17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 2024—2025学年沪科版数学八年级下册

沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A.8 B.10 C.12 D.8或10 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 3.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 4.方程的根是      ． 5.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 6.解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 7.解方程：x2﹣8x+12＝0． 二、利用公式法解简单的一元二次方程 1.用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A. B. C. D. 2.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 3.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么a＝　　． 5.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 6.解方程：﹣3x2+4x+1＝0． 7.用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 三、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 2.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 6.解方程：． 7.解方程：． 四、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x的根是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝﹣2，x2＝3 2.方程x（x+5）＝x的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝﹣5，x2＝0 C.x1＝﹣4，x2＝0 D.x1＝﹣6，x2＝0 3.一元二次方程x2＝x的根是（　　） A.x1＝0，x2＝1 B.x1＝0，x2＝﹣1 C.x1＝x2＝0 D.x1＝x2＝1 4.方程（x﹣3）2＝3﹣x的根是 　　． 5.定义新运算Ⓡ：对于任意实数a、b都有：aⓇb＝a2+ab，如果3Ⓡ4＝32+3×4＝9+12＝21，那么方程xⓇ2＝0的解为 　　． 6.解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0． 7.用适当方法解方程． (1)； (2)． 五、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 2.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 3.方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝x2＝﹣2 C.x1＝x2＝2 D.x1＝2，x2＝0 4.方程x2＝2的根是　　． 5.方程2x2﹣4＝0的解是 　　． 6.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 7.解关于x的方程：3x2﹣b＝0（b＞0）． 六、利用配方解决最值问题 1.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 2.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 3.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 4.若x、y均为实数，则代数式x2+y2+4x﹣6y+14的最小值是 　　． 5.已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 　　． 6.阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ；  (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 7.综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”； ①； ②． (2)已知关于x的一元二次方程 (是常数)是“邻根方程”，求的值． (3)若关于x的一元二次方程 (a、b是常数，且)是“邻根方程”，令，求的最大值． 七、换元法解一元二次方程 1.若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A.4 B.5 C.±4 D.±5 2.若（a2﹣3）（a2+1）＝0，则代数式a2的值为（　　） A.﹣1或3 B.1或﹣3 C.﹣1 D.3 3.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 4.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 5.若（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8＝0，则x2+y2的值是 　　． 6.[例]解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 7.读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，求3a2+3b2﹣1的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 八、利用配方构成非负数求值 1.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 2.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0，则（ab）c的值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 4.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 5.已知a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求（a+b）2＝　　． 6.先阅读下面的内容，再解决问题． 