专题3.1锐角的三角函数（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题3.1锐角的三角函数 教学目标 1.掌握正切、正弦、余弦的定义，并能根据它们的定义求一个锐角的正切、正弦和余弦的值。 2.理解坡度、破角的定义，并能利用它们解决相关问题。 3.能够由所给数据求出锐角三角函数值。 教学重难点 教学重点：锐角三角函数的定义。 教学难点：锐角三角函数定义的理解。 知识点01 正切的定义 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． 【即学即练】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 设，根据正切的定义得出，再根据勾股定理即可得出的值，进而可得出的值． 【详解】解：设， ， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去），即， ， 故选：C． 知识点02 坡度和坡角的定义 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即学即练】坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【知识点】正切的概念辨析 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 知识点03 正弦、余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 【即学即练】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【知识点】求一个角的余角、正弦的概念辨析、余弦的概念辨析 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 题型01 求锐角三角函数值 【例1-1】定义法（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查解直角三角形，余弦定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：B． 【例1-2】（设参数法）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，求正弦，由作图过程可知，垂直平分线段，可得，，由题意得，，，由勾股定理得，代入求出，再根据勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 【例1-3】构造法（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、求角的正切值 【分析】本题考查了平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等；过作交的延长线于，由平行四边形的性质得 ，，由平行线之间的距离处处相等得，由余弦函数得，由勾股定理得， 由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解； 平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理，并能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 【例1-4】等角转换法（2025·安徽阜阳·二模）如图，在正六边形和正六边形中，，记，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求角的正切值、根据菱形的性质与判定求线段长、正多边形的内角问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了求角的正切值，菱形的性质与判定，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定等等，连接，先根据正多边形内角和计算公式得到，再证明四边形是菱形，则，据此证明A、N、D三点共线， 同理可证明四边形是菱形，得到，，则可证明，可证明，则，解，得到，则，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵在正六边形和正六边形中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴A、N、D三点共线， 同理可证明四边形是菱形， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵在正六边形和正六边形中，， ∴这两个正六边形是全等的 ∴， ∵， ∴， 在中，， 中，， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的余弦值、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1-2】（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值，根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12， ∴每个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为，即边长为5所对的直角三角形的锐角． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 【答案】或 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，正弦三角函数；当时，由勾股定理及正弦三角函数定义即可求解，当时，同理可求；理解新定义，掌握勾股定理，正弦三角函数，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 故答案：或． 【变式1-4】如图，是正方形的边的中点，点与点关于对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解、求角的余弦值 【分析】延长交于，连接，设，，根据正方形的性质及轴对称的性质得，，，，由得，则，，然后在中，由勾股定理求出，则，由此可求出的值． 【详解】解：延长交于，连接，如图所示： 点是的中点， 设，， ， 四边形是正方形， ，， 点与点关于对称， ，，， ， 在△和中， ， ， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，理解正方形的性质，轴对称的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【变式1-5】如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接，，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】延长，取，连接，作的平分线，交于点G，根据正方形的性质得出，，，证明，得出，证明，得出，设，，则，，根据勾股定理得出，整理得，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：延长，取，连接，作的平分线，交于点G，如图所示： 、 ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，求一个角的余弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型02 锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合 【例2-1】锐角三角函数与网格的综合（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【例2-2】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知点，射线与x轴所夹的锐角为α，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查了解直角三角形．过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得，，则． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， ∵点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．过点C作于点D，根据等面积法算出，再根据勾股定理算出根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，中边上的高为3， 根据网格所在直角三角形可得 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正弦的定义、勾股定理，作轴于，，由勾股定理可得，再由正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，作轴于，， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为 ． 【答案】/0.8 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题、三线合一 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质．设小正方形的边长为a，则 ，，，过点B作于点D，根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而用勾股定理求出，过点C作于点E，利用的面积求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为a，则 ，，， 过点B作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点E， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型03 坡度的应用 【例3】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，解直角三角形得出，再由勾股定理可得，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴米， 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【答案】， 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，易得，根据坡度以及特殊角的三角函数值，解直角三角形进行求解即可。 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则四边形是矩形， 则， ∵斜坡的坡比， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：斜坡、的长分别是，． 【变式3-3】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）为了方便出行，某小区物业决定对电动车车库大门处的一段斜坡进行改造．如图1，原坡面示意图为矩形，的长为4米，斜坡的坡角为．现计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2），坡面的宽度不变．求改造后斜坡的横截面增加部分的面积． 