠EDE,∠R=Z(∠EDF-∠ABE,∠EDF ∠ABE=2∠8. 设∠DEB=,∠R,∴∠&=∠1+∠MEB=180°-∠EDF+ ∠ABE=180°-（∠EDF-∠ABE)=180-2∠A. '∠DEB比∠DHB大60，∴∠a-60=∠B, .∠a=180°-2（∠g-60),解得∠a=100°， ∠DEB的度数为100° (3)∠PBM=40. 专题训练 专题训练一利用勾股定理解决折叠问题 1.解：(1)14 (2)40 (3)在Rt△ABC中，∠C=90, 所以BC2=AB-4C°=152-92=144， 所以BC=12cm, 由折登的性质，得CD=DE,AE=AC=9Cm,∠DEA= ∠C=90. 因为AB-15cm,所以BE-AB-AE=6cm 设CD=xcm, 则BD=(12一x)cm,DE=CD=xcm 因为∠DEB=180°-∠DEA=90°， 所以DE2+BE2=BD3,盯x2十62=(12-x)8, 解得x=4.5. 故CD的长为4.5cm 2.解：(1)因为四边形ABCD为长方形， 所以∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10,AD=BC =6. 由折叠的性质，得∠D'=∠D=90°，∠C=∠C=90°，ED =ED',BC'=BC=6,D'C/=DC=10. 由勾股定理，得AC3=AB2-BC:, 所以AC=8,所以AD'=10-8=2. 设ED=ED'=a,则AE=6-a, 由勾股定率，得6-@)=2+公，解得a= 所以AE-6-8-10 33 a=AA=X10X号-号 3.解：(1)由折叠的性质可知，B'F=BF,∠B'FE-∠BFE. 因为四边形ABCD为长方形，所以AD∥BC, 192 数学/八年级6S版 所以∠B'EF=∠BFE,所以∠B'FE=∠B'EF 如图，过点B'作B'G⊥EF,则∠B'GF=∠B'GE=90° 又因为B'G=B'G,所以△B'FG2△B'EG(AAS), 所以B'F=BE,所以BE=BF (2》a3十b=c2.理由如下： 由(1D),得BE=BF=c. 由折叠的性质可知，∠A'=∠A=90',AE=AE=a,AB =AB=6. 在R△A'B'E中，AE2+A'B2=BE2,即a2+62=e2 专题训练二利用勾股定理巧求 最短路径问题 1.30 2.解：如图所示的是滑行部分的平面展开 图，由稻意，得AD=号×x×碧=16 (m),CD=15m,CE=3m,所以DE= CD-CE=15-3=12(m). 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE= 162+122=202, 所以AE=20m. 故他滑行的最短距离为20m. 3.104.50 5.解：1)如图所示 (2)两点之间，线段最短 (3)根据题意可知，侧面展开图中AB=100十20=120(cm), BC=50 cm. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2-1202+ 502=16900,所以AC=130cm. 故这只奶蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 130cm 6.解：(1)设每一毁台阶的高为xdm. 根据题意，得18(4十x)×4=432,解得x■2. 做每一级台阶的高为2dm. (2)四毁台阶平面辰开图为长方形，宽为18dm,长为(2+4) ×4=24(d》,则期蚁沿奢台阶面从点A形行到点C的最 短路超是此长方形的对角线长 由勾股定理，得182+242=302， 所以长方形的对角线长=30dm 故妈蚊沿着台阶面从点A得行到点C的最短路程为 30dm. 24 7.B8.5 9.解：如图，作点A关于直线CD的对称点 A',连接AB,A'B与CD交于点P, 则点P为所求的自来水厂的位置.过点A 作AECD,交BD的延长线于点E, 则△A'BE为直角三角形，DE=AC=A 10km.本章小结 大单元思维导图 。+040e00g+。0,+。。。。e▣+。4e0 证明的必要性 为什么要证明 检验数学结论的常用方法实验验证、举反例、推理论证 定义儿对名称和术语的含义加以描迷，作出明确的规定 搅念：判断一件事情的句子 命题 命题的组成：条件和结论 命题的分类：真命题和假命题 认识证明 反例 具备命题的条件，而不具有命题的结论的例子 公理 公认的真命题 题与证明 证明 演蜂推理的过程 定理 经过证明的真命题 同位角相等，两直线平行 判定 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行线的证明 两直线平行，同位角相等 性质 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 大单元考点训练心… 考点1命题的有关概念 (3)两负数之积为正数. 1.下列是命题的是 A.直线AB和CD垂直吗 B.过线段AB的中点C画AB的垂线 C.内错角不相等，两直线不平行 D.连接A,B两点 2.下列关于命题“若a2>b2,则a>b”的说法， 正确的是 A.是真命题 B.是假命题，反例是“a=1,b=3” 考点2定理与证明 C.是假命题，反例是“a=一3，b=1” 4.下列所学过的真命题中，是公理的是() D.是假命题，反例是“a=一1，b=一3” A.邻补角互补 3.把下列命题改写成“如果…，那么…”的 B.经过直线外一点有且只有一条直线与已 形式，写出条件和结论，并判断真假。 知直线平行 (1)偶数是4的倍数. C.两数相乘，同号得正 (2)末位数字是5的整数能被5整除. D.同角的余角相等 上册第七童 5.下列命题中，不是定理的是 ( 10.(1)如图①，点E在BC上，∠A=∠D, A.三角形的任意两边之和大于第三边 ∠ACB+∠BED=180°.求证：AB/CD. B.两直线平行，同旁内角互补 (2)如图②，AB∥CD,BG平分∠ABE,GB C.同角（或等角）的补角相等 的延长线与∠EDF的平分线交于点H.若 D.同位角相等 ∠DEB比∠DHB大6O°，求∠DEB的 6.如下图，在直线AC上取一点O,作射线 度数 OB,OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC. (3)如图③，AB/CD,∠DEB的度数与(2) 求证：OE⊥OF. 中求出的相同，BM平分∠EBK,DN平分 ∠CDE,作BP∥DN,请直接写出∠PBM 的度数 及本 3 考点3平行线的性质与判定 7.如图，直线a仍，且直线a,b被直线c,d所截， 则下列条件不能判定直线c∥的是() A.∠1=∠2 B.∠1+∠5=180° C.∠3=∠4 D.∠1=∠4 第7题胡 第8题图 8.如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端 点都在格点（网格线的交点）上，网格内另有 A,B,C,D四个格点.下面四个结论中，正 确的是 () A.连接AB,则AB∥PQ B.连接BC,则BC∥PQ C.连接BD,则BD⊥PQ D.连接AD,则AD⊥PQ 9.将一副三角尺按如图所示 A 的方式放置，其中AB∥ DE,则∠CDF的度数为 第9题阻 数学八年级BS版