11.3.2 两数和（差）的平方-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（华师大版2024）

该初中数学课件聚焦八年级上册“11.3 乘法公式”中的完全平方公式，通过基础计算、变式应用、易错辨析等模块搭建学习支架，衔接整式乘除前后知识，帮助学生逐步掌握公式的推导与应用。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，如通过阴影面积验证公式、杨辉三角拓展公式规律，结合“刷素养”中的填数游戏培养抽象能力。实例丰富且分层设计，能提升学生公式迁移能力，也为教师提供分层教学与素养培养的实用素材。

数 学 八年级上册 HS 1 2 第11章 整式的乘除 3 11.3 乘法公式 2.两数和（差）的平方 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 两数和（差）的平方（完全平方公式） 1.［2024河北邢台期末］下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项， ，原计算错误，故此选项不符合题意； B选项， ，原计算错误，故此选项不符合题意；C 选项， ，原计算错误，故此选项不符合题意；D选项， 原计算正确，故此选项符合题意．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2.［2024四川达州通川区期末］已知，，那么 的值为 ( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】，， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 3.计算： （1） . 【解】原式 . （2） . 【解】原式 . （3） . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （4） . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 完全平方公式的应用 4.［2024北京大兴区期末］已知，，则 ( ) C A.1 B.7 C.13 D.25 【解析】，， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.［2025安徽芜湖期末］如图所示，将四个大小相同的小正方形按 如图所示的方式放入一个边长为 的大正方形中，根据图中阴影部 分的面积，可以验证的等式为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题图可得四个阴影小正方形可以拼成一个边长为 的正方形，因此 阴影部分的面积可以表示为 .阴影部分的面积还等于大正方形的面积减去 空白部分的面积，即 ，因此可以验证的等式为 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 6.［2025广东汕头潮南区期末］若，，则 的值 是( ) C A.4 B. C. D. 【解析】，， .又 ，，,中有一个为0.不妨设，则 ， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7.［2024上海徐汇区期中］已知，则 ____. 21 【解析】，当时，等式不成立， ， ，， .故 答案为21. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 8.［2024河北邢台期末］已知，，求 的值．悦悦的解法 如下： 解：因为， ，所以 ． 请你根据上述解题思路解答下面问题： （1）已知，，求 的值； 【解】，, . （2）已知，求 的值． 【解】 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 刷易错 易错点 应用完全平方公式时出现符号错误 9.计算 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】原式 ，故选B. 易错警示 先化简括号内的式子再计算，注意提取负号时要变号. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 提升 1.［2025四川巴中期中，中］若， ，则 的值为( ) A A.0 B.2 C.3 D.4 【解析】，即，解得 ， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 思路分析 根据完全平方公式可知，，据此可得 的值，进而根据 整体代入求值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 2.［2024江苏南通海安期末，中］如图，两个大正方形 的边长为，两个小正方形的边长为 ，如果 ， ，那么阴影部分的面积是( ) A A.30 B.34 C.40 D.44 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】如图，， ， ， .阴影部分的面积为 ．故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3.［2025浙江金华期末，较难］已知， ，则 的值等于( ) D A.10 B. C.0 D.10或 【解析】, , ,,或 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 4.［中］计算： ________. 【解析】原式，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 5.［中］设，，.若 ，则 ____. 27 【解析】，，， ， ，， ．故答案为27． 关键点拨 找到，与的关系，代入，消去,，得到关于 的方程，再利用完 全平方公式去括号即可求出 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 6. 传统文化［中］我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在 《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了（ 为非负整数） 的展开式的项数及各项系数的有关规律. （1） 的展开式共有________项，系数和为____. 【解】由杨辉三角的系数规律可得的展开式共有项，系数和为 . 故答案为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （2）根据上面的规律，则 的展开式为_____________________________. 【解析】由杨辉三角的系数规律可得 . 故答案为 . （3）利用上面的规律计算： . 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 7. ［2025浙江杭州期中，较难］如图（1），正方形A、B、C的边长分别为 ，， . （1）用两个正方形A组合成图（2）的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这 个大正方形的面积为_____________________________________________________ ___________________________.（用含 的代数式表示） 【解】由题意得大正方形的边长为，则面积为 ，故答案为. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （2）将一个正方形A和一个正方形B组合成图（3）的图形，外边框可以围成一个 大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为_________或__________ _____，从而可以得到一个乘法公式为_________________________. 【解析】方法一：这个大正方形的边长为 ，则这个大正方形的面积为 ； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面 积之和，所以这个大正方形的面积为 ,从而可以得到一个乘法公式 为.故答案为， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 （3）将正方形A、B、C各一个组合成图（4）的图形，外边框可以围成一个大正方 形，类比（2）的思路进行思考，请写出得到的等式. 【解】方法一：这个大正方形的边长为 ，则这个大正方形的面积为 ； 方法二：因为这个大正方形的面积等于三个小正方形的面积与六个小长方形的面 积之和，所以这个大正方形的面积为 ,则得到的 等式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 刷素养 走向重高 8.核心素养 几何直观［较难］ （1）从图（1）~（3）中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到 关于， 的等量关系是___________________________________________________ ___________________________. （或 或） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解】题图（1） ； 题图（2） ； 题图（3） . 故答案为（或 或 ）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （2）尝试解决： ①已知：，，则 ____； 【解析】， ， ，，故答案为 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 ②已知：，，求 的值； 【解】，， ， . ③已知：，求 的值. 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （3）填数游戏：如图（4），把数字 填入构成三角形形状的 9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边上四 个数字的平方和分别记作，，，已知 .如果 将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数 字分别表示为，，，求 的值. 【解】数字的和为 各边上的四个数 字的和都等于21，，，即. 每边上四个数字的平方和分别记作，，，且 ， ， ， ， ，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 思路分析 先求数字的和，得出 ,再求出 ，进而得到 ，最后 根据 得出结果． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 微专题1 完全平方公式的变形 1.［2025湖南衡阳期中，中］已知，，求与 的值. 【解】， ， ，得，即.,得 ，即 . 返回目录 1 2 3 1 2 3 34 2.［2025广东河源校级期中，中］已知，，求 及 的值. 【解】，， . . 返回目录 1 2 3 1 2 3 35 3.［2025江西吉安质检，中］两个不相等的实数，满足 ， . （1）求 的值； 【解】， ， ， . （2）求 的值. 【解】由（1）得， ， ，或 . 返回目录 1 2 3 1 2 3 36 微专题2 形如 式子的变形 1.［2025四川成都期末，中］已知，则 的值为____. 27 【解析】将两边平方得 ， ，，故 的值为27. 关键点拨 与互为倒数，乘积为1，所以完全平方公式中“ ”这一项就等于2. 返回目录 1 2 1 2 37 2.［2025浙江宁波调研，中］已知，则 ___. 2 【解析】，两边平方得，即 ，再将其两边进 行平方得，即 .故答案为2. 返回目录 1 2 1 2 38 $$