【答案】平方米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米，（米，由，得到（米，于是得到米，再利用三角形面积公式即可，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则． ∵，米， ∴米，米． 在中，∵， ∴（米）， ∴米， ∴（平方米）． 答：改造后斜坡的横截面增加部分的面积为平方米． 题型04 利用锐角三角函数的概念进行相关证明 【例4】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 【变式4-1】如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求证同角三角函数关系式、利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用 【例5】已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的余弦值． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值． 【详解】∵a，b是方程x2-mx+2m-2=0的解， ∴a+b=m，ab=2m-2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2， 而a2+b2=（a+b）2-2ab，c=5， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25， 即：m2-2（2m-2）=25 解得，m1=7，m2=-3， ∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长． ∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去． ∴m=7， 当m=7时，原方程为x2-7x+12=0， 解得，x1=3，x2=4， 不妨设a=3，则cosA=， ∴Rt△ABC中较小锐角的余弦值为． 【点睛】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解． 题型06 锐角三角函数与其他函数的综合应用 【例6-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，需利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以先求出点和点的坐标，然后即可求得点的坐标，再根据勾股定理即可得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长． 【详解】解：一次函数， 当时，；当时，； 点的坐标为，点的坐标， 点是线段的中点， 点的坐标为， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【例6-2】如图，中，，顶点A、B分别在的反比例函数与的图象上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题关键是掌握反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的面积比等于相似比的平方．过点作轴，过点作轴，先证明，得到，再根据反比例函数的性质，得到，，进而得到，再根据特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， ， ， ， ， ， ， 顶点A、B分别在的反比例函数与的图象上， ，， ， （负值舍去）， ， 故答案为： 【例6-3】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求角的正切值、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数与几何图图形的综合，正切值的计算，掌握待定系数法，正切值的计算方法是关键． （1）根据题意得到，把，分别代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，设，由面积的计算得到，过点作于点，如图，则，，根据正切值的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 把，分别代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ， 设， ， ， 整理得， 解得舍去，， ， 过点作于点，如图，则，， 在中，， 即的值为． 【变式6-1】如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．先求出点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，作于，设交轴于点D，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：点在上， ， ， 把代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的解析式为：； 、两点关于原点成中心对称， ； 如图所示，作于，设交轴于点D， ，， ， 轴，轴， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，，顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使，若存在，求点的横坐标； (3)点为点上方轴上的一点，抛物线上有两点E、F（在的左边），直线均与抛物线有且仅有一个交点，连接与轴交于点，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】角度问题(二次函数综合)、求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与几何结合、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设抛物线解析式为，然后将代入求得a的值即可解答； （2）先求得，、，再分点P位于点B的上方和下方两种情况，分别过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则，通过证明、求得点N的坐标，然后求得直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可解答； （3）如图：过F作轴，设，运用待定系数法可得直线、直线．易得；由直线DE、DF均与抛物线有且仅有一个交点，则，即；进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴当，得，即， 当，得，解得：，即，， ∴，，， 如图：当点P位于点B的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 设的解析式为， ，解得：， 直线 联立抛物线解析式得，解得：（舍）； 如图：当点P位于点B的上方时，同理可得：； 综上，点的横坐标为或． （3）解：如图：过F作轴， 设， 设的解析式为， ，解得：， 直线， 同理可得：直线，直线． ∵直线， ∴， 直线DE、DF均与抛物线有且仅有一个交点 ，即 ∴，， ． 一、单选题 1．（2025·安徽亳州·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦等于直角三角形该角的对边与斜边的比成为解题的关键． 直接根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故选C． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中， 在中，， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高， ∴，则， ∴， 即坡面 的长度为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的高．若，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形与三角形的高，证明，由可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，是的高， ∴， ∵，， ∴，， ， ， ∴的面积为． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）小明沿坡比为的山坡向上走了15米，那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】12 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 设他沿着垂直方向升高了米，可得到水平宽度，再通过勾股定理计算即可． 【详解】解：设他沿着垂直方向升高了米， ∵斜坡的坡比， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则他沿着垂直方向升高了12米， 故答案为：12. 6．（2025·安徽黄山·三模）如图，为坐标原点，四边形是菱形，在轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与BC交于点，则的面积等于 ． 【答案】20 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．过点A作轴于点M，设，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形是菱形、点F在边上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：过点A作轴于点M，如图所示． 设， 在中，， ∴，， ∴点A的坐标为． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，或（舍去）． ∴，，． ∵四边形是菱形，点F在边上， ∴． 故答案为：20． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，折叠正方形纸片，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕，然后还原．已知． （1）的值为 ． （2）连接交于P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正切值，一次函数与几何综合，坐标系中两点距离计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则．进而得到．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则，求出直线解析式，进而求出点P的坐标即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则． ∴． 在直角中，由勾股定理得， 解得， ， ， 故答案为：． （2）如图所示，以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得，则， 设直线解析式为，则，解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形性质得，，根据折叠的性质得，再根据全等的性质得，再由垂直平分线的性质得，进而可推出，，最后由特殊三角函数值可得答案； （2）根据矩形性质及折叠性质得点E，O，F在同一条直线上，得，证明得，证明四边形为菱形得，设，则，，，，，，由平行得，，进而得，，再代入解方程即可得的值． