11.1 幂的运算（第3课时）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

11.1 幂的运算（第三课时） 题型一：积的乘方选填题中简单运算 1．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则，需逐一验证各选项是否符合规则即可． 【详解】解：A：根据幂的乘方法则，，底数不变，指数相乘，，故选项A正确； B：加法运算中，只有同类项（即底数和指数均相同）才能合并，与的指数不同，无法直接相加，结果为，故选项B错误； C：根据同底数幂相乘法则，，底数不变，指数相加，，但选项C结果为，故错误； D：根据积的乘方法则，，需对每个因子分别乘方，，但选项D仅对乘方，故错误； 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 逐一分析各选项的运算是否正确，依据代数运算法则判断． 【详解】解：A. ，合并同类项时系数相减，字母部分不变，结果应为，而非，故A错误； B. ，积的乘方需对每个因子分别平方，原式系数错误，故B错误； C. ，同底数幂相乘应指数相加，原式指数错误，故C错误； D. ，幂的乘方应指数相乘，计算正确，故D正确； 故选：D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、幂的乘方与积的乘方等基本法则，运用相关知识。逐一验证各选项是否符合运算法则即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，原选项不符合题意； B、与不是同类项，不能计算，原选项不符合题意； C、，故原选项计算错误，原选项不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题的关键是掌握幂的运算法则和合并同类项的法则． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及合并同类项的法则，对每个选项进行计算判断． 【详解】A、是幂的乘方，应满足底数不变、指数相乘，即，但选项结果为，错误； B、中的和不是同类项，无法合并为，错误； C、是积的乘方，需将系数和字母分别乘方，即，但选项结果为，错误； D、是同底数幂相乘，应满足底数不变、指数相加，即，与选项结果一致，正确． 故选：D． 6．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）计算的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算． 根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方的运算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二：利用积的乘方求代数式的值 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方逆运算法则，利用积的乘方运算法则求出，再利用幂的乘方逆运算法则将转化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则 ． 【答案】72 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，以及幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理，结合，得，进行解方程，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河北·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了非负数的性质，积的乘方和同底数幂乘法的逆运算，先根据非负数的性质求出，再根据积的乘方和幂的乘方的逆运算将所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则．先根据积的乘方运算法则将所求式子变形，然后把已知条件代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·海南儋州·期中）已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)216 (2)3 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用积的乘方，逆用同底数幂的乘法进行计算即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， ∴． 7．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】225 【分析】根据积的乘方将所求式子变形，再将已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方的应用、代数式求值等知识点，掌握整体代入思想是解答本题的关键． 8．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知 求的值． 【答案】1 【分析】由可得可得再化简求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 题型三：积的乘方中简便运算 1．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，首先把化成，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方．熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 利用积的乘方法则将原式变形后再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的值是 ． 【答案】//1.25 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方逆运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 8．（2024八年级·全国·专题练习）计算：． 【答案】12 【分析】利用积的乘方公式进行逆运算即可． 【详解】原式＝. 【点睛】本题主要考查积的乘法公式，能够熟练运算并逆运算是解题关键． 题型四：积的乘方混合运算 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：． ． 2．（24-25七年级下·江西九江·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·河北衡水·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方．先计算同底数幂的乘法，积的乘方，再计算加法即可． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用积的乘方、幂的乘方分别运算，再合并同类项即可； （）根据整式的乘除运算法则去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式．首先逆用积的乘方可得，运用平方差公式计算可得，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 7．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）． 【答案】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法公式计算即可 本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（24-25六年级下·山东东营·期中）计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式进行计算即可； （3）根据同底数幂和积的乘方的逆运算进行计算即可； （4）添括号后，运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五：积的乘方综合 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键． （1）①直接逆用积的乘方法则计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算，进而可求出n的值． 【详解】（1）①； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）用所学知识，完成下列题目： (1)若，写出之间的数量关系，并说明理由； (2)若，试确定之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算、积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法可得，即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算法则将变形为，再进行比较即可； （2）运用积的乘方把变形为，再供稿计算即可． 【详解】解：（1）， ∵底数，， ∴，即． （2）． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的性质：同底数的两个幂相等，指数相等．熟练掌握同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方法则，解题的关键是熟练逆用幂的乘方与积的乘方法则对式子进行变形． （1）逆用幂的乘方法运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）逆用积乘方法则把化为，根据同底数幂的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，积的乘方运算． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 6．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 7．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 题型一：积的乘方中规律类题型 1．（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1(2)(3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查积的乘方运算规律的应用，解题的关键是观察所给示例，总结出这一规律并灵活运用。 （1）利用总结的规律计算，并归纳的结果。 （2）通过对原式变形，使其符合积的乘方规律进行简便计算。 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 4．（2024·安徽安庆·三模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：       ______； 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：． 【答案】【规律探究】；【解决问题】；【拓展应用】 【分析】本题考查实践探索问题、整式的混合运算等知识点，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积是解题的关键． （1）计算大正方形面积，然后将36开方即可解答； （2）可转化为大正方形面积，其边长为，再求面积化简即可； 提公因式8转化为，然后运用规律计算即可． 【详解】解：规律探究：大正方形的面积． 故答案为：． 解决问题：由上面表示几何图形的面积探究可得：， 又， ∴． 故答案为：． 拓展应用：． