第17讲 解直角三角形的应用　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第17讲 解直角三角形的应用 知识归纳 问题：在直角三角形中，我们至少知道哪些元素就可以求出其余元素？ 知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素 【总结】解直角三角形有以下两种情况： （1）已知两条边，求其它边和角. （2）已知一条边和一个锐角，求其它边角. 典型例题 【知识梳理1】构造直角三角形，利用锐角的三角比解题 例1.某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路米的点处建一个监测点，道路段为检测区（如图）. 在△中，已知，，那么车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到秒）？ （参考数据：，，，） 例2. 本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯带（如图8-1所示）. 如图8-2，已知表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形，且∥，，∠37°.在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为3.8米.大圆直径等于AD，三圆半径的比等于1∶2∶3.试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留） （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 图8-1 图8-2 例3．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中，∥，，米，求当车辆经过时，栏杆段距离地面的高度（即直线上任意一点到直线的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计） 参考数据：，， ． 【试一试】 1.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，则小岛B到公路l的距离为（ ）m. A．25 B．25 C. D．25＋25 2.如图，公路和公路在点处交汇，且∠30°，点处有一所中学，160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 3．“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点． （1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整； （2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1︰0.75是坡面的坡度），求的值． 图1 【知识梳理2】仰角和俯角 1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. 2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线. 3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 【注意】在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角. 例1.如图，甲乙两栋楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（⊥）,所以观察点在甲楼一窗口处，∥.从处测得乙楼顶端的仰角为45，底部的俯角为30，求乙楼的高度（取，结果精确到1米）. 例2．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一颗大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下： （1）在大树前的平地上选择一点，测得由点看大树顶端的仰角为； （2）在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为； （3）量出、两点之间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树的高度（结果精确到0.1）． （参考数据：，，） 【试一试】 1.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去、两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的点，测得村的俯角为，村的俯角为（如图九）．求、两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据）． 2．如图是已建设封顶的16层楼房和它的塔吊示意图，吊臂与地面平行，测得点到楼顶点的距离是5米，每层楼高3.5米，在吊臂上有一点，米，在点测得点的俯角（）为20°，点的俯角（）为40°， 、都垂直于地面，求塔吊的高的长（结果精确到0.1米）．参考数据：，，，，，． 【知识梳理3】方向角 方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角． 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东． 例1.如图