第二章 实数 3 二次根式-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

3二次根式 第1课时 二次根式的概念和乘除运算 要点提示 二次根式的概念：一般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二决根式，a叫作被开方数，“√”叫作二必根号. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不麦，即√石·√石=√āb(a≥0，b≥0)， a 根式的除法法则两个二水根式相降，起被并方：相降，根指数不支，即=分a≥0,6> O1固基础念 1 (2) 2 2 知识点①二次根式的概念 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A.-√-2 B.3 C.√a-I D.√a+1 02提能力 2.下列式子：4，-5，√后，2， 7.计算√45÷33× 3 的结果是 √x+1,2x,其中一定是二次根式的有 5 ) A.1 5 B. C.5 D.9 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2二次根式的乘除 8.如果二次根式√28n是整数，那么正整数n 的最小值是 () 3.(2024南通)计算√27×√3 的结果是( A.1 B.4 C.7 D.28 9.计算： A.9 B.3 C.35 D.3 4.下列等式不成立的是 A./12÷√3=2 B./12×3=6 C.√-4)X(-3)=/12 厚 5.填空：/18÷√2=√ = 6.计算： (1D8×38×5 8 8 数学八年级B$版 第2课时 二次根式的性质和加减运算 要点提示 二次根式的性质：(1)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积（各图式必须是非负敏），即√āb= 瓜·√石（≥0，b>≥0）.(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根（被除数必须是非 0-a(a≥0，b>0. 负数，除数必频是正数)，即√方一后 最简二次根式的概念：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的图数或图式，这样的二次根式，叫作最 橘二业根式。 二次根式的加减法则：二次根式相加城，应先起各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，合并 同类二次根式指把根号外的因式相加减，根指触和放开方数都不变. O1因基础 知识点3二次根式的加减 知识点1二次根式的性质 5.下列二次根式中，能与5进行合并的是 1.(2024徐州)若√/x+1有意义，则x的取值 范围是 ( ) A.√12 B.√⑧ C.√20 D./27 A.x≤-1 B.x≥-1 6.下列计算正确的是 ( C.x>-1 D.x<-1 A.⑧-√2=2 B.2+5=√5 2.(2024一2025抚州临川区期中）二次根式 C.23-2=√3 D.25-3=2 Vx+2 3 有意义，则x的取值范围是 7.计算63-77 的结果是 8.计算： 知识点2最简二次根式 (1)33-8+2-√27. 3.(2024一2025抚州南城期中)下列二次根式 中，属于最简二次根式的是 A. C./12 D.5 (2)(48-32)-(12+√2). 4.把下列根式化成最简二次根式： (1)/24.(2)40.(3)√/1.5. ◆易错点因忽视隐含条件，误将根号外的 负数移到根号内而致错 9.将a 根号外的部分移到根号内，得 A.a B.-√J-a C.-√a D.Va 上册第二童 O2提能力念 16.新定义题已知a,b都是实数，m为整数. 若a十b=2m,则称a与b是关于m的一 10.已知实数x,y满足(x一9)2十y-2=0, 组“平衡数” 则：的值为 (1D2与 是关于1的一组 A.-3B.3 C.9 D.-9 “平衡数” 11.若/18x+2 x ② (2)3-√2与 是关于3的一 2 十x =10,则x的值为 组“平衡数” ( A.4 B.士2 C.2 (3)若a=4十√3，b=3-4,判断a2与b D.士4 是不是关于某数的一组“平衡数” 12.已知18-√2=a√2-√2=b2,则ab的 值为 13.已知x+y=-6,xy=4,则代数式2 任的值是 03拓思维 …… 14.已知m是√6的整数部分，n是√13的小数 17.推理能力将√a士2、√石化简，如果你能找到 部分，则m十n一√13的值为 两个数m,n,使m2十n2=a,且mn=√石， 15.计算： 那么将a士2√6变成m2+n2士2mn,即变 a2-+3s. 成(m土n)2,从而使得√a士2√石方便化简. 例如：5+26=3+2+2√6=(5)2+ (2)+22×5=(√3+√2)2，所以 √5+26=√(W3+2)=√3+2. 请仿照上例解决下列问题： (1)化简：①W5-2√6：②W4+2√3. (2)72+ 18 (2)已知x=8+4,5,求层+可 的值. 20 数学八年级BS版 第3课时二次根式的混合运算 要点提示 二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合遥算度季与整式的混合运算顺序一样，先算乘方，浮算乘除，最后算 加减，有括号的先算括号内的.(2)实数运算中的递算裤（分配律、结合律、文提律等）和所有的象法公式（平方差 公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然通用.(3)二次根式混合运算的站果应写成最简形式. O1固基础 知识点2二次根式的化简求值 知识点1二次根式的混合运算 6.若a=2,b=√7，则 14 62 的值为 1.(2024一2025吉安月考)下列计算中，正确的 是 A.2+√3=23 B.6÷3=√3 先化简，再求值：(6：+四) C.47-37=7 D.2×√3=5 2倍计，5+5@x (后+V5可)，其中E=E+1y=g 的值应在 1 A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 3.