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 因为m2+2m+n2﹣6n+10＝0，所以m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0， 所以（m+1）2+（n﹣3）2＝0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 解决问题：若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值． 7.数学教科书中这样写道： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式x2+2x﹣3的最小值． x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4， 可知，当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当x＝6时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由； （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值，并求出这个最小值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣4c+20＝0，求a+b+c的值． 九、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.方程（x+1）2＝4的解为（　　） A.x1＝1，x2＝﹣3 B.x1＝﹣1，x2＝3 C.x1＝2，x2＝﹣2 D.x1＝1，x2＝﹣1 2.若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A.m＞1 B.m＞﹣1 C.m≥1 D.m≥﹣1 3.现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为（　　） A. B. C. D. 4.方程（x﹣1）2＝1的根为 　　． 5.一元二次方程4（x﹣2）2﹣16＝0的根是 　　． 6.解方程：（x+1）2＝49 7.解方程4（x﹣1）2＝9 沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、用因式分解法解x²＋px＋q=0型的一元二次方程 1.若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（　　） A.8 B.10 C.12 D.8或10 【答案】B 【解析】由x2﹣6x+8＝0得， （x﹣2）（x﹣4）＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 因为此方程的两个实数根是等腰三角形的两边上， 则当2为腰时，2+2＝4，此情况舍去． 当4为腰时，4+2＞4，符合要求， 所以△ABC的周长为4+4+2＝10． 故选：B． 2.已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A.10 B.11 C.10或11 D.以上都不对 【答案】B 【解析】方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 3.下列各数中，是方程x2﹣3x﹣4＝0的根的是（　　） A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣4 【答案】C 【解析】x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 4.方程的根是      ． 【答案】， 【解析】解：分解因式得：， 即， 解得：，． 5.方程x2﹣17x＝﹣72的解为 　　． 【答案】x1＝8，x2＝9． 【解析】x2﹣17x＝﹣72， x2﹣17x+72＝0 （x﹣8）（x﹣9）＝0， ∴x﹣8＝0或x﹣9＝0， 解得：x1＝8，x2＝9． 故答案为：x1＝8，x2＝9． 6.解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 【答案】解：（x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣2． 7.解方程：x2﹣8x+12＝0． 【答案】解：x2﹣8x+12＝0， ∴（x﹣2）（x﹣6）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣6＝0 ∴x1＝2，x2＝6． 二、利用公式法解简单的一元二次方程 1.用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】2x2+5x﹣1＝0 ∴a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0， ∴； 故选：A． 2.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A.1 B. C.﹣1 D. 【答案】D 【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x， 所以x1，x2． 故选：D． 3.当用公式法解方程时，的值为（   ） A.2 B. C.17 D. 【答案】C 【解析】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么a＝　　． 【答案】1 【解析】由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝3， 故答案为：1 5.下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　　步开始出错． 【答案】一． 【解析】原方程化为：x2﹣5x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝4． 故答案为：一． 6.解方程：﹣3x2+4x+1＝0． 【答案】解：方程化为3x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 7.用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 【答案】解：a=2，b=﹣3，c=﹣1， ∴△＝（﹣3）2-4×2×（﹣1）＝9+8＝17>0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 三、用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】∵x2﹣4x﹣8＝0， ∴x2﹣4x＝8， ∴x2﹣4x+4＝12， ∴（x﹣2）2＝12， ∴，x﹣2＝±2 解得：x＝±22， 故选：A． 2.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（　　） A.② B.③ C.④ D.⑤ 【答案】A 【解析】x2﹣4x＝1， 方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1， 所以第②步出现错误． 