第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

3勾股定理的应用 要点提示 勾股定理及其逆定理的实际应用：勾股定理及其递定理在实际问题中应用广泛，应用时，常常需要把问题转化 到一个直角三角形中，构造直角兰角形来解决 O1因基础 02提能力 知识点利用勾股定理解决实际问题 4.如图，已知钓鱼竿AC的长 1.如图，若一根12m高的电线杆两侧各用15m 为10m,露在水面上的鱼线 的铁丝固定，则两个固定点A,B之间的距 BC的长为6m.某钓鱼者想 B 离是 ( 看看鱼钩上的情况，把鱼竿 A.13m B.9 m C.18m D.10m AC转动到AC的位置，此 第4题图 北 时露在水面上的鱼线BC'的长为8m,则 44。。4 a■ge年ege BB'的长为 () A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 9m 第1题图 第2览图 5.如下图，现从A地分别向C,D,B三地修了 2.如图，一座桥横跨一条河，桥长40m,一艘小 三条笔直的公路AC,AD和AB,且C地、D 船自桥北头出发，向正南方向驶去.因水流 地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公 原因到达南岸后，发现已偏离桥南头9m,则 路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的 小船实际行驶的路程为 m 公路DH与公路AB在H处连接，且公路 3.(2024一2025九江修水期中)图①所示的是 DH和公路AB互相垂直.已知AC=9km, 一款婴儿车，图②为其简化结构示意图.根 AB-15 km,BD=5 km. 据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB= (1)求公路BC的长度. CD=6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中 (2)若修公路DH每千米的费用是2000万 AB与BD之间由一个固定为90°的零件连 元，请求出修建公路DH的费用， 接（∠ABD=90),通过计算说明该婴儿车 是否符合安全标准。 因② 上册第一章 ☆问题解决策略：反思 要点提示 确定几何体上的最短路线：在平面上子找两点之间的最短路线的依据是线役的性质，即西点之周，残雅最短.在 盘体图形上，由于受物体与空间的程隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线校长，应将其晨开成平面图形， 再利用平而图形中线段的性质确定最短路线。 O1固基础● 心02提能力念… 知识点最短路径问题 4.(2024一2025吉安月考)如图所示的是放在 1.如图，一只蚂蚁从一个正方体纸 地面上的一个长方体盒子，其中AB=9,BC 盒的点A沿纸盒表面爬到点B, =6,BF=5.点M在棱AB上，且AM=3, 下列选项中，它所爬过的最短路 第1题 N是FG的中点.一只蚂蚁沿着长方体盒子 径（虚线）在侧面展开图中的位置是( 的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的 最短路程为 A.10 B.106 C.34 D.9 A B D 2.(2024一2025抚州临川区月考)下面的图② 是图①的侧面展开图.若一只小昆虫沿着圆 柱的侧面，从A点用最短的距离爬到B点， 第4题困 第5题因 则B点在图②中的位置是 (填 5.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的 序号) 雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最 2 短路线盘旋而上.如图，把树干看成圆柱体， 树干的底面周长是24cm.当一段葛藤绕树 图T 图② 千盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是 第2题图 cm. 3.某长方体如下图所示，三只蚂蚁同时从点A 6.如右图，教室的墙面 出发，同速沿长方体表面爬行去点M处觅 ADEF与地面ABCD垂 食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为A→ 直，点P在墙面上，若PA B-→M,A→C→M,A→D→M.若三只蚂蚁 =10dm,AB=9dm,点P到AD的距离是 都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只 6dm,有一只蚂蚁要从点P爬到点B,求它 妈蚁最先到达，哪只妈蚁最后到达 的最短行程 数学八年级B$版因为(2m)2+(m2-1)2=(m2+1), 所以a十b产=c°，即a,b,c为勾股数 示例：当m=2时，可得一组勾股数3,4,5。 8.D9.C 10.解：设AB=3xcm,则BC=4zcm,CA=5xcm. 