若要在(52-√2)口2的“口”中填上一个 运算符号，使计算结果最大，则“☐”中应该 填 () A.+ B.- C.× D.÷ 4.计算(2十w3)(√2一√3)的结果为 易错点因误用除法分配律而致错 5.计算： 8计算÷（+品） (1)(2024甘肃)/18-√/12×， 解：原式=÷3+3÷√6 =√3 +÷ 3 =3+4=7」 4 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理 由，并给出正确的解答过程， 2)2+15-2-(2) 21 上册第二章 …… 02提能力◆ 3)厘-旺+5+55-5. 9.已知a=1十√2，b= ,则a与b的关系 1-W2 是 A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 10.如图，长方形内两个相邻正方 O3拓思维】 形的面积分别为2和6，那么 6 阴影部分的面积为 )第10题图 l5.阅读下面材料：将边长分别为a,a+√石，a A.4 B.23-2 十2√石，a十3√6的正方形面积分别记为 C.2√6-2 D.45-2 S1,S,Sg,S4,则S2-S1=(a+√6)2-a2 11.计算：（3+2)2025(3-2)2024= =[(a+√b)十a]·[(a+√b)-a]=(2a +√b)·√b=b+2ab. 12.已知x=5√2+2√5，y=52-2√5，写出 例如：当a=1,b=3时，S2一S1=3十25. 下列各式的值： 根据以上材料解答下列问题： (1)x2+2xy+y2 (1)当a=1,b=3时，S-S2= (2)x2-y2= S4-S= 13.一个直角三角形的两直角边长分别为2√6 (2)当a=1,b=3时，把边长为a十n6的 十√5和2W6一√5，则这个三角形的面积为 正方形面积记为S.+1,其中n是正整数.根 据(1)中的计算结果，猜想Sm+1一S.等于 多少，并验证你的猜想. 14.计算： (3)在(2)的条件下，令t1=S2一S1t2=S s+1-E1-4日+68÷22 -S2t;=S-S3,.=S+-SET =t1十t2十t3十…十tso.求T的值. (2)(32+√5)(32-√3)-(1-√5)2 数学八年级BS版因为1002=10000，所以可以确定2是一个三位数。 因为2002=40000，所以100<a<200. 又因为1702=28900,180°=32400， 所以170a<180. 又因为1752=30625，所以175<a<180, 所以接下来就可以用探索的方法从176开始去试，直到找 到为止 通过计算可得a=178,所以y的值是31684， 17.解：设y97=10-x,其中0<x<1,则97=(10-x)2,即 97=100-20x十x2, 因为0<x<1,所以0<x2<1, 所以97≈100一20x,解得x0,15,即√97的近似值为 9.85. 3二次根式 第1课时二次根式的概念和乘除运算 1.D2.B3.B4.D5.18293 6.解：0)源式=3×8×5155. 8 7.A8.C 9:原式-√侣+后×眉 -××☑ 尽√75 =1. 2原式=-(x号×号）×√a2·, =-× =-16 第2课时二次根式的性质和加减运算 1.B2.x≥-23.D 4.解：(1)V24=√4X6=4×,6=26 (2)v40=√4X10=√4×√10=2w10. 33X26 (3)1.5=√2 √2X22 5.C6.A7.27 8.解：(1)原式=3√3-22+2-3√3■-√2， (2)原式=(45-32)-(25+√②)=45-32-25 √2=23-4W2 9.B10.B11.C12.613.314.-1 6X6+3×45 15.解：1源式=2×2,3-√ =4w3-2W/5+12W/③ -145 @武-短+-66+得 1X5 _32_39W21W5 7 7中10 （原式-×25-65+回)-5-后-官-一巨. 16.解：(1)2-2(2)3+2 180 数学八年级BS版 (3)因为4=4十5，b=√3-4，所以a3+b2=(4+3)2+ (3-4)2=38,所以a”+62=2×19,所以a2与6是关于 19的一组“平衡数” 17.解：(1)①√5-26=√W3-2)=3-√2. ②√4+23=√1+3)2=1+3 (2)因为x=8十4W3, 所以受=4+2原=1+5)，x-1=7+4,5=(2+5), 所以√径=V1+3=1+3,Vx可=2+W正 x =2+5, 所以V√2+√x=1+5+2+5=3+2W5. 第3课时二次根式的混合运算 1.C2.B3.C4.-1 5解：原式=3E-√2×=3E-3E=0 2)原式=23+2一√3一4=3-2. 6.2 7.解：原式=(6√xy+3Vxy)一(4Wxy+6xy) =-√xy 当x=2十1，y=√2-1时， 原式=一/(W②+1)(w2一1)=-1. 8.解：不正确， 理由：错用分配律，a÷(6十c)a÷b十a÷c,这里应先算括 号里面的，再算除法。 正的架答过：原式一唇+（停+）-厅+福-号 9.A10.B15+21220240V厘13盟 14,解：Q)原式=3v2+2-1-4×区 +6=3W2+2-1 2w2+6=22+5. (2)原式=(32)2一(5)2-(1-25+5)-18-3-6+ 2√5=9+25. 8)源式=65-》+5-3=2-+5-3=2. √6 15.解：(1)9+2/315+2w3 (2)S.+1-S.=6n一3+25.验证：5.+1-S.=(1十W3n) -[1+(m-1)3]=[2+(2m-1)w/3×3=3(2m-1)+ 2w/3=6m-3+2/3. (3)当a=1,6=3时，T=t,十2十t十…+tw=S:-5:+ S,-S:+S,-5+…+51-S0=S1-51=(1+ 503)2-1=7500+1003. 本章小结 1.C2.25 「93 3.解：0)原式=√55 (2)原式=0.2-2=-1.8 4.解：因为√a+8与162一91互为相反数， 所以√a+8+1b-9|=0, 所以a°十8=0，b2一9=0，