故选：A． 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】由题意知，甲中x2+8x+16＝9+16， 丙中x+4＝±3， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 4.若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 　　． 【答案】x1＝2025，x2＝﹣2023． 【解析】x2﹣2x﹣4096575＝0， 则x2﹣2x＝4096575， ∴x2﹣2x+1＝4096575+1， ∴（x﹣1）2＝4096576， ∴x﹣1＝±2024， ∴x1＝2025，x2＝﹣2023， 故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023． 5.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0． 解：第一步：x2x0 第二步：x2x 第三步：x2x+（）2（）2 第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　　． 【答案】④①③②． 【解析】3x2+2x﹣1＝0， 把二次项系数化1得：x2x0， 移项得：x2x， 配方得：x2x+（）2（）2，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2＝﹣1， 故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②， 故答案为：④①③②． 6.解方程：． 【答案】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 7.解方程：． 【答案】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 四、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 1.方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x的根是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝﹣2，x2＝3 【答案】C 【解析】2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝3﹣x， 2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）+x﹣3＝0， （x﹣3）（2x﹣5+1）＝0， x﹣3＝0或2x﹣5+1＝0， 所以x1＝3，x2＝2． 故选：C． 2.方程x（x+5）＝x的根是（　　） A.x＝﹣5 B.x1＝﹣5，x2＝0 C.x1＝﹣4，x2＝0 D.x1＝﹣6，x2＝0 【答案】C 【解析】x（x+5）＝x， x（x+5）﹣x＝0， x（x+5﹣1）＝0， ∴x＝0，x+5﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝0． 故选：C． 3.一元二次方程x2＝x的根是（　　） A.x1＝0，x2＝1 B.x1＝0，x2＝﹣1 C.x1＝x2＝0 D.x1＝x2＝1 【答案】A 【解析】x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0，x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故选：A． 4.方程（x﹣3）2＝3﹣x的根是 　　． 【答案】x1＝3，x2＝2． 【解析】（x﹣3）2＝3﹣x， （x﹣3）2+x﹣3＝0， （x﹣3）（x﹣3+1）＝0， x﹣3＝0或x﹣3+1＝0， 解得：x1＝3，x2＝2． 故答案为：x1＝3，x2＝2． 5.定义新运算Ⓡ：对于任意实数a、b都有：aⓇb＝a2+ab，如果3Ⓡ4＝32+3×4＝9+12＝21，那么方程xⓇ2＝0的解为 　　． 【答案】x1＝0，x2＝﹣2． 【解析】方程x®2＝0化为 x2+2x＝0， 则x（x+2）＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣2． 故答案为x1＝0，x2＝﹣2． 6.解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【答案】解：∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 7.用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 五、形如为x²=p(p≥0)型方程的解法 1.方程x2+16＝0的根是（　　） A.x＝﹣4 B.x1＝4，x2＝﹣4 C.x1＝x2＝4 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵x2+16＝0， ∴x2＝﹣16， 由偶次方的非负性可知，原方程无实数根， 故选：D． 2.方程x2﹣6＝0的解是（　　） A. B.， C.x1＝x2＝6 D.x1＝6，x2＝﹣6 【答案】B 【解析】x2﹣6＝0， x2＝6， 解得：x1，x2． 故选：B． 3.方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝x2＝﹣2 C.x1＝x2＝2 D.x1＝2，x2＝0 【答案】A 【解析】x2﹣4＝0， x2＝4， ∴x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2． 故选：A． 4.方程x2＝2的根是　　． 【答案】± 【解析】x2＝2 解得：x＝±． 故答案为：±． 5.方程2x2﹣4＝0的解是 　　． 【答案】x1，x2． 【解析】∵2x2﹣4＝0， ∴2x2＝4， 则x2＝2， ∴x1，x2， 故答案为：x1，x2． 6.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 【答案】解：（1）∵x2﹣1＝80， ∴x2＝81， ∴x＝±9， 即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵9x2+12＝16， ∴x2， ∵x＝±， 即x1，x2． 7.解关于x的方程：3x2﹣b＝0（b＞0）． 【答案】解：∵3x2﹣b＝0（b＞0）， ∴3x2＝b， 则x2， ∴x1，x2． 六、利用配方解决最值问题 1.若p＝x2+y2+2x﹣4y+2028，p的最小值是（　　） A.2028 B.2023 C.2022 D.2020 【答案】B 【解析】由题意得，p＝x2+y2+2x﹣4y+2028 ＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2023 ＝（x+1）2+（y﹣2）2+2023． 