11.1 幂的运算（第4课时）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

11.1 幂的运算（第四课时） 题型一：利用幂的运算判断式子是否正确 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方法则，需逐一验证各选项是否符合运算规则． 【详解】A：，但选项结果为，错误． B：，但选项结果为，错误． C：，但选项结果为，错误． D：，与选项结果一致，正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 3．（2025年湖北省武汉市初中毕业生学业水平考试数学试卷）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂除法、单项式乘法及积的乘方法则，运用法则准确运算是解题的关键．逐一分析各选项的运算是否正确，依据合并同类项、同底数幂除法、单项式乘法及积的乘方法则判断． 【详解】A. 中， 与 不是同类项，无法合并，故错误，故本选项不符合题意； B. ，选项中结果为 ，计算错误，故本选项不符合题意； C. ，计算正确，故本选项符合题意； D. ，选项中结果为，符号与系数均错误，故本选项不符合题意； 故选C． 5．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，根据同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方法则计算，根据计算结果进行判断． A.，但选项结果为，错误，不符合题意； B. ，计算结果与选项一致，正确，符合题意； C.，但选项结果为，错误，不符合题意； D.按运算顺序计算，，但选项结果为，错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·河南平顶山·三模）下列运算正确的是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方等基本法则．解决本题的关键是根据运算法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】A选项：根据合并同类项的法则可得：，结果应为而非，故A选项计算错误； B选项：根据同底数幂除法法则可得：，且的条件合理，故B选项正确； C选项：根据同底数幂乘法法则可得：，结果应为而非，故C选项错误； D选项：根据积的乘方法则可得：，结果应为而非，故D选项错误． 故选：B． 7．（2025·湖北武汉·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、合并同类项、幂的乘方等基本法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型二：利用同底数幂的除法求代数式的值 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算，同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，代数求值等知识点，解题的关键是掌握各运算的逆应用． 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的代数式，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入上式得， 原式， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）已知 ，则的值为（      ） A．4 B． C．64 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法．熟练逆用同底数幂除法的法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法的法则把化为，代入已知即得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方将，再根据同底数幂的除法得，再进行除法运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键，也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则等知识点，灵活逆用运算法则对所求代数式变形成为解题的关键． 先逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂得乘除法的逆运算，根据同底数幂得乘除法的运算法则，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用，幂的乘方逆用，代数式求值，由，把，代入求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法和同底数幂的除法，解题关键是准确求解方程组． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识，根据同底数幂的除法、幂的乘方变形为再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 题型三：幂的运算混合计算 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算或化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算法则计算即可． （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）计算下列各题． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·全国·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，是解答本题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项法则，求解即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握 ，，（，m，n都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法； （2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算，即可求解． 【详解】解： ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）根据同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四：同底数幂的除法综合应用 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）(1)已知，，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】（1）4；（2）8 【分析】本题考查同底数幂除法，幂的乘方及同底数幂乘法，将原式进行正确地变形是解题的关键． （1）利用同底数幂除法法则将原式变形后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方及同底数幂乘法法则将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法逆用，幂的乘方，代数式求值，掌握运算法则是解题的关键． （）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ； （）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，，再由计算求解即可； （2）先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母，，之间的数量关系为_____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 【答案】(1)9 (2)2 (3)见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知幂的相关计算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）先求出，再求出，则可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）200；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则可得，再整体代入求值即可； （2）逆用幂的乘方法则得到，再利用同底数幂的乘法得到，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1），， ； （2）， ， ． 7．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂乘除法等，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方运算法则是本题的关键． （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）． 8．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，可化为 ，再代入即可； （2）把化为2为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 题型五：同底数幂的除法表示等式 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，求出，则，可得，据此可判断A；根据得到，则，据此可判断A、B；计算出，则可得，则，据此可判断C． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴，即，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； 故选；C． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算，根据以上运算法则逐一分析每个选项即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意． ， ∴，故B不符合题意； ， ， ∴，故C符合题意； ， ∴，故D不符合题意； 故选C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 【答案】(1) (2)60 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）根据可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）由（1）知，，， ； （3）， ， ； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)27 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法的逆用，幂的乘方逆用，掌握这些法则并灵活应用是关键； （1）逆用同底数幂的乘法与除法即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，计算出，即可证明． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ， 所以． 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为_____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)a，b，c之间的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】(1)9 (2)27 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）直接根据幂的乘方计算法则求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）底数为正整数时，指数越大，结果越大，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． （3）解：∵ ∴． 题型一：同底数幂的除法中定义新运算 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．根据“助力数”的定义，将转化为，，进而求解出，在计算出的值，最后求出“助力数”． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义及同底数幂的除法运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义得出，然后利用同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值． 