13.1.1 直角三角形三边的关系-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（华师大版2024）

数 学 八年级上册 HS 第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1.直角三角形三边的关系 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 基础 知识点1 勾股定理 1.［2024河南新乡卫滨区校级期末］如图，在 中， ，，，以边 为直径作一个半圆，则半圆 （阴影部分）的面积为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，， ， ， 阴影部分的面积为 ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2.［2025安徽合肥期末］如图所示，在数轴上，点，所表示的数分别是 ， 1，垂直于数轴，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点 （在点左侧），若点所表示的数为，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得，， 由勾股定理得 ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3.已知的两直角边长分别是，，则 的斜边上的高是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】设斜边上的高为的两直角边长分别是 ， ， 斜边长为.， ，即 的斜边上的高是 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 4.［2025四川宜宾期中］直角三角形两条直角边长之和为，面积为 ，则斜边 长为_____. 2.5 【解析】设一条直角边长为，另一条直角边长为，斜边长为 .由题意可得 ，, ， ， ，故 答案为2.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5.［2024山东威海文登区期中］如图，在中， ，是 的 角平分线，于点，，，则 的长是__． 【解析】在中， ，， ，则 是的角平分线， ， ， ， ，解得，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 先根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质得到 ，最后根据三 角形的面积公式计算即可得到答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2 勾股定理的简单应用 6.［2025河南驻马店泌阳期末］周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，如图， 为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为1.65米;②风筝与小明的水平距离 的 长为12米；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）求风筝的垂直高度 ； 【解】由题意可知米，米，， 米.在 中，由勾股定理得，， 米（负值已舍去）， （米）.答：风筝的垂 直高度 为17.65米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）要使风筝沿 方向下降7米，则小明应该往回收风筝线多少米？ 【解】如图，风筝沿方向下降7米至处，保持不变，连结 ，此 时（米）.在中， 米， （米）， 小明应该往回收风筝 线 （米）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点3 勾股定理的验证 7.［2024山东淄博临淄区期中］若，为直角三角形的两直角边， 为斜边，则下 列选项中不能用来证明勾股定理的是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 【解析】选项A不能用来证明勾股定理，故符合题意；选项B，大正方形的面积为 ，能证明勾股定理，不 符合题意；选项C，大正方形的面积为 ，化简得 ，能证明勾股定理，不符合题意；选项D，梯形的面积为 ，化简得 ，能证明勾股定理，不符 合题意.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 刷易错 易错点 没有明确已知边是哪条边而忽略分类讨论致错 8.若直角三角形的两边长分别为，，且满足 ，则该直角三 角形的第三边长的平方为_______. 25或7 【解析】，，，， .当 为直角边长时，第三边长的平方为；当 为斜边长时，第三 边长的平方为 .故答案为25或7． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 易错警示 已知直角三角形的两边长求第三边长的平方时，如果题中没有说明这两条边长是 直角边长还是斜边长，则要分两种情况讨论，要避免由于忽略分类讨论而漏掉解 的情况. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 提升 1.［2025四川攀枝花期中，中］如图，在中， 平分 ，平分，且交于，若 ，则 的值为( ) D A.6 B.9 C.18 D.36 【解析】平分，平分，， ， .又， ， ，，， 由勾股定理可知 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2.［2025山东枣庄期中，中］有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在 它的左右“肩”上生出两个小正方形，此时这三个正方形的边围成的三角形是直 角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图（1）所示的图形.如果照此 规律继续“生长”下去，它将变成如图（2）所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你 算出“生长”了2 025次后形成的图形中所有正方形的面积和是( ) C A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图，由题意得，正方形A的面积为1，A，B，C三个正方 形的边围成的三角形是直角三角形， 由勾股定理得，正方形B的 面积正方形C的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有 的正方形的面积和为 .同理可得，“生长”了2次后形成的 关键点拨 根据勾股定理分别求出“生长”了1，2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， 从而推出“生长”了 次后的规律，再进一步求解即可. 图形中所有的正方形的面积和为，可推得“生长”了 次后形成的图形中 所有的正方形的面积和为， “生长”了2 025次后形成的图形中所有的正 方形的面积和为 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3. 传统文化［2025河南信阳期中，中］我国汉代数学家赵 爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦 图”.弦图由四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形 ，然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为 的小 正方形.已知为 较长的直角边，若 ，则正方形 的面积为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图，设,，则 ， ， 正方形的面积为.由题意易得 ， ，即 小正方形的面积为，， 正方形 的面积为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.［2025江苏盐城期中，中］如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直 高度，将它往前推出（即水平距离 ）时，秋千踏板离 地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为_____ . 2.5 【解析】设秋千的绳索长为 ，则 .在 中，，，解得，即绳索 的长 度是 .故答案为2.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5.［2025山东青岛市北区期中，中］如图，在由若干个边长为1的 小正方形组成的网格中，的顶点，， 均在小正方形的顶 点上，于点，则 的长为___. 【解析】如图，， 的面积为 .由勾股定理得 , ，解得，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.［较难］如图，，，， ，则 阴影部分的面积为____. 36 【解析】如图，过点作于.在 中，由勾股定理得 ，，是 的中 线，.在 中，由勾股定理得 ， ， .故答案为36． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 过点作于，由勾股定理求出 的长，再根据等腰三角形“三线合一” 求出的长，再由勾股定理求出的长，最后根据 即可 求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7.［较难］如图，已知中， ， ， ，，是边上的两个动点，点从点开始沿 方向运动，且速度为，点从点开始沿 方向运动， 且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 . （1）当时，求 的长. 【解】当时，，，． 在中，，即 的长为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）求运动几秒时， 是等腰三角形？ 【解】如图（1），当时，是等腰三角形，此时 ， 则．在中，由,得 ， 解得．故运动时， 是等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）当点在边上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【解】当点在边上运动时， . ①如图（2），当 时， ， ， ②如图（3），当时，，解得 . ，.在 中， ， ， ，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ③当时，如图（4），过点作，垂足为 ，则 ，，解得 ， ， ， ，解得 ． 综上所述，当运动时间为或或时， 是等腰三角形． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1） （2） （3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 $$