因为AB十BC+CA=36cm, 所以3x十4x十5zx=36,解得x=3, 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 因为AB2十BC2=92十122=225，AC=225, 所以AB2+BC=AC, 所以△ABC为直角三角形 3s后，BP=AB-AP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6 1 (em),所以SasO=2BP·BQ= ×6X6=18(cm) 11.解：(1)是 (2)如图①，连接AE 因为∠ACB=∠DCE=90' 所以，∠ACE=∠BCD, 又因为AC■BC,CD=CE, 所以△BCD≌△ACE(SAS),所以BD =AE. 因为DC=CE,∠DCE=90°， 所以DE2=CD2+CE2=2CD2,∠CDE=45 因为∠ADC=45,所以，∠ADE=90°， 所以BD3=AE=AD2十DE2=AD+2CD2, 所以以线段AD,CD,BD的长为边长的三角形是“变异直 角三角形” (3)如图②，连接DB,过点C作CMI AB,交AB的延长线于点M. 因为∠DAB=90°，所以DB=AD AB2=25 所以DB=5,所以DB十BC=25+ 25=50=CD2, 所以∠DBC=90°，所以∠DBA十，∠CBAM=90 又因为∠DBA十∠BDA=90,所以∠BDA=∠CBM 又因为∠DAB=∠M=90°，DB=BC=5, 所以△BMC2△DAB(AAS),所以MB=AD=4,MC= AB=3, 所以AM=7,所以AC=MC十AM=9+49=58 因为E为线段AD上一点，所以AE<4,所以AE<16,所 以AC2>2AE2,AC2>2BC2. 因为以线段AE,AC,BC的长为边长的三角形是“变异直 角三角形”， 所以分两种情况讨论： ①当2AE+BC2■AC2时，AE■16.5>16，不符合题 意，舍去： ②当AE2+2BC2■AC时，AE1■8. 棕上所述，正方形AEFH的面积为&， 3勾股定理的应用 1.C2.41 3.解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm,AD=9dm. 由勾股定理，得BD=AD2-AB=92-6=45. 因为BC=3dm,CD=6dm, 所以BC2+CD2=32+62=45, 所以BC2+CD2=BD2, 所以∠BCD=90°，即BC⊥CD 所以该要儿车符合安全标准 178 数学八年级BS园 4.B 5.解：(1)由题意，得∠C=90,AC=9km,AB=15km, 所以由勾股定理，得BC2=4B2一AC2=152一9=12，所 以BC=12km. (2)因为DH⊥AB, 所以Sae-BD·AC-AB·DH, 所DH-BDAC-3km, AB 所以修建公路DH的费用为3×2000=6000（万元）. ☆问题解决策略：反思 1.B2.③ 3.解：蚂蚁甲爬行路程的平方为72十(5+3)2=113(cm), 蚂蚁乙爬行路程的平方为52+(7+3)2=125(cm3), 蚂蚁丙爬行路程的平方为(7十5)°十3一153(cm), 因为113<125<153， 所以蚂蚁甲最先到达，妈蚁丙最后到达， 4.A5.30 6.解：如图，将墙面ADEF展开与地面ABCD处E 于同一平面内，过点P作PG⊥BF于点G,连 接PB, 由题意，得AG=6dm,PA=10dm, 所以由勾股定理，得PG2=PA2一AG=64. 因为BG=AG十AB=15dm, 所以由勾股定理，得PB2=PG十BG=17, 所以PB=17dm. 放这只蚂蚁的最短行程是17dm, 本章小结 1.A 2.解：(10c2-2ab(0-a)2a2+b2=c2 (2)13 (3》根据题意，得图②左边的图形的体积为x'一x,右边的 图形的体积为x(x+1)(x一1)， 所以x一x=x(x十1)(x-1). 3.A4.C5.D 6.解：(1)着火点C受洒水影响，理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于 点D, 因为AC2+BC=6002+8002= 10002,AB2=10002, 所以AC2+BC=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90', 所以SA=AC·BC-CD·AB, 1 所以600×800=1000CD.所以CD=480m 因为飞机中心周围500m以内可以受到酒水影响， 所以着火点C受洒水影响 (2)如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C 因为CE=CF,CD⊥EF,所以DE=DF 在Rt△CDE中，ED2=EC2-CD=5002-4802=19600, 所以ED=140m,所以EF=280m, 280÷10=28(s). 因为28s>13s,所以若火点C能被扑灭. 7.解：(1)3 (2)在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 所以AB=AC2+BC=100,所以AB=10, 所以C△A=6十8十10=24.