精品解析：广西壮族自治区钦州市共美学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024秋季学期九年级上册数学12月月考试卷 （考试时间：120分钟全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A. 二、三象限 B. 一、三象限 C. 三、四象限 D. 二、四象限 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ） A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 5. 下列几何体的左视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. B. 1 C. D. 无解 7. 笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 9. 如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 11. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 12. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分） 13. 比较实数的大小：3_____（填“＞”、“＜”或“=”）． 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 16. 若，，则代数式的值为__________． 17. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 18. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 计算：解不等式组． 20. 先化简再求值：，其中，． 21. 如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 22. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 依据折线统计图，得到下面的表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 8 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）甲成绩的众数是_____环，平均数是_____环，乙成绩的中位数是_____环； （2）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （3）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率． 23. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． （1）求出A与C距离（结果保留根号）． （2）已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 24. 为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 25. 如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AC•BQ； （3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋季学期九年级上册数学12月月考试卷 （考试时间：120分钟全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整式的加减，完全平方公式，熟记计算法则和完全平方公式即可解题．根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答． 【详解】解：A、原式，故本选项错误； B、原式，故本选项正确； C、与不是同类项，无法合并，故本选项错误； D、原式，故本选项错误； 故选：B． 3. 已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A. 二、三象限 B. 一、三象限 C. 三、四象限 D. 二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P（﹣1，2）带入反比例函数y=中求出k值就可以判断图像的位置． 【详解】根据y=的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限. 故选D 【点睛】此题重点考查学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键． 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ） A. 275×104 B. 2.75×104 C. 2.75×1012 D. 27.5×1011 【答案】C 【解析】 【详解】解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012． 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数． 5. 下列几何体的左视图为长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形．找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论． 【详解】解：A．球的左视图是圆； B．圆台的左视图是梯形； C．圆柱的左视图是长方形； D．圆锥的左视图是三角形． 故选：C． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. 1 C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查学生对于分式方程的解得理解，掌握分式值等于 0 ，说明分子等于 0 ，分母不等于 0 是解本题的关键，还要注意解分式方程一定要检验． 此题涉及的知识点是分式方程的解，根据分式值为 0 ，说明分子，分母，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 但是， 综上， 经检验是原分式方程的解． 故选：B． 7. 笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得． 【详解】∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中， 标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况， ∴抽到编号是3的倍数的概率是， 故选C． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A． 9. 如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可． 【详解】连接DC， ∵ ∴∠DOC=90°，OD=1， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选B． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°． 11. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点，DE=CD， ∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC， ∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15． 故选A 【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由菱形的性质得到，，，再证明是等边三角形，则，进而得到，由三线合一定理得到，则可求出，利用勾股定理得到，则． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分） 13. 比较实数的大小：3_____（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是二次根式的性质，根据二次根式的性质，将3化成根号的形式即可比较出两实数的大小. 【详解】解：将3化成， 因为9>5， 所以3大于. 故答案为：＞． 【点睛】此题重点考查学生对二次根式的理解，熟练掌握二次根式的性质是本题解题的关键. 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称， ∴a=﹣4，b=﹣3， 则ab=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键. 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×6=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 16. 若，，则代数式的值为__________． 【答案】-12 【解析】 【详解】分析：对所求代数式进行因式分解，把，，代入即可求解. 详解：，， ， 故答案为 点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键. 17. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 18. 如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为．根据、菱形的面积是与的乘积可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ． 作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为． ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 计算：解不等式组． 【答案】不等式组的解集为． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 20. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加减．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a,b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21. 如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 证明：如图，连接， 由（1）知，是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，然后再计算出的度数，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） 依据折线统计图，得到下面的表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 8 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）甲成绩的众数是_____环，平均数是_____环，乙成绩的中位数是_____环； （2）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （3）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率． 【答案】（1）8、8，7.5 （2）甲成绩更稳定 （3） 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了概率公式． （1）根据众数、平均数和中位数的定义可得； （2）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：甲射击成绩次数最多的是8环， 所以甲成绩的众数是8环， 甲成绩的平均数是（环）， 乙射击成绩重新排列为：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10， 则乙成绩的中位数为环， 故答案为：8、8，7.5； 【小问2详解】 解：甲成绩的方差为（环， 乙成绩的平均数为（环， 所以乙成绩的方差为（环， 故甲成绩更稳定； 【小问3详解】 解：用、表示男生，用、表示女生，列表得： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况， 恰好选到1男1女的概率为． 23. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． （1）求出A与C距离（结果保留根号）． （2）已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】（1）与的距离为海里 （2）海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 24. 为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 【答案】（1）400 （2）该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内城市公园管理局需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 的值是. 【小问2详解】 解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间城市公园管理局需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用． 25. 如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AC•BQ； （3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵PQ∥AB， ∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD， ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠BDQ=∠ACD， 如图1，连接OB，OD，交AB于E， 则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°， ∴2∠ODB+2∠O=180°， ∴∠ODB+∠O=90°， ∴PQ是⊙O的切线； （2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD， ∴AD=BD， ∵∠DBQ=∠ACD， ∴△BDQ∽△ACD， ∴， ∴BD2=AC•BQ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0， ∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根， ∴AC•BQ=4， 由（2）得BD2=AC•BQ， ∴BD2=4， ∴BD=2， 由（1）知PQ是⊙O的切线， ∴OD⊥PQ， ∵PQ∥AB， ∴OD⊥AB， 由（1）得∠PCD=∠ABD， ∵tan∠PCD=， ∴tan∠ABD=， ∴BE=3DE， ∴DE2+（3DE）2=BD2=4， ∴DE=， ∴BE=， 设OB=OD=R， ∴OE=R﹣， ∵OB2=OE2+BE2， ∴R2=（R﹣）2+（）2， 解得：R=， ∴⊙O的半径为． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）①；②存在，，． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $