第4章 等可能条件下的概率（复习讲义）数学苏科版九年级上册

第4章 等可能条件下的概率（复习讲义） 1. 了解概率的意义，体会概率与频率之间的联系。 2. 能用公式法、列表法、画树状图等方法计算概率。 3. 理解几何概型，能利用概率知识分析游戏公平性等问题。 【知识点1】概率 （1）概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] （2）频率与概率的关系 当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值. 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 题型一 列举法求概率 【例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【变式1-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【变式1-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【变式1-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 题型二 几何面积法求概率 【例2】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【变式2-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【变式2-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【变式2-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 题型三 列表法或树状图法求概率 【例3】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【变式3-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【变式3-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 【变式3-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 题型四 根据概率判断游戏的公平性 【例4】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 【变式4-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 【变式4-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【变式4-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 题型五 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【变式5-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式5-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 题型六 统计与概率综合应用问题 【例6】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【变式6-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【变式6-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【变式6-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 3．在化学课上，老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 ． 6．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 7．唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为 ． 8．如图，沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片（背面完全相同）均剪成形状、大小相同的两部分，将得到的四张图片背面朝上洗匀后，从中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是 ． 三、解答题 9．如图，售卖传统民族艺术品的李师傅将西游记中的部分人物（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、沙悟净、猪八戒）分别写在一个可以自由转动的转盘上（该转盘被分成四个面积相等的扇形区域），并设计了一种营销方式：凡消费一次即可获得一次转转盘的机会，由顾客转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的人物即为转出的人物，此时称为转动转盘一次，李师傅根据转出的人物捏泥人赠送该顾客（若指针指向两个扇形的交界线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)小明转动转盘一次，转到的人物是“孙悟空”的概率为______； (2)若小明、小红分别转动转盘一次，请你用列表或画树状图的方法，求小明和小红转到的人物均是徒弟的概率． A B C D A B C D 10．这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 11．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 12．某中学举行了中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛、B-国画竞技、C-诗歌朗诵、D-汉字大赛、E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)此次随机抽取的初三学生共______人，______，并补全条形统计图； (2)初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少． 能力提升进阶练 一、单选题 1．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 2．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式的解的概率为（   ） A． B． C． D． 第一次        第二次 1 3 1 2 3 4 5．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 7．在一次旨在促进校园文化多样性的演讲比赛中，有5名九年级学生自愿报名，其中包括3名男生和2名女生．当采用抽签的方式随机抽取两名参赛者时，被选中参加比赛的学生为一男一女的概率是 ． 8．小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 9．二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 10．如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 三、解答题 11．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 12．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________． (2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 13．在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示） 甲奖品袋（徽章）： 乙奖品袋（钥匙扣）： 小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率． D E F A B C 14．为了提高同学们的文学鉴赏能力，某读书社全体成员在一段时间内开展阅读经典名著活动，活动结束后，把结果进行统计并制成如图1和图2所示的条形统计图和不完整的扇形统计图． (1)该读书社一共有_____名成员，“2本”所在扇形的圆心角度数是_____； (2)若阅读1本经典名著的成员中，有两名是女同学，一名是男同学，从中任意抽取两名同学，求恰好抽到的同学均为女同学的概率； (3)若在同一时间段内，读书社之外某同学阅读经典名著本，把与读书社全体成员阅读经典名著本数的数据组成一组新的数据，发现平均数增大了，则的值至少为多少？ 男 女1 女2 男 − （男，女1） （男，女2） 女1 （女1，男） − （女1，女2） 女2 （女2，男） （女2，女1） − 15．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对“昭化肥肠、太守麻花、宫保鸡丁、火锅鱼”四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息，解答下列问题． (1)本次抽取游客 人，扇形统计图中m的值为 ． (2)请补全条形统计图． (3)该旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的概率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 等可能条件下的概率（复习讲义） 1. 了解概率的意义，体会概率与频率之间的联系。 2. 能用公式法、列表法、画树状图等方法计算概率。 3. 理解几何概型，能利用概率知识分析游戏公平性等问题。 【知识点1】概率 （1）概率的概念[来源:学科网] 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK] （2）频率与概率的关系 当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值. 