【详解】解： ， 故答案为：0． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 6．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化．对数的定义：一般地，若（，且），那么叫做以为底的对数，记作：，比如：可以转化为对数，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）理由如下： 设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_____； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． （1）根据若（，且），有求解，即可解题； （2）类比于（，，，）的证明过程求解，即可解题； （3）根据对数运算法则与求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ； （3）解： ． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 1．（2025·河南驻马店·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算，首先对括号内的项进行乘方运算，再根据同底数幂相除的法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．（24-25七年级下·河南焦作·期末）已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法的定义，乘方的定义，同底数幂的除法，根据乘法的定义和幂的定义先计算等式，然后根据同底数幂的除法解答即可． 【详解】解：， ， ∴， 故选：D 3．（24-25九年级下·吉林松原·期中）下列运算中，正确的有（　　） ①．②．③．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项判断即可． 【详解】解：①，故①正确，符合题意； ②，故②错误，不符合题意； ③，故③正确，符合题意； ④，故④错误，不符合题意． 综上，正确的运算为①和③． 故选 A． 4．（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了幂的除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 化简，得到，整理出，由取值范围得出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为，此时； 故选：B． 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接逆用同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则将原式变形，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知：，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键； 根据同底数幂的除法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 11．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先对等号的左边进行变形，列出关于x的方程式即可； （2）先对等号的左边进行变形，列出关于a的方程式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用；掌握，，，及其逆用是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式得，，即可求解； （2）由积的乘方公式得，，由同底数幂的除法公式得，即可求解； （3）由同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式得，即可求解． 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 即． 故答案为：． （2）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． （3）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为， 所以． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算和积的乘方， （1）根据同底数幂的除法计算即可； （2）根据同底数幂的除法和积的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的除法计算即可； （4）根据同底数幂的除法计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，同底数幂的除法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中都为正数），请根据这种新运算回答下列问题： (1)若，则____________； (2)若，求（用含k的代数式表示，其中）． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是理解新定义的运算法则，从运算中找到规律用来解答． （1）由新运算法则直接求解； （2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解答． 【详解】（1）解：根据新运算：， ， 故答案是：． （2）解：；；； …； ． 15．（24-25八年级上·山西朔州·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）①由同底数幂乘法的逆用可得，然后将，代入求值即可；②由同底数幂除法的逆用及幂的乘方的逆用可得，然后将，代入求值即可； （2）由可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：①，， ； ②，， ； （2）解：， ， 解得：． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 幂的运算（第四课时） 题型一：利用幂的运算判断式子是否正确 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下面运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025年湖北省武汉市初中毕业生学业水平考试数学试卷）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南平顶山·三模）下列运算正确的是（    ） A．3 B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用同底数幂的除法求代数式的值 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）已知 ，则的值为（      ） A．4 B． C．64 D．12 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若，则 ． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知，则 ． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，，，则 ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：，，则的值为 ． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 题型三：幂的运算混合计算 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算或化简： (1)； (2) 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）计算下列各题． (1)； (2)； 4．（24-25七年级下·全国·期中）计算：． 5．（24-25七年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算：． 7．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 题型四：同底数幂的除法综合应用 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）(1)已知，，求的值； (2)如果，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母，，之间的数量关系为_____________． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 6．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 7．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 8．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 题型五：同底数幂的除法表示等式 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 8．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为_____________． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)a，b，c之间的大小关系是________（用“”连接）． 题型一：同底数幂的除法中定义新运算 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么称为的“助力数”，记为，由定义可知：．例如，，．若，则 ． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 4．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）对于整数a， b， 我们定义：，．例如： ，，则 的值为 ． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 6．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化．对数的定义：一般地，若（，且），那么叫做以为底的对数，记作：，比如：可以转化为对数，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）理由如下： 设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_____； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 1．（2025·河南驻马店·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南焦作·期末）已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 3．（24-25九年级下·吉林松原·期中）下列运算中，正确的有（　　） ①．②．③．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 4．（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知，，则的值是 ． 6．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，为正整数，则 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则代数式的值是 ． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）已知：，，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 11．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，同底数幂的除法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中都为正数），请根据这种新运算回答下列问题： (1)若，则____________； (2)若，求（用含k的代数式表示，其中）． 15．（24-25八年级上·山西朔州·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$