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点是对角线的中点， ∴，， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， 由（1）知，设，则， ∴在中，， ∴， ∴， 设，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：， 即：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 10.如图，点在反比例函数的图象上，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若过A、B的直线与x轴交于点C，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到反比例函数解析式； （2）设过A，B的直线解析式为，利用待定系数法求出一次函数解析式，然后令求出点C的坐标，从而得到的长，利用勾股定理列式求出，然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 因此反比例函数的解析式为：； （2）设过A，B的直线解析式为， 则 ， 解得 ， 故直线的解析式为， 当时，， 解得， 即， 于是， 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和求余弦，正确利用待定系数法求反比例函数解析式是本题解题关键． 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点与点O均为格点． (1)以点O为位似中心作，使得与位似，且相似比为1：2； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的； (3)设与相交所成的锐角为，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图-位似变换、旋转变换、余弦的定义等知识点，掌握位似变换、旋转变换的性质是解题的关键． （1）利用位似变换的性质，分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：取格点D，连接，再运用勾股定理、勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后运用正弦的定义即可解答． ． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：取格点D，连接， 由勾股定理可得：， ∴，即是直角三角形， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，则，，进而可证； （2）由，可求，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴，解得， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦是解题的关键． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式； （2）如图，过点作于点，先求出点，的坐标，从而求得，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点， ， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：如图，过点作于点， 在抛物线中，令，则， 解得，， ，， 又， ，，， 设直线为：， 过和， ， 解得， 直线为：， 令，则，解得， ， ，， ，即 ， ； 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、勾股定理，求一个角的正弦，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理； （1）证明，，可证； （2）①根据，设，则，证明得出，由（1）可知，得出，即可得证； ②作，则，证明，根据平行线分线段成比例定理得出，进而得出，结合，即可求解． 【详解】（1）证明∵ ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， 设，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ 由（1）可知， ∴， ∴，即 ∴ 即 ②如图，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1锐角的三角函数 教学目标 1.掌握正切、正弦、余弦的定义，并能根据它们的定义求一个锐角的正切、正弦和余弦的值。 2.理解坡度、破角的定义，并能利用它们解决相关问题。 3.能够由所给数据求出锐角三角函数值。 教学重难点 教学重点：锐角三角函数的定义。 教学难点：锐角三角函数定义的理解。 知识点01 正切的定义 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． 【即学即练】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 知识点02 坡度和坡角的定义 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【即学即练】坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 知识点03 正弦、余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 【即学即练】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 题型01 求锐角三角函数值 【例1-1】定义法（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（设参数法）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 【例1-3】构造法（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 【例1-4】等角转换法（2025·安徽阜阳·二模）如图，在正六边形和正六边形中，，记，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 【变式1-4】如图，是正方形的边的中点，点与点关于对称，则的值为 ． 【变式1-5】如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接，，若，则的值为 ． 题型02 锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合 【例2-1】锐角三角函数与网格的综合（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 【例2-2】锐角三角函数与平面直角坐标系的综合（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知点，射线与x轴所夹的锐角为α，则的值是 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点上，那么的值为 ． 题型03 坡度的应用 【例3】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【变式3-3】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）为了方便出行，某小区物业决定对电动车车库大门处的一段斜坡进行改造．如图1，原坡面示意图为矩形，的长为4米，斜坡的坡角为．现计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2），坡面的宽度不变．求改造后斜坡的横截面增加部分的面积． 题型04 利用锐角三角函数的概念进行相关证明 【例4】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【变式4-1】如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【变式4-2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型05 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用 【例5】已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的余弦值． 题型06 锐角三角函数与其他函数的综合应用 【例6-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ． 【例6-2】如图，中，，顶点A、B分别在的反比例函数与的图象上，则的值为 ． 【例6-3】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 【变式6-1】如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ． 【变式6-2】如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，，顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使，若存在，求点的横坐标； (3)点为点上方轴上的一点，抛物线上有两点E、F（在的左边），直线均与抛物线有且仅有一个交点，连接与轴交于点，求的值． 一、单选题 1．（2025·安徽亳州·一模）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的高．若，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）小明沿坡比为的山坡向上走了15米，那么他沿着垂直方向升高了 米． 6．（2025·安徽黄山·三模）如图，为坐标原点，四边形是菱形，在轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与BC交于点，则的面积等于 ． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，折叠正方形纸片，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕，然后还原．已知． （1）的值为 ． （2）连接交于P，若，则的长为 ． 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 10.如图，点在反比例函数的图象上，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若过A、B的直线与x轴交于点C，求的值． 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点与点O均为格点． (1)以点O为位似中心作，使得与位似，且相似比为1：2； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的； (3)设与相交所成的锐角为，则______． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$