【知识点2】概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝ （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. （5） 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 题型一 列举法求概率 【例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 【变式1-1】如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 【变式1-2】从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 【变式1-3】在，，这三个数中任选两个数分别作为点的横坐标和纵坐标，过点画双曲线（为常数，），则该双曲线位于第一、三象限的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法求概率即可． 【详解】解：由题意，得：点共有：，6种情况， ∵当点的横纵坐标符号相同时，双曲线位于第一、三象限，共有种情况， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，以及双曲线上点的特征，是解题的关键． 题型二 几何面积法求概率 【例2】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 【变式2-1】某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用，注意面积之比几何概率．利用击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比，进而求出答案． 【详解】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个， 落在黑色区域即获得笔记本的概率为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出三个区域的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 微型机器人停在区域的概率为． 故答案为：． 【变式2-3】如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 题型三 列表法或树状图法求概率 【例3】某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛，二人商定利用抽签的方式确定观看比赛． (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个，抽到的是播放足球这个台的概率为 ； (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法或树状图法求概率等知识点，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． （1）共有3种等可能出现的结果，其中抽到的刚好是播放足球赛的有1种，再根据概率的定义求解即可； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果以及抽到播放足球赛的这个台的情况数，再根据概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：将三个台做成三个签，小川先抽，他从三个签抽一个，抽到的刚好是播放足球这个台的概率为． 故答案为：． （2）解：设播放篮球赛为A，B台，播放足球赛C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有6种，其中小川抽到足球赛的有2种， 所以小川抽到足球赛的这个台的概率为． 【变式3-1】南昌某实验学校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了四大类社团活动（艺术社团、体育社团、文学社团、科技社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动． (1)“小华恰好选中文学社团”是______（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； (2)现从艺术社团里表现优秀的，，三名同学中随机选取两名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好选中和两名同学的概率． 【答案】(1)随机； (2)恰好选中和两名同学的概率为． 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及用列表法或画树状图法求概率的知识点，解题的关键是准确理解相关概念和熟练运用求概率的方法． （）根据随机事件的定义判断小华选中文学社的事件类型； （）通过列表法或画树状图法列出所有可能的结果，再找出恰好选中和的结果，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：“小华恰好选中文学社团”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如图， 共有个等可能的结果，恰好选中和两名同学的结果有个， ∴恰好选中和两名同学的概率为． 【变式3-2】春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及她两次抽奖的和等于元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种， 摸到白球的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 共有种等可能的结果，其中她两次抽奖的和等于元的结果有：（红，黄），（黄，红），共种， 她两次抽奖的和等于元的概率为． 【变式3-3】春，是茶的盛事；茶，是景迈山给世人的馈赠．千年茶山年年春，世界遗产普洱景迈山2025年春茶季系列活动自3月下旬启幕，将持续至5月！其中，“醒春山”系列活动分为：A澜沧古茶“回家之旅”，B柏联寻茶之旅，C九泽茶窖春茶季大型活动．甲、乙两名同学准备前往一睹盛况，各自随机选择A、B、C三个活动中的一个，二人选择哪个活动不受任何因素影响，每一个活动被选到的可能性相同．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙选到不同活动的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了概率的计算，用列表法展示所有可能的结果，关键在于准确找出符合条件的结果数和所有可能的结果数，然后利用概率公式计算． （1）通过列举法分析所有可能的结果； （2）利用概率公式计算符合条件的情况概率即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： 由表可知，共有9种等可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同． （2）由（1）可知，甲和乙选到不同活动有，，，，，共6种结果， 概率为． 题型四 根据概率判断游戏的公平性 【例4】“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 【变式4-1】嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 【变式4-2】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 【变式4-3】围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 题型五 概率在转盘抽奖中的应用 【例5】某家电商场举办年终促销活动，其中之一是消费满3500元参与抽奖活动，抽奖活动设置的翻奖牌的正面、背面如图所示． (1)抽奖得到“手机”的概率是 ； (2)请你设计一个翻奖牌，包含“手机”“空气炸锅”“护眼灯”“洗衣液”“谢谢参与”，使得最后抽到“护眼灯”的概率是 ． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是： （1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“护眼灯”有3张即可，设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：， 故答案为：； （2）解：设计九张牌中有三张写着“护眼灯”，其它的六张牌中“手机”“空气炸锅” “洗衣液”各一张，“谢谢参与”三张，答案不唯一． 如图： 【变式5-1】某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【变式5-3】九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型六 统计与概率综合应用问题 【例6】我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【知识点】判断全面调查与抽样调查、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 【变式6-1】北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； (2)补全条形统计图； (3)把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解； （）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解； （）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果，再根据概率公式计算，即可求解； 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）调查的总人数为人，人； 故答案为：，； （2）单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下： （3）根据题意，画出树状图如下： 从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有种，抽到项目中恰有一个项目为单板滑雪的有种等可能结果． ∴抽到项目中恰有一项为单板滑雪的概率为． 