又对于任意的x，y都有（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x+1）2+（y﹣2）2+2023≥2023． ∴p≥2023． ∴p的最小值是2023． 故选：B． 2.对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 3.已知实数x，y满足4x2﹣x+4xy+y2＝1，设M＝x+y，则M的最大值是（　　） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵4x2﹣x+4xy+y2＝1， ∴（2x+y）2＝x+1， ∴2x+y＝±， ∴x+y＝±x， 设a，则x＝a2﹣1， 则x+y＝±a﹣（a2﹣1）＝﹣（a±）2， ∴x+y的最大值为， 即M的最大值为， 故选：B． 4.若x、y均为实数，则代数式x2+y2+4x﹣6y+14的最小值是 　　． 【答案】1． 【解析】x2+y2+4x﹣6y+14 ＝（x2+4x+4）﹣4+（y2﹣6y+9）﹣9+14 ＝（x+2）2﹣4+（y﹣3）2﹣9+14 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+1 当x＝﹣2，y＝3时，方程有最小值1． 故答案为：1． 5.已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 　　． 【答案】-16 【解析】∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16， ∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16． 故答案为：﹣16． 6.阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ；  (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 7.综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”； ①； ②． (2)已知关于x的一元二次方程 (是常数)是“邻根方程”，求的值． (3)若关于x的一元二次方程 (a、b是常数，且)是“邻根方程”，令，求的最大值． 【答案】（1）解：①解方程得：， ∴， ∵， ∴不是“邻根方程”； ②， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴是“邻根方程”； （2）解方程得：， ∴， ∵方程 (是常数)是“邻根方程”， ∴或， ∴或； （3）解方程得： ， ， ∵关于的方程 是常数，是“邻根方程”， ∴ ， ∴ ， 等号两边平方得：， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 七、换元法解一元二次方程 1.若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A.4 B.5 C.±4 D.±5 【答案】A 【解析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 （y+1）（y﹣1）＝15， ∴y2＝16， 解得：y1＝4，y2＝﹣4， 即 a2+b2＝4或 a2+b2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴a2+b2＝4． 故选：A． 2.若（a2﹣3）（a2+1）＝0，则代数式a2的值为（　　） A.﹣1或3 B.1或﹣3 C.﹣1 D.3 【答案】D 【解析】设a2＝x，可知x≥0， 原方程可化为：（x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x＝3或x＝﹣1， ∵x≥0， ∴x＝3 ∴a2＝3， 故选：D． 3.已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x的值为（　　） A.3 B.﹣3或1 C.1 D.﹣1或3 【答案】C 【解析】由y＝x2+3x， 则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0， 分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0， 解得，y1＝﹣3，y2＝1， 当x2+3x＝﹣3时，经Δ＝32﹣3×4＝﹣3＜0检验，可知x不是实数 当x2+3x＝1时，经检验，符合题意． 故选：C． 4.已知（x+y）2﹣2（x+y）﹣3＝0，则x+y＝　　． 【答案】3或﹣1． 【解析】设t＝x+y，则原方程转化为t2﹣2t﹣3＝0， 整理，得（t﹣3）（t+1）＝0． 解得t1＝3，t2＝﹣1． 所以x+y＝3或x+y＝﹣1． 故答案为：3或﹣1． 5.若（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8＝0，则x2+y2的值是 　　． 【答案】2 【解析】令x2+y2＝x， 则原方程可变形为：x（x+2）﹣8＝0， 整理得到：x2+2x﹣8＝0， 解得：x＝2或x＝﹣4， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝2， 故答案为：2． 6.[例]解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0． 【答案】解：设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0， ∴（y﹣2）（y+1）＝0， ∴y﹣2＝0或y+1＝0， 解得y1＝2，y2＝﹣1， 当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5； 当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2． ∴原方程的解为x1＝3.5，x2＝2． 7.读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，求3a2+3b2﹣1的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【答案】解：（1）设a2+b2＝m，则原方程变为m（2m﹣1）＝3， 整理得2m2﹣m＝3， 解得或m＝﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴， ∴， 故答案为：， （2）设最小正整数为x，由题意得x（x+1）（x+2）（x+3）＝24， 整理得（x2+3x）（x2+3x+2）＝24， 设x2+3x＝y，则方程化为y2+2y﹣24＝0， 解得y1＝﹣6，y2＝4， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝4， 解得x1＝1，x2＝﹣4＜0（舍去）， 故这四个连续正整数为1，2，3，4． 八、利用配方构成非负数求值 1.