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查数与式的变化规律， （1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论； （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论； （3）根据发现的规律与猜想进行计算； 根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：①；， 故答案为：；； ②；， 故答案为：；； （2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：， 故答案为：； （3） ． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案； （2）根据题干中已知等式知从开始的连续个整数的立方和等于这个数的和的平方，据此可得； （3）提公因式，进而根据题意进行计算即可求解． 【详解】（1）由题意可得： ； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3） 题型二：积的乘方中定义新运算 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可； （2）把相应的值代入运算求得，，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：． （2）解：，， ，， 整理得：，，解得：，， ． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： ， ， ． (1)______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）先把变形为，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）解： ． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项等基本法则，需逐一验证各选项的正确性； 【详解】选项A：根据积的乘方法则，，则，运算正确； 选项B：根据同底数幂相乘法则，，则，运算错误； 选项C：根据幂的乘方法则，，则，运算错误； 选项D：合并同类项需满足指数相同，而与的指数不同，无法直接相加，结果为，运算错误； 故选：A 2．（2025·吉林·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，将变形为，化简计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：的过程中，每一步的运算法则分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法， 故选D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先将化简为，然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解； 【详解】解：原式=， ， ， ， ； 故选：D； 5．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方等知识点，灵活运用所学知识进行变形成为解题的关键． 将等式两边分别整理成以10为底的幂，然后再对比其指数作答即可． 【详解】解： ． ， ， ． 故选：D． 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）若，是正整数，且满足，则，满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子变形为，从而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，满足的关系是， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，积的乘方的逆应用；根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P Q ．（填“”或“”或“”　） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键．利用作差法得到，再根据积的乘方逆运算化简计算． 【详解】解： ， ∴ 故答案为：． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ； ； ． 【答案】 64 【分析】本题考查了乘方运算、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方法则逐个计算即可得． 【详解】解：， ， ． 故答案为：64；；． 11．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性，积的乘方的逆运用， 同底数幂乘法的逆用，先求出，，然后代入，则有，再运算括号内即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：∵， ∴，， ∴则 ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴…… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)①；②；③；④5；⑤3；⑥ (2)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，灵活运用幂的运算法则是解题的关键； （1）根据根据小明与小丽的尝试，利用幂的运算性质即可完成； （2）根据两人的尝试继续完成即可． 【详解】（1）解：小明的尝试： ∵，， ∴，， ∴； 小丽的尝试： ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：①；②；③；④5；⑤3；⑥； （2）解：小明的证明： ∵，， ∴，， ∴； 即， ∴； 小丽的证明： ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 整理得：． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的性质是解题的关键． （1）仿照探究二比较即可； （2）仿照探究一比较即可； （3）利用积的乘方的逆运算转化，进而比较即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 16．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． （1）利用进行计算即可得到答案； （2）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）， ， 原式 ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 幂的运算（第三课时） 题型一：积的乘方选填题中简单运算 1．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）计算的正确结果是 ． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 题型二：利用积的乘方求代数式的值 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则 ． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，则 ． 4．（24-25七年级下·河北·期中）若，则 ． 5．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，，则 ． 6．（24-25七年级上·海南儋州·期中）已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 7．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，求的值． 8．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知 求的值． 题型三：积的乘方中简便运算 1．（2024七年级上·贵州·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的值是 ． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）计算： ． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： ． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： 8．（2024八年级·全国·专题练习）计算：． 题型四：积的乘方混合运算 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）化简： 2．（24-25七年级下·江西九江·期末）计算：； 3．（24-25七年级下·河北衡水·期中）计算：． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： (1) (2) 5．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）． 8．（24-25六年级下·山东东营·期中）计算 (1) (2) (3) (4)． 题型五：积的乘方综合 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）用所学知识，完成下列题目： (1)若，写出之间的数量关系，并说明理由； (2)若，试确定之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）用两种方法比较若，的大小； （2）结合（1）的经验，解决问题：已知，，用含p，q的式子表示． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 5．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 7．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 题型一：积的乘方中规律类题型 1．（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 4．（2024·安徽安庆·三模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：       ______； 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 题型二：积的乘方中定义新运算 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）对于整数、定义运算：其中、为常数，如． (1)填空：当，时， ______ ； (2)若，，求的值． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： ， ， ． (1)______． (2)计算：． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25六年级下·山东威海·期末）若，是正整数，且满足，则，满足的关系是 ． 8．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P Q ．（填“”或“”或“”　） 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ； ； ． 11．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 12．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴…… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 16．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：． 材料二：等式成立． 试求： (1)＝________； (2)计算：． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$