【变式6-2】某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如下所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． (1)本次抽取调查学生共有______人，其中组的学生人数为______． (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数． (3)小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】(1)60；21 (2)见解析， (3) 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”，即可求得答案； （2）结合（1）补全条形图；利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 故答案为：60；21； （2）结合（2），可补全条形图如下图所示， 组部分所占的圆心角； （3）根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 【变式6-3】新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取__________人； (2)将条形统计图补充完整； (3)学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（人）， 补全的条形统计图如图所示： （3）列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10，共4种， 其中构成直角三角形的有6，8，10共1种， ∴从中任取三条能构成直角三角形的概率是． 故选：B． 2．如图，正方形的边长为，阴影部分是正方形的内切圆．若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示，这种概率称为几何概率． 用圆的面积除以正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的半径为， ∴若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为：． 故选：A． 3．在化学课上，老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是化学变化的有4种结果， 所以从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是， 故选：C． 4．如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 二、填空题 5．如图所示是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法，用红色区域的圆心角除以周角即可． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 指针落在红色区域的概率是， 故答案为： 6．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率公式是关键．先判断阴影区域的个数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据图象可知阴影三角形砖有7块，方格地砖中共有三角形砖块， ∴有小球停留在黑色区域的概率是． 故答案为：． 7．唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】解：四张卡片中，范仲淹和陆游是宋代人，李白和白居易是唐代人， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的卡片作品来自不同朝代的情况有8种， 因此抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为， 故答案为：． 8．如图，沿虚线把两张形状、大小相同的风景图片（背面完全相同）均剪成形状、大小相同的两部分，将得到的四张图片背面朝上洗匀后，从中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张完整的风景图片的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法：掌握列表法或画树状图求等可能事件概率的方法是解题的关键．四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，用列表法或画树状图法可展示所有12种等可能的结果，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：四张形状相同的小图片分别用、、、表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4， 所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，售卖传统民族艺术品的李师傅将西游记中的部分人物（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、沙悟净、猪八戒）分别写在一个可以自由转动的转盘上（该转盘被分成四个面积相等的扇形区域），并设计了一种营销方式：凡消费一次即可获得一次转转盘的机会，由顾客转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的人物即为转出的人物，此时称为转动转盘一次，李师傅根据转出的人物捏泥人赠送该顾客（若指针指向两个扇形的交界线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)小明转动转盘一次，转到的人物是“孙悟空”的概率为______； (2)若小明、小红分别转动转盘一次，请你用列表或画树状图的方法，求小明和小红转到的人物均是徒弟的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 对于（1），由题意知，共有4种等可能的结果，其中转到的人物是“孙悟空”的结果有1种，利用概率公式可得答案； 对于（2），列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小红转到的人物均是徒弟的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中转到的人物是“孙悟空”的结果有1种， ∴转到的人物是“孙悟空”的概率为． 故答案为：； （2）解：将唐僧、孙悟空、沙悟净、猪八戒分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小明和小红转到的人物均是徒弟的结果有：，，，，，，，，，共9种， ∴小明和小红转到的人物均是徒弟的概率为． 10．这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】这个游戏规则对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种，再由概率公式分别求出双方获胜的概率，比较大小即可． 【详解】解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44， 其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种． ∴一方胜的概率为，另一方胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 11．某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化： 优化一引入座位预约系统： 该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位 问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等 优化二合理增加座位数量 因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择： 方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图； 方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图． 桌椅摆放时需满足以下条件： 桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足； 共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔． 问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向 【答案】问题：；问题：示意图见解析，个 【分析】问题，求出所有可能情况，再求出乙在社科阅览室的情况，根据概率公式计算即可； 问题，因为两种方式，每个座位所占面积相同，但方式需要的过道少于方式，所以尽量多用方式，因为桌子四周要留出通道，所以方式的面积相当于，方式的面积相当于，空间大小为，使空余空间最小的方案，即为所求． 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率以及图形规划，按照换算后的占地面积来进行规划是本题解题的关键． 【详解】解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下： 由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种， ∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为； 问题：，， 两种方式每个座位面积相同， 方式需要的通道少于方式， 尽量选择方式， 桌子四周都要留出通道， 方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为， ，，， ∵，， 纵向采用两个，个或个最利用空间， ， 横向排排， 采用纵向两个，个，如图： 座位总数为：个． 答：总座位数为个． 12．某中学举行了中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛、B-国画竞技、C-诗歌朗诵、D-汉字大赛、E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)此次随机抽取的初三学生共______人，______，并补全条形统计图； (2)初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少． 