专题01 分式的运算及新定义型问题（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 分式的运算及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式及其运算 1 题型二、解分式方程 2 题型三、分式的化简求值（常考点） 2 题型四、分式的混合运算错解复原 3 题型五、分式的混合运算规律探究（重点） 5 题型六、分式的混合运算“倒数法”求值 7 题型七、分式的混合运算新定义型问题（难点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式及其运算 1．计算： 2．计算：(1)； (2). 3．计算：（1） ； （2） ； （3） . 4.化简：（1） ； （2） ； （3） . 5.（1）计算： ； （2）化简： . 6.计算：（1） ； （2） ； （3） . 题型二、解分式方程 7．解下列方程 (1)； (2)． 8．解分式方程： (1) (2) 9．解分式方程： (1)； (2)． 10．解分式方程：． 题型三、分式的化简求值（常考点） 11．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 12．先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：已知：，求的值． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）先化简，然后从，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 15．先化简，再求值：，请从0，2，5，6这四个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 题型四、分式的混合运算错解复原 18．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 20．佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 21．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 22．（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 题型五、分式的混合运算规律探究（重点） 23．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… (1)按上面的规律，第个等式为________． (2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示），并说明理由． (3)计算：． 24．（24-25八年级下·江西九江·期末）下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 25．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 26．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 题型六、分式的混合运算“倒数法”求值 29．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 31．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型七、分式的混合运算新定义型问题（难点） 32．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 33．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义新运算：，． (1)计算： (2)求 34．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 35．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 36．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 37．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 1．（2025·陕西·中考真题）化简：． 2．（2025·陕西咸阳·一模）解方程． 3．（2025·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2025·河南驻马店·三模）（1）计算：； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 7．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 8．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 9．（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 10．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式的运算及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式及其运算 1 题型二、解分式方程 5 题型三、分式的化简求值（常考点） 7 题型四、分式的混合运算错解复原 11 题型五、分式的混合运算规律探究（重点） 16 题型六、分式的混合运算“倒数法”求值 22 题型七、分式的混合运算新定义型问题（难点） 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式及其运算 1．计算： 【详解】解：原式 . 2．计算：(1)； (2). 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 3．计算：（1） ； （2） ； （3） . 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 . 4.化简：（1） ； （2） ； （3） . 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5.（1）计算： ； （2）化简： . 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6.计算：（1） ； （2） ； （3） . 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 （3）解：原式 ． 题型二、解分式方程 7．解下列方程 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 8．解分式方程： (1) (2) 【详解】（1））解：方程两边同乘最简公分母得： ， 解得：， 检验：当时，， 所以，是分式方程的解. （2）解：方程两边同乘最简公分母得： ，解得：； 检验：当时，， 所以，是增根，原方程无解. 9．解分式方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2）解： 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 10．解分式方程：． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得： 化简得：， 解得：； 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解． 题型三、分式的化简求值（常考点） 11．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，然后将x的值代入即可求出原式答案． （2）先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵，， ∴， ∴从、0、3中选取作为x的值， ∴原式． 12．先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键．将括号内的部分相减，再将除法转化为乘法后计算，最后将代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：已知：，求的值． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先通分，利用同分母分式减法法则进行计算，约分到最简，最后将代入进行计算即可． 【详解】解： ， ，即， ∴原式． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）先化简，然后从，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 15．先化简，再求值：，请从0，2，5，6这四个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【分析】本题考查分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 要使原代数式有意义，则且且， ∴且且， ∴只能取， 当时，原式． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查分式的化简求值. 将括号内的分式因式分解并约分后再算加法，然后将除法化为乘法并计算，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型四、分式的混合运算错解复原 18．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 【分析】本题考查异分母分式的加减． （1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【详解】（1）解：原式 ． ∴从第②步开始出错． 故答案为：②． （2）原式 ． 19．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题． 【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误； （2） ． 20．佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是该分式方程的解． 21．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：化简：， 解：原式①， …②， ③ 解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程． 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤①错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①， 正确的化简过程如下： 原式 ， 故答案为：①． 22．（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时没改变符号； （2）解： ， ∵且x为整数， ∴，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 题型五、分式的混合运算规律探究（重点） 23．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… (1)按上面的规律，第个等式为________． (2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示），并说明理由． (3)计算：． 【分析】（1）根据所给式子发现规律，等式左边分母等于等式右边两个分数的分母乘积，即可推出第个等式； （2）由（1）的规律发现第个等式的规律，用分式的加法计算式子右边即可证明； （3）结合规律将式子转化为即可得解． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 则第个等式为， 即． 故答案为：． （2）解：由（1）得，第个等式为， 等式右边， ， ， ， 等式左边， ． （3）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是分式的变化规律、分式加法运算，解题关键是通过观察、分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 24．（24-25八年级下·江西九江·期末）下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式加减运算，有理数四则混合运算，根据给出的数据得出一般规律，是解题的关键． （1）观察规律得出第n个数为：，第个数为即可； （2）根据分式加减运算法则计算即可； （3）根据进行变形，再化简即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是…， ∴第n个数为：，第个数为； （2）解： ； （3）解： ． 25．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 26．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【分析】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键． （1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察推导出规律，最后通过化简即可证明． 【详解】（1）解：根据前面4个等式的规律，得 第5个等式为：； 故答案为：． （2）第个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， 左边＝右边． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． （1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 题型六、分式的混合运算“倒数法”求值 29．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式、分式的通分和约分、解二元一次方程组，解题关键是理解题意并能学以致用． 31．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 题型七、分式的混合运算新定义型问题（难点） 32．（24-25八年级下·河南郑州·期末）定义新运算：对于两个代数式，，规定，例如． (1)化简：． (2)的结果能否为零？若能，请计算此时的值；若不能：请写出理由． 【分析】本题侧重考查了分式的混合运算，掌握定义的新运算的意义是解题的关键． （1）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可； （2）根据已知新定义进行转化，然后结合分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：不能为0，理由如下： 原式． 结果不会等于0． 33．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义新运算：，． (1)计算： (2)求 【分析】本题考查负整数指数幂，整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）利用定义的新运算列式，再利用负整数指数幂计算即可； （2）利用定义的新运算列式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 原式 ． 34．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 35．（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 36．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 37．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 1．（2025·陕西·中考真题）化简：． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 2．（2025·陕西咸阳·一模）解方程． 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可，熟练掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， 原方程两边都乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 3．（2025·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【分析】原式括号中两项通分计算，同时利用除法法则转化为乘法，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2025·河南驻马店·三模）（1）计算：； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 任务：亮亮从第__________步开始出现错误； 请直接写出本题的正确结果__________； 当时，原整式的计算结果是__________． 【分析】本题考查了实数运算和整式化简求值，掌握实数和整式相关的运算法则是解题的关键． （）先算零指数幂，去绝对值，算术平方根，再算加减即可； （）观察解答过程可得答案； 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并同类项即可； 把的值代入计算可得答案． 【详解】解：（） ； （）观察解答过程可知，亮亮从第一步步开始出现错误， 故答案为：一； 解：原式 ， 故答案为：； 当时， 原式 ． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 【分析】题目主要考查规律探索，分式的化简求值，结合题干找出规律是解题关键． （1）根据例题计算即可； （2）根据题中例子找出规律即可； （3）根据规律拆分计算即可． 【详解】（1）解：； （2）猜想第个式子为； （3） 8．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 9．（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 10．（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$