不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　） A.总不小于1 B.总不小于11 C.可为任何实数 D.可能为负数 【答案】A 【解析】解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1， 又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0， ∴x2+4y2+6x-4y+11≥1， 故选A． 2.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0． ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1． ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 3.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0，则（ab）c的值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】D 【解析】∵a2+b2+c2﹣6a+2b﹣4c+14＝0， ∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣2）2＝0， 解得a＝3，b＝﹣1，c＝2， ∴（ab）c＝（﹣3）2＝9， 故选：D． 4.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则△ABC的周长为 　　． 【答案】12． 【解析】原式＝（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴a+b+c＝3+4+5＝12， 故答案为：12． 5.已知a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求（a+b）2＝　　． 【答案】1． 【解析】∵a2+b2+2 a﹣4 b+5＝0， ∴（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， ∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴（a+b）2＝（﹣1+2）2＝1， 故答案为：1． 6.先阅读下面的内容，再解决问题． 若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值． 因为m2+2m+n2﹣6n+10＝0，所以m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0， 所以（m+1）2+（n﹣3）2＝0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 解决问题：若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值． 【答案】解：∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0 ∴x＝﹣2，y＝﹣2， ∴xy． 7.数学教科书中这样写道： “我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式x2+2x﹣3的最小值． x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4， 可知，当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当x＝6时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由； （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值，并求出这个最小值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣4c+20＝0，求a+b+c的值． 【答案】解：（1）2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4．理由如下： 2x2+2x﹣3﹣（x2+3x﹣4）， ＝2x2+2x﹣3﹣x2﹣3x+4， ＝x2﹣x+1， ＝（x）2， ∴2x2+2x﹣3＞x2+3x﹣4； （2）a2+b2﹣4a+10b+33 ＝a2﹣4a+4+b2+10b+25+4 ＝（a﹣2）2+（b+5）2+4， ∵（a﹣2）2≥0，（b+5）2≥0， ∴（a﹣2）2+（b+5）2+4≥4， ∴当a＝2，b＝﹣5时，多项式a2+b2﹣4a+10b+33有最小值为4； （3）∵a﹣b＝8， ∴a＝8+b ∵ab+c2﹣4c+20＝0， ∴b（8+b）+（c﹣2）2+16＝0， ∴b2+8b+16+（c﹣2）2＝0， ∴（b+4）2+（c﹣2）2＝0， ∵（b+4）2≥0，（c﹣2）2≥0， ∴（b+4）2＝0，（c﹣2）2＝0， ∴b＝﹣4，c＝2， ∴a＝4， ∴a+b+c＝2． 九、形如(mx＋n)²=p型方程的解法 1.方程（x+1）2＝4的解为（　　） A.x1＝1，x2＝﹣3 B.x1＝﹣1，x2＝3 C.x1＝2，x2＝﹣2 D.x1＝1，x2＝﹣1 【答案】A 【解析】（x+1）2＝4， x+1＝±2， 则x+1＝2，x+1＝﹣2， ∴x1＝1，x2＝﹣3， 故选：A． 2.若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A.m＞1 B.m＞﹣1 C.m≥1 D.m≥﹣1 【答案】D 【解析】∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根， ∴m+1≥0， 解得：m≥﹣1， 故选：D． 3.现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得[2（x+2）]2﹣52＝﹣1， 整理得：4（x+2）2＝24， 则（x+2）2＝6， 直接开平方得：x+2＝±， 则x＝﹣2±， 故选：C． 4.方程（x﹣1）2＝1的根为 　　． 【答案】x1＝2，x2＝0． 【解析】∵（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1， 则x1＝2，x2＝0， 故答案为：x1＝2，x2＝0． 5.一元二次方程4（x﹣2）2﹣16＝0的根是 　　． 【答案】x1＝0，x2＝4． 【解析】4（x﹣2）2﹣16＝0， 移项得：4（x﹣2）2＝16， 化简得：（x﹣2）2＝4， 开方得：x﹣2＝﹣2或x﹣2＝2， 解得：x1＝0，x2＝4， 故答案为：x1＝0，x2＝4． 6.解方程：（x+1）2＝49 【答案】解：∵（x+1）2＝49， ∴x+1＝±7， ∴x+1＝7或x+1＝﹣7， 解得x＝6或x＝﹣8． 7.解方程4（x﹣1）2＝9 【答案】解：把系数化为1，得 （x﹣1）2 开方得x﹣1 解得x1，x2． 学科网（北京）股份有限公司 $$