【答案】(1)100，10，图形见解析； (2) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图或列表法求概率． （1）根据A的人数与所占百分比即可得到抽取总人数，用选择E类的人数除以总人数求得m的值，再用总人数减去选择A、C、D、E的人数得到选择B类的学生人数，然后补全条形图即可； （2）根据题意画出树状图，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：， 则抽取的学生总数为：（人）， 选择E的学生所占百分比为：，即， 选择B的学生人数为：（人）， 条形图如下： 故答案为100，10； （2）解：树状图如下： ∵有20种可能等结果，其中符合条件的有12种， ∴选出的两名选手正好是一男一女的概率是：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为； 故选：D． 2．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果， 所以点在第二象限的概率为， 故选：B． 3．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键． 根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积， 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 故选：C 4．如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式的解的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法球概率，解一元一次不等式，先列表得出所有符合条件的结果，再求出不等式的解集，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 第一次        第二次 1 3 1 2 3 4 一共有12种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同． 解不等式， 解得， 可知符合条件的有3，4，3，6，9，12，共6种， 所以两个转盘指针指向数字的积满足不等式的解得概率是． 故选：C． 5．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选D． 二、填空题 6．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，先理解游戏内容，得B，C这两个方格必有1个地雷，再结合概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格） ∴B，C这两个方格必有1个地雷， ∴B方格中有地雷的概率为， 故答案为：． 7．在一次旨在促进校园文化多样性的演讲比赛中，有5名九年级学生自愿报名，其中包括3名男生和2名女生．当采用抽签的方式随机抽取两名参赛者时，被选中参加比赛的学生为一男一女的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图，共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女的结果有12种， ∴选中的同学恰好是一男一女的概率为． 故答案为：． 8．小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D；同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 9．二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率的方法成为解题的关键． 用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 故答案为． 10．如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】列表如下， 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的数字和为6的倍数， 即6，12时，才可落回A圈，共6种， ∴． 三、解答题 11．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法球概率．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种，再由概率公式求出所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率和抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：∵现有10名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人、女生4人， 从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为， 故答案为：； （2）解：该游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种， 所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率为，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率为， ， 该游戏对双方不公平． 12．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________． (2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握运用了列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键． （）直接利用概率公式求解即可； （）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如图， 共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果， ∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为． 13．在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示） 甲奖品袋（徽章）： 乙奖品袋（钥匙扣）： 小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意列表即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可列表如下： D E F A B C 由表可知，可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果数共有9种． （2）解：由表可以看出，所有出现的结果数共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同的结果有2种，即、． P（小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同）=． 答：小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率为． 14．为了提高同学们的文学鉴赏能力，某读书社全体成员在一段时间内开展阅读经典名著活动，活动结束后，把结果进行统计并制成如图1和图2所示的条形统计图和不完整的扇形统计图． (1)该读书社一共有_____名成员，“2本”所在扇形的圆心角度数是_____； (2)若阅读1本经典名著的成员中，有两名是女同学，一名是男同学，从中任意抽取两名同学，求恰好抽到的同学均为女同学的概率； (3)若在同一时间段内，读书社之外某同学阅读经典名著本，把与读书社全体成员阅读经典名著本数的数据组成一组新的数据，发现平均数增大了，则的值至少为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，理解题意，根据两个统计图获取相关信息是解题关键． （1）根据条形统计图得出总人数，再由条形统计图和扇形统计图求角度即可； （2）利用表格或树状图得出所有可能结果，然后求概率即可； （3）先求出原先的平均数，然后根据题意即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：成员总数为：， ， 故答案为：，； （2）将两名女同学分别记为女1、女2，列表如下： 男 女1 女2 男 − （男，女1） （男，女2） 女1 （女1，男） − （女1，女2） 女2 （女2，男） （女2，女1） − 一共有6种等可能的结果，其中均为女同学的结果有2种， ． （3）读书社全体成员阅读经典名著本数的平均数为 添加一个后，平均数增大了， ． 又是正整数， 的值至少为4． 15．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对“昭化肥肠、太守麻花、宫保鸡丁、火锅鱼”四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息，解答下列问题． (1)本次抽取游客 人，扇形统计图中m的值为 ． (2)请补全条形统计图． (3)该旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的概率． 【答案】(1)240，35 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． （1） 用“太守麻花”的人数除以所占的比例，求出抽取的游客总人数，然后再算出“宫保鸡丁”所占的比例，求出的值即可； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“火锅鱼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)， ， ∴； 故答案为：，； （2）喜好火锅鱼的人数为，补全条形统计图如下： （3）把四种美食分别记为A：昭化肥肠，B：太守麻花，C：宫保鸡丁，D：火锅鱼．画树状图如下： 共有12种等可能出现的结果，其中选到“A和D”的结果有2种， ∴选到“昭化肥肠”和“火锅鱼”的概率为 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$